(Фейнман) Лекции по гравитации (555367), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

2.4 .Е сс |ий 1 ос —. (гг „г +,е) (2.3.1) Ничего не происходит Одиночный обмен Рис. 2.3. наших полей, и подготовится к тому, чтобы отвергнуть их, если они окажутся неадекватными. 2.3. Обмен одним нейтрино Посмотрим можем ли мы получить силу, чем либо похожую на гравитацию, обменом одним нейтрино. Эти пробные теории, которые мы обсуждаем, неточно сформулированы и не полностью исследованы потому, что они не кажутся подходящими, когда мы делаем первые несколько оценок. Может быть, возможно преодолеть зти трудности, которые заставляют нас отвергнуть эти оценки, но я чувствую, что предпочтительнее упорно придерживаться тех правил, относительно которых мы договорились, что мы должны пытаться дать объяснение в терминах вэеесгпимя свойств частиц без каких бы то ни было новых постулатов.

Это мне не удалось. Обмен нейтрино может обладать потенциалом, который зависит от расстояния как 1/г, поскольку его масса равна нулю. Но так как нейтрино имеет полуцелый спин, одиночный обмен не приводит к статической силе, поскольку после одиночного обмена источник нейтрино не находится больше в том же самом состоянии, в котором он был первоначально. Для того, чтобы получить из обмена силу, а не только рассеяние, необходимо, чтобы диаграмма, включающая этот обмен, могла бы интерферировать с диагональными членами в амплитуде рассеяния, что состоит в том, что произошло бы добавление к амплитуде„которая соответствует тому, что ничего не происходит (2.3).

Таким образом, возможность обмена одним нейтрино управляется тем фактом, что половина единицы углового момента не может быть испущена объектом, который остается в том же самом внутреннем состоянии, в котором находился исходно. Бесспиновый мезон с нулевой массой мог бы привести к потенциалу, пропорпиональному 1/г, Наиболее просто вычислить дополнительную энергию взаимодействия в координатном пространстве по сравнению с импульсным пространством.

Импульсный пропагатор для такой частицы был бы 1/Йг. Нейтринный пропагатор имеет вид 1/Й или Й/яг, таким образом имеет более высокую степень Й в числи- Рис. 2.5. теле; было бы даже еще труднее связать такой пропагатор с силой типа гравитационной. Лля мезона с нулевым спином мы вычисляем диаграмму, интегрируя по всем возможным моментам времени, в которые происходит нспускание, и по всем моментам времени захвата, в которые происходит захват мезона, пропагатор 6+ —— 1/(гг — гг+ гг) (рис, 2.4), дополнительная энергия есть (опуская множители) В последнем соотношении интегрирование проводится только по времени испускания (или только по времени захвата); повторное интегрирование вводит временной множитель, который представляет нормальное опережение фазы, так что он не представляет энергии взаимодействия.

Мы не установили точно только, как мы ожидаем, чтобы массы появились как множители, но имеется весьма мало смысла делать это, поскольку мы не знаем никаких бесспииовых нейтрино. Эта теория убивается половиной единицы углового момента, переносимого при взаимодействии. 2.4. Обмен двумя нейтрино Может быть мы все еще можем получить теорию гравитации путем обмена двух нейтрино, так что они могут иметь диагональные расчетные элементы. Нет ясного пути, идя по которому, можно увидеть, почему энергия взаимодействия между двумя большими объектами должна была бы быть в точности пропорциональна их массам, хотя очевидно, что она была бы, по крайней мере, грубо пропорциональна числу частиц в каждом из них.

Оставляя в стороне это обстоятельство (или возвращаясь назад, если что-либо работает не так, как следует), мы будем говорить, что взаимодействие двух объектов пропорционально произведению т1 тг, умноженному на взаимодействие одной пары частиц. Мы продвигаемся много дальше, чем в предыдущем случае,но делаем это несколько более аккуратно, поскольку 2,4. Обмен двумя нейтрино Лекция 2 86 Солнце Лу ,г 1 п11п12С / (гг гг + 18)2 ' (2.4.1) Е С' т1тгк / 4яр(23)23 1333 г12 / 2333 (2.4.5) С' я 1 Е = т1тг гз' (2.4.2) Е= — — 2к С 1п~ — ~Р.

т1т2 З 18 1 31О 1 г1г 1,Я;,/ ' (2.4.6) (2.4.4) результаты более интересные. Амплитуда того, что испускается пара нейтрино за время 1В, есть С'43. Амплитуда того, что одно нейтрино испускается из одной точки в другую равна 1/(32 — гг + 18). Мы введем массы взаимодействующих частиц т1, тг, говоря, что эти массы должны представлять общее число частиц так, что энергия между двумя массами равна Этот интеграл может быть весьма легко взят, либо вычислением вы- четов в полюсах или простым дифференцированием интеграла (2.3.1), так что энергия равна где 1 расстояние, разделяющее частицы.

Таким образом, мы обнаруживаем, что обмен двумя нейтрино приводит значение энергии, которое неправильно зависит от расстояния. Это заключение приводит к выводу, что теория выгл1шит безнадежно. Но надежда возникает вновь, если мы анализируем ситуацию несколько дальше. Оказывается, что мы можем получить член, который зависит как 1/г, рассмотрением обмена между тремя массами.

Три частиды могут обмениваться двумя нейтрино между любыми из трех пар и новым способом (рис. 2.5). Положим, что первое непускание имело место при 3 = О, а другие вершины имели место в моменты времени 3 и 8. Тогда во взаимодействие вовлечена была бы энергия , 3 .2 дз (й С'т1тгтзг (2.4.3) (8 — г12)(2 — ггз)[(8 Ф) г31[ Этот интеграл может быть вычислен последонательным интегриро- ванием в каждом из полюсов и результат равен 13 2 1 Е = -С тл1тлгтз11 (Г12 + Г23 + Г13)Г12Г23Г13 Если одна из масс, скажем масса номер 3, существенно удалена, так что г1з много больше, чем г12, то мы, действительно, получаем, что взаимодействие между массами номер 1 и номер 2 обратно пропорционально величине г12.

Что же такое масса пгз? Это, очевидно, может быть некоторая эффективная средняя величина по всем другим массам во вселенной. Рис. 2.5. Влияние улаленных масс, сферически распределенных вокруг масс 1 и 2, проявилось бь1 как интеграл по средней плотности; мы бы имели где 23 — большое значение расстояния 22 г12 ж ггз. Лля простой оценки мы можем взять плотность, равной константе внутри сферы; мы выполним интегрирование от некоторого начального значения радиуса, которое, тем не менее, достаточно большое по сравнению со значением г12. Вклад всех масс вне сферы с этим минимальным значением ралиуса является чем-то типа Этот логарифм является некоторой величиной, которая не может быть многим больше, чем 50 или 100, так как характерное значение внешнего радиуса может быть равно Тс = 1018 световых лет 28 =10 см. Такал энергия действует подобно гравитация; можем ли мы опровергнуть это? Ла, и двумя способами.

Во-первых, величина этого логарифмического члена становится сравнимой с величиной всей силы (2.4.2), пропорциональной 1/гз, на расстояниях больших, чем те, на которых ньютоновский закон гравитации уже проверен. Более того, если мы рассматриваем влияние Солнца на гравитационное взаимодействие между Землей и Луной, мы обнаруживаем, что зто влияние должно было бы приводить к наблюдаемым отклонениям в орбитальном движении, твк как расстояние от Земли до Солнца меняется при движении Земли вдоль своей орбиты.

Мы оцениваем этот эффект следующим образом. Мы хотим сравнить вклад Солнца во взаимодействие Земля — Луна со вкладом всех остальных звезд. Это влияние зависит от массы и обратно пропорционально кубу расстояния. Лля логарифма меньшего, чем 1000, вклад Солнца превосходит в 10'2 вклад звезд для любой разумной оценки плотности звезд! Таким Лекция 2 88 2 4. Обмен двумя нейтрино 89 коплеиие галактик (ф(1)ф(2)) = б+(Я~~э) + С (2.4.7) Рис. 2.7. образом, мы можем пренебречь вкладом звезд. Но таких больших возмущений, которые бы соответствовали изменению эффективной гравитационной константы, которое бы возникало от х2 процентной вариации расстояния между Землей и Солнцем, не наблюдалось в системе Земля — Луна.

Но можно ли все-такн спасти эту теорию? Представляется, что процессы более высокого порядка могли бы снять эти трудности, например процесс, включающий 4 нейтринных линии или лаже более высокие порядки, мог бы быть вычислен. Ясно, что член, изображенный на рис. 2.6, мог бы дать вклад порядка шзз, т.е. квадрата числа частиц окружающих масс, и, следовательно, влияние удаленной туманности могло бы значительно превзойти влияние Солнца. Этот факт мог бы быть еще более справедливым для более высоких порядков теории. Мы должны, сладовательно, суммировать диаграммы различных порядков, типа изображенных на рис.

2.7. Тем не менее, насколько я могу судить из статистики Ферми, члены различных порядков оказываются противоположными по знаку и никакого удовлетворительного результата не получается. Чтобы объяснить эту идею более формально, мы полагаем, что в теории (где есть, скажем, скэляр ф) с квадратичной связью ффзф математическое ожидание для произведения двух полевых переменных ф(1)ф(2) в состоянии при наличии многих туманностей может определяться соотношением где первый член есть обычный вакуумный член, а С возникает от взаимодействия с удаленной туманностью. Величина С практически не зависит от 1 и 2, если они (1 и 2) близки по сравнению с радиусом вселенной. Тем не менее, я думаю, что для спина 1/2 не может возникать С. Лля фотонов такой член, даже если он возникает, не имел бы желаемого эффекта, т.к. насколько я могу видеть, этот член не является квадратичным для связи фотонов.

Характеристики

Список файлов лекций