(Фейнман) Лекции по гравитации (555367), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

(3.2.4) Тогда ток-ток взаимодействие, когда незаряженные частицы имеют 4-импульс 7г», задается соотношением 2» з 7» = з з (74.74 Язуз Жз Л21) (3.2.5) Лекция 3 Закон сохранения заряда, который утверждает, что четыре-дивергенция тока равна нулю, в пространстве импульсов становится ограничением й„,1" = О. (3.2.6) В этой специальной системе координат, которую мы выбрали, это ограничение связывает третий и четвертый компонент этих токов соотношениями ы,1~ — к.г~ = О, или (3.2.7) К Если мы подставляем выражение для гз в выражение амплитуды (3.2.5), мы получаем, что 'Р— я г У' = 4 + (Й + Йг).

(3.2.8) Теперь мы можем дать интерпретацию двум членам этого уравнения. Четвертый компонент тока есть просто плотность заряда„в этой ситуации, когда у нас есть стационарные заряды, зто единственный ненулевой компонент. Первый член не зависит от частоты, и когда мы делаем обратное преобразование Фурье для того, чтобы преобразовать выражение в пространство взаимодействия, мы находим, что полученное соотношение представляет мгновенно действующий кулоновский потенциал (3.2.9) Это выражение всегда представляет собой главный член в пределе малых скоростей. Этот член кажется мгновенным, но зто только потому, что разделение на два члена, которое мы сделали, очевидно, не является ковариантным.

Общее взаимодействие на самом деле ковариантная величина; второй член представляет поправки к мгновенному кулоновскому взаимодействию. Во взаимодействие между двумя токами всегда вовлечены виртуальные фотоны. Мы можем узнать кое-что о свойствах реальных фотонов из анализа полюсов амплитуды взаимодействия, которая имеет место при м = хк. Конечно, любой фотон, который участвует в физическом эффекте, может рассматриваться как виртуальный фотон, так как он не наблюдается до тех пор, пока не произойдет взаимодействие, так что наблюдаемые фотоны никогда не характеризуются соотношением ь = ~к.

Тем не менее, нет трудностей в приближении к этому пределу; физически мы знаем фотоны, которые приходят от Луны или Солнца, для которых относительная разница между величинами м и к — очень, очень мала. Если мы полагаем, что мы 3,2. Амплитуды и поляризации в электродинамияе наблюдаем фотоны от удаленных галактик, которые находятся от наблюдателя на расстоянии в миллионы световых лет, мы понимаем, что это должно придать тот физический смысл, чтобы думать, что мы близки к полюсу так, что для этих фотонов не может быть никакого физического эффекта не являющимся похожим на полюсный член. Вычет полюсного члена при ь = к есть сумма двух членов, каждый из которых есть произведение двух множителей. Кажется, что существует олин тип фотонов, которые взаимодействуют с токами у1 я Я, и другой тип фотонов, которые взаимодействуют с токами уг н Я.

Пользуясь обычным языком, мы описываем ланную ситуацию, говоря, что имеются две независимые поляризации для фотонов. Круговая поляризация есть ничто иное, как линейные комбинации плоскополяризованных фотонов, соответствующих разделению суммы произведений Я.г«+ Я гг) в различном базисе, таким образом мы имеем (А 1«+ 3гуг) = — (Яг + гЯг) — (г«+ ггг) Я ~/г 1, 1 + — Ц« — г1г) — Ж вЂ” 1Уг)*. (3 2.10) Л «/2 По-прежнему, мы виним здесь, что имеется два типа фотонов, Преимущество такого разделения становится очевидным, когда мы рассматриваем вращение координатной системы вокруг направления движения фотона 3. Фотоны с круговой поляризацией вращаются вокруг себя, потому что они меняют только фазу при повороте системы координат на угол 9; эти фазы равны ехр (гд) и ехр (-гд).

Квантово-механические правила, описывающие поведение систем под действием вращения, говорят нам, что системы, имеющие такое свойство, находятся в состоянии с определенным значением углового момента; фотоны, хоторые меняют фазу как ехр (И), имеют проекцию углового момента 1, а фотоны с изменением фазы ехр (-гй)— проекшпо, хоторал равна — 1. Мы могли бы ожидать, что если фотоны имеют спин, равный 1, то мог бы существовать третий тип фотонов, имеющих проехцию спина, равную О.

Тем не менее, может быть показано, что для релятивистсхой теории частиц с нулевой массой покоя разрешены только два состояния проекции, имеющие максимальное и минимальное значения проекпии вдоль направления распространения. Этот общий результат, справедливый для частиц с любым сливом, был доказан Вигнером. Мы не будем приводить здесь это доказательство, но просто для тех случаев, которые нас интересуют, фотона сейчас и гравнтона ниже, покажем существование этих двух состояний точным Лекция 3 разделением этого взаимодействия.

Можно было бы возразить, что мы показали существование двух состояний для тиоков, которые являются операторами источника в большей степени, чем для самих фотонов. Но одно влечет за собой другое, так как амплитуда процесса испускания фотон с круговой поляризацией -1 задается оператором тока (у4 + 4 уз)/~2 и т.д. Если мы вращаем систему координат, то амплитуда для процесса излучения не должна бы меняться, так что, мы приходим к требованию соответствующего изменения фазы для самих фотонов. Пействительная поляризация фотонов, возможно, наилучшим образом определяется проекциями векторного потенциала в выделенных направлениях,таких как е„ (е„ вЂ” единичный вектор). Взаимодействиетакого фотонас током 1", т.е. амплитуда поглощения или испускания такого фотона задается соотношением (3.2.11) — е„1'" = (проекция,1' вдоль е„) З.З.

Амплитуды для обмена гравитона Выпишем амплитуды для обмена гравитоном по простой аналогии с электродинамикой. Мы должны будем обратить особое внимание на мгновенные нерелятивистские члены,так как только эти члены выявляются в существующих экспериментальных наблюдениях гравитации. Полная теория дает нам как члены, описывающие мгновенное взаимодействие (аналогичное кулоновскому взаимодействию), так и поправки, которые появляются как запаздывающие волны, "мы должны будем разделить эти запаздывающие эффекты для вычислений наблюдаемых эффектов. Мы предполагаем, что оператор Паламбера в импульсном пространстве есть )42; по простой аналогии с уравнением (3.2.1) мы ожидаем, что тензор поля устанавливает соотношение с тензором источника следующим образом 1 (3.3.1) Какое это может быть взаимодействие? Так как электродинамика описывает токи, предположим, что тензоры источника пояюппотся в энергии взаимодействия следующим образом г„„(,— ',) т (3.3.2) Теперь наша задача состоит в том, чтобы описать частные характеристики тензора Т так, чтобы воспроизводились характеристики гравитации.

А ргзог4 возможно, что тензор Т включает в себя градиенты, который и есть вектор 1с. Если в тензор включены только 3 3. Амплитуды для обмена гравнтона градиенты, то в результирующей теории нет монополей; простейшими объектами могут быть диполи. Мы хотим, чтобы тензор Т был таким, как в нерелятивистском пределе, а плотность энергии появлялась по аналогии с плотностями заряда,14.

Как хорошо известно, мы имеем в электромагнетизме тензор давления, чья компонента Т44 является в точности плотностью энергии электромагнитного поля. Следовательно, очень вероятно, что имеется некоторый общий тензор, чей компонент Т44 является плотностью полной энергии; это будет задавать ньютоновский закон гравитации в пределе малых скоростей, энергия взаимодействия при этом (3.3.3) Затем, для того, чтобы иметь правильную релятивистскую теорию, необходимо следовать тому, чтобы амплитуда включала в себя полный тензор Т, как мы предполагали в соотношении (3.3.2).

Имеется свойство этого тензора, которое мы не еше упомянули. След симметричного тензора — инвариантная величина, не обязательно равная нулю. Таким образом, при вычислениях, основываясь на симметричном тензоре с ненулевым следом, мы могли бы взять теорию, которая есть смесь теорий со спином равным О и со спином равным 2. Если мы выписываем теорию, использующую этот тензор, мы найдем, когда мы прийдем к разделению взаимодействия на его поляризации, что очевидно имеется три поляризации вместо двух, которые допустимы для безмассовой частицы со спином 2. Пля того, чтобы быть более точными, мы можем получить кроме взаимодействия (3.2.2) другую возможную инвариантную форму, пропорциональную Т" „Яй )Т" „.

Мы попытаемся установить соотношения между этими двумя инвариантами таким образом, чтобы не было обмена реальными гравитонами с угловым моментом, равным нулю. Выпишем в точности все различные члены следующим образом 1 „и 1 ТЯ 2Т 2 2 (Т44Т44 2Т42Т42 2Т42Т42 2Т44Т44 + 2Т22Т22 + 2Тз,Т24 + 2Т24Тн + ТззТзз + Т22Т22 + Т,',Тм). (3.3.4) В электродинамике мы получили упрощение, используя закон сохранения заряда. Здесь мы получаем упрощение, используя закон сохранения энергии, который может быть выражен в импульсном пространстве следующим образом й"Т„и = О. (3.3.5) В нашей обычной системе координат, где компоненты й4 и й~ равны нулю, получаем связь компонентов нашего тензора с индексами 3 и 4 ыТ4и — кази ° (3.3.6) (3.3.7) Рнс. З.З.

Рис. 3.4. (3.3.8) Ая = е„ехр(гй х ), (3.3.12) (3.3.9) 1 / 1 Ьх йг '(Т ЪиТ а ) 2 1 ,/2Т„= — (Т„+ Т„). Л (3.3.11а) Используя это соотношение лля исключения компонентов с индексом 3, мы находим, что амплитуда разделяется на часть, описывающую мгновенное взаимодействие, имеющую характерный числитель кг, и запаздывающую часть со знаменателем (ьгг — кг). Для "мгновенного" члена мы получаем 1 г~ Р— Т44Т44 1 — — г — 2Т41Т44 — 2Т4гТ4г и для "запаздывающего" члена г г (Т,*,Тп + Т гТгг + 2Т 4Тгг) ы — к Трансверсальные компоненты тензора Т предположительно независимы, так что они представляют сумму трех независимых произведений нли трех поляризаций. Мы видим, что такая теория содержит смесь спина О и спина 2..Пля того, чтобы исключить часть, соответствующую спину нуль, мы должны добавить к нашей амплитуде член вида В "запвздывающем" члене добавляются компоненты тензора следу- ющим образом сг,, (Т,', + Т,',КТ + Т ).

Мы можем выбрать параметр 44 твк, что "запаздывающий" член содержит только сумму двух независимых произведений. Соответствующее значение параметра а равно -1/2 для того, чтобы сделать запаздывающий член равным (Тп Тгг)(Тп Тгг) + 2ТггТгг (3 3.1О) иЛ вЂ” кг (2 Имеется два направления поляризации, которые порождаются этими комбинациями элементов тензора — (Тп — Тгг) и с/2(Тгг).

Характеристики

Список файлов лекций