(Фейнман) Лекции по гравитации (555367), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Тензор энергии-импульса для скалярной материи Прежде, чем мы сможем вычислять наблюдаемые эффекты и делать предсказания другие, чем закон "обратных квадратов", и то, что "одинаковые тела" притягиваются с силой, пропорциональной его энергии, мы должны определить, как материя определяет тензор давления Т„». Сначала мы проведем в некоторых деталях вычисления, основанные на простейшем предположении, что материя может быть представлена скалярной функцией ф.
Позднее нам понадобится рассматривать функции более высокого ранга; возможно в конце курса мы рассмотрим вещество со спином 1/2, поскольку такое вещество имеет свойства, существенно отличающиеся от вещества, характеризующегося целым спином. Для исследования свойств материи с целымн значениями спина 1 н 2 требуются более сложные алгебраические преобразования, однако никаких принципиальных нововведений привлекать не требуется. Как сделать обобщение плотности энергии-импульса для скалярного поля ф.
Если заглянуть в книгу Вентцеля (%епз 49] по теории поля, мы обнаружим, что предлагается следующая процедура, Предположим, что лагранжиан зависит от полей и их производных Компонент с индексами (441 тензора энергии-импульса должен пре- дставлять плотность энергии, которал есть гамильтониан. Поэтому используя обычное классическое описание для выражения гамильто- ниана из лагранжиана .дЬ д4 получаем следующее соотношение Т" =Ф' ~~ — Б" Е (4.2.3) '" дф'„ Это правило не является корректным в общем случае. Во-первых, оно не обязательно приводит к выражению, симметричному по индексам д и и. Если тензор Т„„— несимметричен, то результирующая 4,2, Теизор энергии-импульса для скалярной материи Рис. 4.2.
теория — патологическая (например, нет способа определить угловой момент в таком поле). Закон сохранения энергии в общем случае не выполняется, поскольку в дивергенцию включены члены, которые не являются больше равными В нашем частном скалярном случае правило (4.2.3) действительно приводит к тому, чтобы получить удовлетворительную симметрич- ную форму. Мы получаем лагранжиан и действие 5(Скалярная материя) = — ~ сй~(ф' ф „— 1пзф ), (4.2.5) 1 который дает следующее выражение для тензора давления ~и» = ф,»ф,и — — д»» ф'ф,»+ — ~~з ф 6»».
2 ' 2 (4.2.6) С учетом тензора давления для скалярной материи (4.2.6) член, описывающий взаимодействие в лагранжиане, имеет следующий вид: 1 -ЛЬ""Т„„= — Л ~Ь""ф яф „— — Л" тр„„(ф ф, — тзф ) . (4.2.7) 2 В наших компактных обозначениях, использующих оператор "черта", последнее соотношение может бьггь переписано следующим образом: Теперь мы можем использовать член, описывающий взаимодействие, для того, чтобы получить амплитуды для рассеяния при обмене гра- витоном. 112 Лекция 4 (4.3.1) г»,» Р» > 2Л р„р» — — д„»(~р Є— т ) (4.3.2) 3 4 1 г 2Л ~ Ри Р 2пг Ъ~ (4.3.4) ,л Ь„»,л' — 2о»», ° = О, (4.4.1) Л»» — — е„„ехр(дд х), (4.4.2) п.
е„,=д — д е„„г+д„~ — гд е„ д (4.4,4) 4.3. Амплитуды длм рассеяния (скалярная теорим) Амплитуда рассеяния, соответствующая обмену одним гравитоном, представлена на диаграмме, изображенной на рисунке 4.2, и может быть записана из исследования диаграммы, так хак мы знаем форму пропагатора и для каждой вершины у нас есть член, описывающий взаимодействие, задаваемое лагранжианом (4.2.7). Заменим градиенты компонентами 4-импульса в импульсном представлении так что член, описывающий взаимодействие, становится следующим для одной из вершин Мы пишем подчеркивание под произведением Р„р„для того, чтобы напомнить, что мы должны использовать соответствующим образом снмметризованную версию, так как Ь„„— симметричен.
Более точно, А»В» гн — (А»В» + А»В„). 1 (4.3.3) Пля второй вершины нам также необходима "черта" для выражения, которое имеет следующий вид Тогда полное выражение для амплитуды есть следующее 4Л Р» Р» — аг Чр» г Р» Р» — — Ъ»( Р Р» — щ ) (4.3.5) г (з ч 1 г 1 1 Ь1 г 1 г , г г 1 ~ дг 1 — 2 Выбранные обозначения (" черты", "подчеркивания" и т.п.) приведут к упрощениям в алгебраических манипуляциях в более сложных вычислениях, которые необходимо будет выполнять, так что стоит ими воспользоваться.
Наша теория дала нам выражение для амплитуды гравитационного рассеяния одной частицы другой. Длм того, чтобы вычислить чта-нибудь, что имеет измеримую величину, мы должны придти к очень большим значениям массы, и для того, чтобы наблюдать эффект, который не определяется ньютоновским законом, нам необходимо использовать движения са скоростями, близкими к скорости света. Мы можем, например, вычислить угол отхлонения тела малой массы, 4.4. Подробные свойства плоских воли.
Эффект Комптана 113 движущегося с очень большой скоростью (а м с), которое отклоняется звездой, такой как Солнце. Здесь нам необходимо обосновать замену суммы амплитуд от всех частиц в звезде одной амплитудой, соответствующей массе М; подобная замена является аппроксимацией, но она лает правильный ответ в первом порядке некоторого типа. Такай угол больше, чем его величина в рамках ньютоновской теории, я отличается на множитель (1 + ег/сг).
Нельзя говорить а том, что этот результат соответствует отклонению света Солнца, потому что фотон не является скалярной частицей, отсюда следует, что ан не может представляться скалярным массовым полем ф. Нля рассеяния двух идентичных частиц такая амплитуда должна содержать обменный член, но для случая звезды— частицы, очевидно, не идентичны. В нашей теории до сих пар не рассматривалась возможность тога, что мы могли бы добавить член с нулевой дивергенпией к нашему тензору давления Т„„; это соответствовало бы другому распределению в пространстве масс и давлений. Этот и связанные с ним вопросы в дальнейшем будут подробно обсуждаться. Лаже для скалярной материи, как мы увидим, у нас есть действительнам двусмысленность при определении тензора энергии-импульса Т„„. Эта трудность такие возникает в электродннамике, когда мы пытаемся записать взаимодействие фотонов с заряженными векторными мезонами.
4.4. Подробные свойства плоских волн. Эффект Комптона Мы можем изучить свойства гравитационных волн в отсутствии материи; вариируя лагранжиан, получим уравнение которое аналогично уравнению Максвелла в пустом пространстве. Если мы используем решения типа плоских волн та уравнение принимает следуюшин вид дг億— д„д» е„„вЂ” д„д»е»» —— О.
(4.4.3) Мы интересуемся случаями, когда дг ~ О и дг = О. Если дг ф О, мы можем разделить на д и переставить члены уравнения так, что г 115 Лекция 4 114 (4.4.5) сии = Хд,в + Хи,д. "Обменная" диаграмма (4.4,6) д'е„„= О. (4.4.7) (4.4.8) д" = (ьд,ьд,0,0). Если мы выбираем 1 ЕД2 — — Е2Д - -—. д/2 д Е„= — Е22 = —, д/2 (4.4.10) Такое разделение вектора на два слагаемых в точности выражает вектор е„„как снмметризованный градиент Ранее мы обсудили, как калибровочная инвариантность гравитационного поля означает, что добавление члена такого вида не приводит к отличиям в физике явления.
Отсюда следует, что всегда можно добавить некоторый член к е„„ так, что е„„ = О. Мы будем называть такие волны с д?2 ~ 0 "калибровочными волнами"; эти волны не связаны ни с какими физическими эффектами и могут быть всегда устранены калибровочным преобразованием. Если 42 = О, то из уравнения (4.3.3) следует, что Это так называемые свободные волны должны удовлетворять лорен- цеву калибровочному условию. Пело не только в выборе для удобства в случаях, в которых волна не свободна. Этот факт имеет свой электромагнитный аналог, для фотонов величина дд'ея должна быть равна нулю.
Мы можем вывести действительный вид тензора поляризации е„„ в системе координат такой,что 4-вектор импульса равен е„*„= е„„+4дХ +9.Х, (4.4.9) н требуем, что е'„„должна иметь компоненты только в трансверсельном направлении, мы получаем систему уравнений, которая может быть разрешена и получен ответ Для того, чтобы получить соотношения (4.4.10), заметим, что из уравнения (4.4.6) следует, что ен4 = -е„з, так что только компоненты с индексами 4, 1 и 2 являдотся независимыми.
Компоненты с индексом 4 могут быть удалены, если требуется, с помощью 4.5, Нелинейные днаграммьд для гравитонов Рис. 4.3. преобразования (4,4.9). Например, е~14 — — е14 + ьдХ1, тогда выберем — е14/2д Х2 = е24/и. Тогда е4, = е4з + иХ4 — ыХз, выбе- Ф -4 — ! рем Хз — Х4 = -ез4/ьд, тоддда е42 = е42 — — е44 = езз = О. Выбирая Х4 = — е44/2дд, сделаем следующую величину равной нулю е44 — — е44+ 2ыХ4 = О. Тогда, так как величина е44 также равна нулю, то след е' равен нулю, следовательно, равны нуддю также и езз и е' + е22.
Поэтому остались ненулевыми среди величин е'„„только компоненты с индексами Р, и = 1 или 2 и для них ед = -е22. Имеется только две линейно независимые нормализованные комбинации (4,4.10). Амплитуда для комптоновского рассеяния гравитона частицей массы т соответствует диаграммам, изображенным на рис. 4.3. Поляризации гравитона представляются тензором е„„; для скалярной массы компоненты импульса в каждой вершине — 'р„, (др„+ дд„) = ( Р, + 4„) и р„. На языке этих величин мы имеем для первой диа- 2 2 2 граммы г 4А е"" Рд( Р„+ дд ) — — дп 11д 1 2 Пропагатор написан таким образом, что подходит для скалярной частипы.
Некоторые ограничения в этой формуле следуют из ограничения для плоских волн дз = 0 и д" е„„= О. 4.5. Нелинейные диаграммы для гравитонов Из калибровочной ннвариантности мы ожидаем, что замена де„„на 1 1 е„„+ дд„а„+ д„а„не должна бы влиять на комптоновскую амплн- 1 гуду. Однако прямая подстановка показывает, что зто утверждение ие является верным. Что же ошибочно в наших рассуждениях? 4,6 Классические уравнения движения частипы 117 116 Лекция 4 Рис. 4.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
