(Фейнман) Лекции по гравитации (555367), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Рис. 4.5. При комптоновском рассеянии фотонов электронами имеется третья диаграмма, изображенная на рис. 4.4, которая неаналогична ни одной нз диаграмм, изображенных на рис. 4.3. Эта диаграмма соответствует квадратичному взаимодействию в Аз, которое появляется в лагранжиане для того, чтобы сделать теорию калибровочно инвариантной. По аналогии с ситуацией в электрадинамике мы могли бы полагать, что при рассмотрении только пары диаграмм, изображенных на рис.
4.3, мы делали приближение к правильному описанию путем линеаризации. Существование амплитуды с квадратичным взаимодействием, соответствующим диаграмме, изображенной на рис. 4.3, может быть выведено в электрадинамике требованием того, чтобы калибровочная подстановка е'1 — — е1 + еа (4.5.1) не должна была бы приводить к изменению в амплитуде в заданном порядке. Такая процедура состоит просто в приравнивании членов одного н того же порядка амплитуд, полученных из е1 и е', с коэффициентами перед каждым членом, которые должны быть определены.
Может быть возможно вывести форму квадратичного члена гравитона аналогичным способом, но это пока еще не было сделано, поскольку самовзаимодействие гравитона делает анализ довольно сложным ва втором порядке, н мы получим правильные выражения, используя другой подход. Может быть интересным попытаться вывести эти члены, применяя прямой подход, так что сделаем несколько замечаний об этом.
Если мы рассматриваем добавление к комптоновскому рассеянию не только амплитуд, таких, какие представлены на рис. 4.4, но также амплитуд, соответствующих диаграмме, изображенной на рис. 4.5, у нас вероятно не будет условий для того, чтобы оцределить все неизвестные параметры более полной теории. Если мы рассмотрим взамен нашей задачи комптоновское рассеяние виртуального гравитона, мы можем увеличить числа регулируемых величин, и может быть Рис. 4.6, возможно вновь получить правильную теорию. Включенные в анализ диаграммы могут быть типа изображенных на рис.
4.6, и мы могли бы попытаться сделать сумму калибровочно инвариантной. На самом деле, мы будем решать зти проблемы другим способом, тем не менее, такой подход может быть полезным для того, чтобы изучить детали нашей полевой теории, подходя к решению различными путями. 4.6. Классические уравнения движения гравитируюгцей частицы Для того, чтобы вычислить некоторые классические эффекты в нашей теории, например, орбиты планет, движущихся вокруг звезды, иам необходимо свести нашу квантовую теорию к ее классической форме.
Это возможно сделать, выписывая классическую теорию, как результат вариапионного принципа на интеграле по траекториям, который заключает в себя действия или временной интеграл от лагранжиана. Пвижение, описываемое частицей, задается минимумом интеграла по траекториям, например, для свободной частицы это минимум интеграла Что-то должно быть добавлено к интегральному выражению для того, чтобы представить гравитационные эффекты.
Имеется более, чем один вариационный принцип, который может дать классическую теорию, так что мы будем использовать вариационный принцип, который дает более удобные интегралы па траекториям (фактически, принцип, приводящий к уравнению Клейна — Гордона методом интегрирования по траекториям в квантовой механике). Нля заряженных Лекция 4 (4.6.6) т — = еР„„ (4.6.3) и О 2 йз д«»(х)х х (4.6.7) обращается в нуль, илн «» (1 ад«» дд»»] ~« ~» д»»х — — ~х х (2 дх" дхл ~ (4.6.9) 1 (ад„. ад„.
ад„.1 ]„...]= 1 ~+ 11 2 ~ дх" дх» дх" ~ (4.6.4) (4.6.10) д» х« = — ]ри,п]х'"х' . (4.6.11) Л йз й„„(~) (4.6.5) частиц мы можем получить уравнения движения, вариируя интеграл — 4а — —" — е йз Ае(х) — . (4.6.2) После того, как мы проделаем некоторые преобразования, приходим к следуюшему соотношению где Р„» есть ротор от вектора А„. Из этого уравнения, умножая на с~х„/йз, тэк как тензор 㫄— антисимметричен, мы находим, что есть константа,так что величина а пропорциональна собственному времени (и мы можем взять ее равным собственному времени, если те есть масса покоя частицы). Палее мы должны включить наш тензор Т„„в подынтегральное выражение соответствующим образом для того, чтобы получить правильные гравитационные уравнения.
В электродинамике вектор, связанный с полем, есть просто производная смещения по отношению к 4-скаляру, т.е. скорость (сЫ'~йз). Мы предполагаем, что тензор Т„„есть не что иное, как тензор, порожденный двумя такими скоростями, и подбираем мультипликативную константу так, что компонента с инпексамн 44 правильно описывает плотность энергии. Мы полагаем где а = з = "собственное время". Компонент с индексами 44 есть р; 1/»Т- »«' для того, чтобы учесть увеличение энергии со скоростью, и другой множитель для того, чтобы учесть одновременное сокрашение объема из-за лоренцева сжатия.
Следовательно, интеграл от лагранжиана или действие, которое должно быть провариировано, имеет следуюший вид: 4 6. Классические уравнения движения частицы Введем новый тензор для того, чтобы записать действие в более ком- пактном виде д«»(х) = пя» + 2ЛЬя»(х), так что действие может быть записано в виде Начиная с последнего соотношения и ниже, обозначаем производную по отношению к параметру а знаком "штрих". Поскольку мы варнируем функционал (действие) по отношению к координатам траектории, мы получаем два равных члена от каждого из множителей х'", х' и один от тензора д„; уравнение движения имеет вид — — (д х )+ — — х хи=0. д,. 1 ад„„,„, (4.6.8) йз " 2 дх Существуют другие способы записи уравнений, которые могут быть иногда полезны.
Сначала мы перегруппируем члены, в которых имеются две скорости, с одной стороны равенства Теперь мы расщепляем второй член на две равные части и переобо- значаем индексы суммирования д +~ и в одной части для того, чтобы получить комбинацию, которая задается специальным символом, по- скольку он часто повторяется Уравнение движения, выраженное через такую скобку (называемую ковариантными коэффициентами связности), становится довольно простым Имеется одно следствие этого уравнения, которое немедленно полу- чается дифференпированием по параметру а произведения д„„х'"х' 4,7, Орбитальное движение частицы вокруг звезды 121 120 Если мы перепишем произведение д„„хв» в первом члене в правой части его выражением (4.6.9) и переобозначим индексы суммирования, мы находим, что производная тождественно равна нулю.
Таким образом, произведение д„„х'"х«» есть скалярная константа. Если мы определим новый параметр в следующим соотношением д„„х'"х' то в — аналог собственного времени для задач гравитации. Так кал 4(в/Но есть константа, мы выберем ее равной единице и обозначим ниже все производные по переменной в точкой. В частности, тогда (4.6.13) д„„х х =1. в» 4.7.
Орбитальное движение частицы вокруг звезды Уравнение движения может быть записано через полевой тензор сле- дующим образом (что следует из соотношения (4.6,8)) » дЬ««»»» — (п„х +2ЛЬ „х )=Л х"х'. (4.7.1) Перед решением уравнения движения следует заметить, что нам не- обходимы соответствующие выражения для гравитационных полей. Мы интересуемся этими выражениями в области, где нет источников массы. Таким образом, полевое уравнение ,л — л Ь4«»,л' — 2Ь««л«» — — ЛТв» (4.7.2) может быть решено способом, аналогичным решению уравнения Ма,л ксвелла, если мы используем лоренпеву калибровку Ь„л' = О. Вспоминал определение даламбертиана и = (д7'дг)2 — 122, получаем (4.7.3) ПЬ„„= — ЛТ „. — ЛМ Ь44= — —, Ь=О, (и,р~4,4).
(4.7.4) 4яг' Для гравистатического случал, когда временная зависимость имеет нулевую частоту, мы должны иметь ньютоновский закон для силы; компонент Т44 пропорционален массе. Другие компоненты равны ну- лю. Полевой тензор есть Тензор без черты получается вычислением оператора "черты" от об- еих частей Ья" 2Ь»% = ~ 8я г ' (4.7.5) 0 в противном случае. Подставляем такой полевой тензор в уравнения движения и исполь- зуем следующие обозначения фг ф 2 2 ° 2 ов — (-«» «й = — ~ — «' « — ~ ' » «' ««') ] .
2 (дх дх (4.7.7) Уравнение для времени имеет вид Н («+ фй) = О. дв (4.7.8) Мы имеем интеграл движения, следующий нз уравнения (4.6.13) х"х„+ 2ЛЬ„„х"х" = 1, (4.7.9) которое приводит для нашего случал к следующему соотношению ' (4.7.10) г(1+ ф) (1 ф)(йг+ 2+ .2) Из уравнения для времени (4.7.8) следует, что (1+ ф) — = К, д2 4«В (4.7.11) ф = 2ЛЬ44, ф = 2ЛЬзз = 2ЛЬ22 = 2ЛЬы (4.7.6) Для данного случал ясно, что ф = ф = -2МС/г, но в последней лекции мы будем иметь возможность рассмотреть случай, для которого это неверно, так что мы останавливаемся на таком различии в выражении, но предполагаем, что величины ф и ф являются функциями только г.
Процедура решения уравнений, описывающих орбиты, аналогична методу решения уравнений для ньютоновского поля. Мы разделяем уравнения на пространственные координаты и временные координаты, исключаем время и параметр «2 для того, чтобы получить дифференциальное уравнение, связывающее бесконечно малые перемещения по радиальной и угловой координате. Мы исходим из четырехмерного уравнения (4.7.1).
Пространственные координаты (к = 3, 2, 1) ведут себя согласно следующему уравнению 122 Лекция 4 где К есть константа (пропорциональнэл энергии). Это соотношение используется для исключения производной Ф/Нз из уравнения для пространственных компонент (4.7.7). Так как величины ф, ф зависят только от т, правая часть уравнения (4.7.7) ориентирована по оси х. Из этого следует, что — [(1 — ф)(йу — ух)] = О. а' Из Таким образом, если мы предполагаем, что движение происходит полностью в плоскости з = 0 и используем полярные координаты т, д в плоскости ху, мы имеем дополнительную константу движения Ь, связанную с угловым моментом (1 — ф)тзэ = Х.
(4.7.12) Уравнение для радиального движения может быть получено из урав- нения (4.7.10), записанного в полярных координатах Кг — — (1 — ф) [гадя + тз/ = 1. 1+ф (4.7.13) Меняя производную (т1т/Щ на отношение (аг/Ыз) и (йд/аз), мы получаем дифференциальное уравнение для орбиты (4.7.14) Традиционная подстановка и = 1/т.приводит к уравнению, которое можно удобно рассмотреть, анализируя малые возмущения ньютоновских уравнений (4.7.15) Мы полагаем, что ф = ф = — 2МС/т = — 2МСи. Пля нерелятивистских движений К близка к 1 и Кз/(1+ ф) — 1 = Кз — 1 + 2МСи, если величина ф предполагается малой, так что в пределе малых значений ф,ф правая часть уравнения (4.7.15) как раз и есть | з(Кэ— 1 + 2МСи).
Это выражение такое же, как и в ньютоновсхой теории, где правая часть уравнения равна (Е + 2МСи)Ь з, где Š— энергия частицы. В релятивистском случае имеются модиФикации, где мы не пренебрегаем членами более высокого порядка. Их мы обсудим в следующей лекции. Лекщы 5 5 .1. Орбиты планет н прецессии Меркурия Поскольку мы уже достигли некоторого прогресса в развитии более сложных теорий, мы должны взглянуть на более тонкие детали на- ших предсказаний для того, чтобы иметь критерии для оценки нашей теории.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
