(Фейнман) Лекции по гравитации (555367), страница 28
Текст из файла (страница 28)
У нас есть полевая теория, которая сводится к ньютоновской теории в статическом пределе и включает в себя полное содержание энергии, и оказывается способной правильно предсказывать "'паде- ние" фотонов в поле звезды. Экспериментальное свидетельство, ко- торое заставит нас отказаться от ньютоновского приближения, каса- ется прецессии перигелия планеты Меркурий. Мы продолжаем вы- числение орбит планет. Начнем с уравнения <=)'."= <',' ') < — '.') и = —, К = (1+ ф) —, т — = Е = (1 — ф)тз —, (5.1.1) г' Нз' ~,~Ь/ аз где символы ф и ф представляют собой диагональные элементы тен- зара Ь„, ф = 2ЛЬ44 и ф = 21аи, 1 = 1,2,3. Согласно нашей те- ории, которую мы разработали к настоящему времени, мы имеем ф = ф = — 20М/т = — 2СМи.
Однако, как мы вскоре увидим, на- ша теория неверна, и, чтобы не проделывать всю работу вновь после исправления теории, мы запишем а( 2т.Ми)+а( 2дМи)з+ ф = )3(-2СМи) + Ь( — 26Ми) + ..., (5.1.2) в наших уравнениях, но для того, чтобы найти следствия нашей су- ществующей теории, мы должны положить а = 5 = 0 и о = б = 1 в этих формулах в самом конце. В случае нашей скалярной теории о =,8 = 1 и ф = -2СМ/т. Предположим, что потенциал ф в есте- ственных единицах нашей задачи тася много меньше 1, так что мы можем разложить множитель 1/(1 + ф) в ряд по ф; тогда уравнение движения принимает следующий вид: — + и = —.(К вЂ” 1 — ФИ1 — Ф+ Ф вЂ” ...Н1 — ф) (5.1.3) Перепишем теперь правую часть этого уравнения как ряд по степеням и.
Сохраняя только первый н второй степени малого потенциала, 2СМи и Кэ — 1, мы имеем ~г — ) + и~ = А+ Ви+ Сиз+ ..., (5,1.4) Лекция 5 5.1. Орбиты планет и прецессии Меркурия 125 А = (К' 1); В = — ((Кг — 1)(гт+ Ж + а1; гг 52 С (2СМ) ~К гг + К и Кга — (К вЂ” 1)Ь~ . Гг Продифференцируем по переменной д; после сокращения общих множителей уравнение принимает такой вид, для которого довольно просто найти возмущенные решения — + и = -В + Ста + .... (5.1.5) пйг 2 Когда С = О, это уравнение имеет решения типа простых конических сечений ньютоновских теорий.
Переменная и испытывает гармонические осцилляции около точки В/2 как функция й. Пля эллиптических орбит частота равна 1, так что радиальная координата г возвращается к своему начальному значению при изменении значения угла 0 на 2л; движение в точности циклическое. Когда С не равно нулю, частота равна м = Я вЂ” С. Угловой период и этом случае больше, так что перигелий поворачивается при угловом изменении Т = 2и/ы = 2и(1+ С/2+ ...). Угол иС представляет прецессию пери- гелия за один планетарный год, так как С « 1.
Пля нерелятивистской планеты мы получаем значение препессии довольно просто; нерелятивистский предел имеет место, когда общая энергия К близка к 1 (в естественных единицах пгсг). В этом случае легко показываетсд, что уравнение (5.1.5) сводится в точности к ньютоновскому уравнению, как это и должно быть. То, что наша теория должна иметь правильный нерелятивистский предел, является более важным, чем то, что она ласт правильное значение для прецессии. ! Когда Кг — 1 ~м О, прецессии за планетарный год равна иС = (гтг — а+ а~3)4ггМ~С~Х, г.
(5.1.6) При существующей теории а = Д = 1, а = О, эта величина получается равной 57 секунд луги в столетие (в земных годах) для планеты Меркурия.,Пля других планет эти значения значительно меньше, как например, 4 секунды дуги в столетие для случая рассмотрения орбиты Земли. Астрономические наблюдения для прецессии перигелия Меркурия дают значение 5270а дуги в столетие. Однако, почти вся эта величина может быть объяснена влиянием возмущении вследствие влияния других планет. Когда же аккуратно делаются поправки (с использованием чисто ньютоновской теории), отличие между наблюдаемой и вычисленной прецессией оказывается равным 41 х 2 секунд. Наша теория дает ответ, который, очевидно, слишком велик (по сравнению с отличием между наблюдаемым значением прецессии н вычисленной величиной в рамках ньютоновской теории), и множитель, который характеризует различие между отличием наблюдаемой и вычисленной (в рамках ньютоновской теории) прецессией и вычисленным нами в рамках слабого приближения эйнштейновской теории гравитации смещением перигелия, имеет значение порядка 4/3.1 Результаты окэзались настолько близки, что перед тем, как заняться уточнением нашей теории, мы могли бы тщательно проверить наблюдательные данные и вычисления для того, чтобы быть уверенными в том, что эти различия действительно имеют место.
Такая проверка была проводилась неоднократно, и величина для отличия наблюдаемой и предсказываемой в рамках ньютоновской теории прецессии Меркурия осталась прежней (т.е. равной 41 х 2л). Мы могли бы рассмотреть возможность физических объяснений. Если бы имелась ненаблюдаемак до сих пор планета внутри орбиты Меркурия, нли если бы Солнце имело существенно квадрупольное распределение массы, так что оно было бы более сплюснуто, то дополнительная прецессия могла бы иметь место. Когда мы действительно делаем оценки для того, чтобы понять, насколько же велика должна быть такая деформация, мы приходим к величинам, которые много больше тех, которые могли бы быть приняты как физически разумные.
Солнце вращается слишком медленно для того, чтобы иметь квадрупольный момент достаточной величины. Были сделаны также оценки для того, чтобы объяснить расхождение наличием внутренних планет, и было показано, что подобное объяснение также не является удовлетворительным. Отсюда мы должны заключить, что наша теория неверна. Перед обсуждением того, что неверно в нашей нынешней теории, мы можем использовать анализ орбит лля того, чтобы получить количественный результат для отклонения очень быстрых частиц при прохождении их вблизи Солнца. Релятивистский предел получается, когда Кг » 1, т.е.
полнея энергия много больше, чем энергия покоя. Импульс равен р = з/Кг — 1. В пределе К » 1 можно показать, что уравнения могут быть приведены к виду, аналогичному тому, который имеет место в ньютоновской теории, за исключением того, что потенциал умножается на величину (В + гт). Так как;3 = сг, то наши предсказания для угла отклонения в общем случае дают величину, которая в два раза больше, чем величина угла, получаемая в ньютоновской теории.
Численное предсказание состоит в том, что очень быстрые ча- г В посладиаа арама достигнуто супзаствеиио более точное соответствие предсказаний ОТО и наблюдений. Так, например, в книге Вейнберга ~Жа1п 72) приведены слалуютдиа данные: предсказание в рамках ОТО дает зпачапиа 43.03" /столатиа, а различие ваблюдаиий и прадсказапик в рамках вьютолпвской теории гравитации дает разультит 43.11 х Омал/столатиа. ((Прим. перва.) 5.2.
Замедление времени в гравитационном пале 127 Лекция 5 125 стицы (и = с), проходжцие вблизи поверхности Солнца, должны бы отклоняться на угол 1.75". Были проведены измерения отклонения лучей света, испускаемого звездами, при прохождении лучей вблизи поверхности Солнца, и полученные результаты оказались обнадеживающе близки к теоретическим предсказаниям. Наблюдения в принципе являются прямыми, но достаточно сложно увидеть какие бы то ни было звезды, когда на небо выходит Солнце, не говоря о том, что оно должно быть достаточно близко к этим звездам. Зля анализа берутся из тся изображения областей неба н сравниваются с изображениями, которые получаются в течение полного солнечного затмения.
Когда поле звезд, наблюдаемое во время солнечного затмения, налагается на исходное поле звезд, наблюдаемое тогда, когда Солнце находится вдали от этого поля звезд, то можно определить сдвиг от Солнца положений звезд, который тем больше, чем ближе было исходное положение к солнечному диску (на небесной сфере). Анализ данных может быть достаточно продолжительным; два таких эксперимента давали значения, соответствующие отклонениям 2.01 и 1.70 секунд луги для света, проходящего вблизи поверхности Солнца, так что предсказание для угла отклонения, равного 1.75 секундам, вообще 1 говоря, согласуется с этими наблюдениями. 5.2. Замедление времени в гравитационном поле На настоящий момент у нас имеется теория, которая, очевидно, согласуется с наблюдениями за исключением того, что мы переоценили величину прелессии орбит планет на множитель порядка / .
4/3. Мы можем представить, как и венерианские теоретики, что пока идет обсуждение остаточных возмущений илн пока делаются более точные измерения, разумно продолжить развитие теории в ее нынешней форме для того, чтобы обнаружить некоторые новые эффекты, которые могли бы быть проверены, или обнаружить скрытые противоречия теории. Если мы сравниваем дифференциальные уравнения движения частиц в электрическом и гравнтапионном полях, мы обнаруживаем, что уравнения движения в гравитационном поле имеет качественно отличный новый признак; не только градиенты, но и сами потенциа1Нзблюдениз с помошью методов рвлноинтерферометрии полтверлили фор- 97", мулу Эйнштейна длз отклонение лучей света с точностью до 1% (Звхв Сопл 74', Роша 76').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
