(Фейнман) Лекции по гравитации (555367), страница 25
Текст из файла (страница 25)
(Правь иерее.) Лекция 3 164 3,6. Уравнения гравитационного поля 105 Наша теория не будет полна до тех пор, пока мы не придумаем некоторый критерий для определения значений коэффициентов а, Ь, с, Ы, е,.... Возможно мы можем сделать предположение по некоторой аналогии с электромагнетизмом. Если мы вычисляем вариацию общего лагранжиана (3.5.1) по отношению к А, мы получаем дифференциальное уравнение, связывающее поля и ток д д д д — —.4„— — — А„= у». (3.5.3) дх„дх " " д*„дх» Для зкономии записи далее мы будем показывать такие дифференцирования (градиенты), просто указывая индексы координат после запятой; уравнение, которое приведено выше, имеет следующий вид; А» „' — А„,»'" — — у». (3.5.4) Закон сохранения заряда выражается вычислением дивергенции у», равной нулуо.
Но мы можем заметить, что уравнения Максвелла для этого поля несогласованы, за исключением закона сохранения заряда, и что градиент от выражения в левой части соотношения (3.5.4) пуождеспувенвв равен нулю. С использованием правильного лагранжиана электромагнитного поля, закон сохранения заряда может быть выведен как следствие полевых уравнений.
Так как левая часть уравнения (3.5.4) удовлетворяет этому пуождеспуву, его дивергенция также равна нулю: А„, '"' — А„,„' " = О. (3.5.5) Подобное условие используется для того, чтобы определить величину коэффициентов а, Ь, с, И, е, ... относительно друг друга. Мы будем выписывать общий лвгранжиан, выводить дифференциальные полевые уравнения путем вариации лагранжиана и требовать, что, так как дивергенция тензора Т обращается в нуль, полевые величины, которые равны этому тензору, должны иметь дивергенцию, которая равна нулю тождественно.
Это условие будет влиять на однозначный выбор значений коэффициентов. Мы проведем ниже алгебраические вычисления подробно, устанавливал значения коэффициентов таким образом, что полевые уравнения согласованы, если только (3.5.6) Т' „=О. 3.6. г"равнении гравитационного поля Вывод уравнений начнем с выписывания всех возможных произведений нашего полевого тензора Ь„. На каждом шагу имеют место значительные упрощения, если мы используем симметрию тензора Ь„„при комбинации различных членов.
Если два тензорных индекса отличны от индекса производной, мы имеем два различных произведения Ь»и, Ь» ' 2. Ь, Ь» Если имеются два индекса, которые равны, мы можем иметь три возможных произведения 3. Ь"" Ь,» 4. Ь"" Ь „5. Ь"„Ь» Не все пять произведений необходимо рассматривать, произведение и, 2 может быть опущено, поскольку оно может быть преобразовано в произведение и. 3 интегрированием по частям. Таким образом, предполагаем, что лагранжиан имеет следующий вид +у1Ь"„»Ь ™ — ЛТ' Ь„„).
(3.6.1) Теперь мы вариируем эту сумму четырех произведений по отношению к тензору Ь„уу для того, чтобы получить дифференциальное уравнение, связывающее полевые производные с тензором источника Т в. Таким образом, приходим к следующему результату (необходимо помнить, что ЮЬ„в симметричен по индексам а, д, так что симметричная часть его коэффициентов должна быть равна нулю) а 2 Ьауу,»' + Ь (Ьао,уу' + Ьууа,е' ) + с (Ь~„,чу + уу< ууЬ"" „у ) + 62 уу„,у Ь~» „" = -АТЬ.
(3 6 2) Мы берем производную каждого из этих членов по отношению к индексу д, тогда требование, что дивергенция левой части должна быть равна нулю, приводит к следующему уравнению 2аЬ ~' + ЬЬ-~ »в+ ЬЬу'. »в+сЬ. + сЬ,»ы + 2НЬ е,»' = О. (3,6.3) Теперь объединяем члены с одним и тем же множителем и берем значение соответствующего коэффициента равным нулю; получаем следующие соотношения, которые включают в себя перестановку и смену индексов: Ь»УУ'»,у(2а+ 6) = О, ЬУУ ' уу~(6+с) = О, (3.6.4) Ь»,уу~ (с+ 2Ы) = О. Если мы выбираем масштаб для наших результатов такой, что а = 1у'2, мы получаем 1 1 а= —, 6= — 1, с=1, у1=--, (3.6.5) 3.7.
Определение символов 107 Лекдия 3 106 Предположительно, теперь мы получили правильный лагранжиан для гравитационного поля. Как следствие из этого лагранжиана мы получим в конце концов полевое уравнение. 3.7. Определение символов Манипуляции с тензорными величинами становятся все более скучными в той работе, которой мы занимаемся; н для того, чтобы не увязнуть в алгебре сс многими индексами, могут быть разработаны некоторые упрощающие приемы. В настоящее время не очевидно, что определения, которые мы делаем, полезны; подтверждение этому проявится в их более позднем использовании.
Определим оператор "черта" для произвольного тензора второго ранга следующим образом: Х„„= — (Х„„+ Х„„) — — л„„Х вЂ” 1 1 (3.7.1) Лля симметричного типа, такого как Ь, это правило проще, потому что два члена в первой скобке равны 1 йя» = »»з бя>»»> 2 (3.7.2а) Ь„„ = Ь„, (3.7.26) Заметим, что оператор "черта*' является своим собственным обратшям оператором для симметричного теизора.
Определим также использование неннлексированного тензорного символа, чтобы представить его след Ь = Тг(Ь) = Ь и— (3.7.3) Используя такие обозначения, можно записать полевые уравнения (3.6.2) с учетом (3.6.5) в симметризованном варианте (3.7.4) Лля того, чтобы получить соотношение для Т„„, мы просто берем оператор "черта" от обеих частей последнего уравнения.
Следующим шагом мы попробуем найти что-либо аналогичное свойствам калибровочной инвариантности электродинамики для того, чтобы упростить решение уравнения (3.7.4). В элекгродинамике полевые уравнения имеют вид: ~»,> А,»»» (3.7.5) следствие которых состоит в возможности описания полей так же хорошо на языке нового четыре вектора А,'„получаемого из вектора ,4„добавлением градиента скалярной функции Х А'„= А„+ Х,„. (3.7.6) Какое свойство было бы аналогичным свойством тензорного поля? Мы предполагаем,что следующее свойство может быть справедливым: (мы должны быть внимательны для того, чтобы сохранить наши тензоры симметричными) подстановка Ь'„„= й„„+ Х„,„+ Х„,„ (3.7.7) в левую часть уравнения (3.7.4) не меняет вид этого уравнения.
Локазательство этого факта оставляем в качестве упражнения, С использованием свойства калибровочной инвариантности, было бы проще получить уравнения для полей в определенной калибровке, что более подходяще, что-то типа лореицевой калибровки в электро- динамике. По аналогии с выбором (3.7.8) А,„= О, мы сделаем следующий выбор (который будем называть условием Лоренца) Б, =О. (3.7.9) Таким образом, получаем полевые уравнения, связывающие оператор "черта" от тензора Т с полями Ьи>,о йз 5» > Тек (3.7.10) или решая 6„= Якз)Т„„. Немедленно получаем, что амплитуда взаимодействия такого тензора Ь с другим источником Т„'„от ЛЬ„„Т" в лагранжиане, имеет следующее выражение А Т„„ Итак, мы получили в точности то, что мы получили прежде при обсуждении амплитуд непосредственно.
109 Лекции 4 (4.1.1) (4.1.2) Й„„= е„„ехр(4й х), ф = аехр(И х). (4.1.5) (4.1.3) е„„е =1. — «В + Ям (материя). (4.1.4) 4.1. Связь между рангом тенэора и знаком поля Мы хотели бы вывести некоторые полезные общие свойства полей, используя свойства лагранжевой плотности. Для гравитационного поля мы определим в данном месте константу взаимодействия и нор- мализацию плоских волн, которые мы будем отныне использовать. Мы положим Злесь, С вЂ” обычная гравитационная постоянная в естественных единицах (Ь = с = 1); квадратный корень включается в определение с тем, чтобы константа Л стала аналогична заряду электрона е в элехтродинамике, что предпочтительнее того, чтобы подобная величина была пропорциональна хвэлрату заряда.
Множитель ьlЗя служит для того, чтобы исключить не относящиеся к делу множители из большей части полезных соотношений Для того, чтобы представить плосхо-волновые гравитоны, мы будем использовать поля с вектором поляризации е„„, нормализованным таким образом, что Действие, которое описывает общую энергию полей гравитации, ве- щество и взаимодействие между веществом и гравитонами, имеет следующий вид я= — ) в (й""' 1„,, — я ь„„' ) (~) + сй'(Ь„„Т„„) (член взаимодействия) Мы можем вывести из лагранжианов полей некоторые важные свойства, например, мы можем понять, почему гравитация притягивает как частицы, тах и античастицы, в то время как в электричестве одинаковые заряды отталкиваются, а противоположные притягиваются.
Может быть показано, что это свойство связано со знаком лагранжиана, так что если мы изменим знак лагранжиана Я вЂ” + — Я, сила 4,1. Связь между рангом тензора и знаком поля Рис. 4.1. меняет знак. Знак констант взаимодействия Л или е, или д не дает отличий в теории, так как он появляется в квадрате в любой диаграмме, хоторая представляет поправку к энергии; всегда вовлечены две вершины. Мы можем поменять знак энергии, соответствующей диаграмме такой, как изображенной на рис. 4.1, только, если мы можем ввести множитель ( и каждой вершине, например, если мы должны яспользоватыюля 1ф вместо ф.
Тем не менее, поля ф должны представлять соответствующие плоские волны, которые согласовано определены так, что установившиеся волны в большой коробке имеют положительные значения энергии и квантово-механические осцилляторы, которые представляют эти установившиеся волны, ведут себя правильно. Скалярные поля имеют плоские волны Амплитуда а для квантового паля появляется как координата квантово-механического осциллятора. Если значения кинетической энергии таких осцилляторов, которые пропорциональна аз, должны представлять положительные значения энергии, мы обязаны записать нашу теорию последовательным образом, и замена ф — + 4ф была бы ошибкой. Для электромагнитных волн именна компоненты в трансверсальном направлении, перпендихулярном направлению распространения, ограничиваются при подобном рассмогрении.
Отрицательный знак появляется в связанной энергии потому, что энергия включает в себя пространственные индексы в скалярное произведение двух векторов, которое мы определили как А„В" =А  — (АзВз+А Вз+А В ). (4.1.6) Знак кулоновских сил связан со знаком временных компонент в лагранжиане. Для гравитационных волн также имеются трансверсвльные компоненты, хоторые заключены в определенные пределы, а при 4 з, Ти~ ~ Т~» (4.2.4) (4.2.1) (4.2.2) -Л й""ф ф +-Ь зфз 2 (4.2.8) свертке по двум индексам (или даже по четному числу индексов) зна- ки сокращаются, знак временных компонентов Лы противоположен случаю, рассматриваемому в случае электричества, и мы имеем при- тяжение, 4.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
