(Фейнман) Лекции по гравитации (555367), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

1 42 (З.З.П) Различная нормализация есть результат симметрии нвгпего тензора; мы можем восстановить симметрию, записывая 3,4. Физическая интерпретация в терминах амплитуд Следовательно, возможное решение типа плоской волны, представля- 1ощее наш гравитон, имеет вид где тензор поляризации е„„имеет следующие ненулевые компоненты 1 1 1 еп==, егг= — —, егг=ег1= —. ч'2 за Я (3.3.13) Наше взаимодействие в общем виде г 1 1 г» 1 и Т'.а Т.- — -Т-.ат." 2 может быть записано как Т' 'Р,,„„Т"", где Р „д,„— пропагатор для грвантона описывается следующим соотношением; 1 1 Р.,;= — Ы, Ъ.+Ч Ъ вЂ” Ч.Ч.) г.

Для простоты мы обычно будем предпочитать записывать этот пропагатор как простой множитель 1/кг и представлять взаимодействие виртуальными гравитонами, испущенными источником с амплиту- дой и со связью Ь„Т" для поглощения. Амплитуда для излучения реального гравитона поляризации е если е „= О, как в соотношении (3.3.13), задается внутренним (скалярным) произведением ея,Т '. 3.4. Физическая интерпретация в терминах амплитуд Поляризация гравитона есть тензорнэл величина, Мы можем наглядно представить это понятие с помощью картинок, подобных тем, которые мы использовали в описании давлений; мы рисуем стрелки, показывающие направление, которое ассоциировано с нормалью к поверхности, к осям координат. В этой плоскости, перпендикулярной 101 3 4 Физическая интерпретация в терминах амплитуд 100 Лекция 3 направлению распространения, мы имеем два давления, изображенные на рис.

З.З. Имеется только две возможности для квадрупольного давления; давления, представляемые стрелками, направленными к началу координат (или от начала координат), представляют собой тип давления в жидкости, которое соответствует спину, равному нулю. "Лавления" (в действительности вращения), представляемые всеми стрелками, поворачивающимися в направлении по часовой стрелке (или против часовой стрелки), соответствует спину 1.

Лавление, представленное на рис. 3.3(а), может относится к осям, которые повернуты на угол 45' ат исходных осей координат; в этом случае картинка на рис. 3.4 есть ничто иное, как то же самое давление, изображенное на рис. 3.3(а), повернутое на угол 45'. Отсюда мы находим, что эти поляризации поворачиваются одна в другую при повороте осей на угол 45'. Если мы поворачиваем на угол 90', та каждая поляризация переходит в себя; стрелки меняют свое направление, но мы должны думать об осциллируюшей зависимости ат времени, которая связана с этими поляризациями. Лвигаясь этим путем, мы видим, что полное вращение на угол 360' соответствует двум полным циклам фазы — спин равен двум.

Существуют две ортогональных линейных комбинапии этих двух поляризаций, чьи изменения вращательной фазы ведут себя как ехр (2И) и ехр (-21д). Это просто различное разделение "запаздывающего" члена; методом проб н ошибок мы можем просто представить эти две части — (Т1„— Тзз + 12Т1з)(Ты — Тзз — 12Тш) + (Тц Тт ~2Т1г)(Тм — Тзз + з2Тп). (3 4 1) Эти части характеризуются спинам 2, проекция ж2 тензоров очевидна, когда мы сравниваем форму этих произведений с произведением гармонических многочленов; мы знаем, что (х х гу)(х хну) очевидно характеризуются спинам 2 и проекцией х2; эти произведения равны (хх — уу х 21хр), которые имеют ту же структуру, что и члены в соотношении (3.4.1). Таким образом, мы приходим к выводу, что при а = -1/2, наши гравитоны имеют только две возможных поляризации.

Эта возможно правильная теория, эквивалентная теории поля спина 2, которую ранее рассматривали теоретики Паули и Фирц и выразили на языке полевых лагранжианов [Р1Ра 39). Мы подходим к теории со спинам 2, исходя из аналогий с теорией со спинам 1; таким образом мы без объяснений предполагаем существование гравитонных плоских волн; так как плоские волны фотона представляются полюсами пропагатора, и пропагатор гравитона также имеет полюсы ы = хк. Но соответствующие наблюдательные свидетельства отсутствуют; мы не наблюдали ни гравитанов; ни ажажа классических гравитационных волн. Имеются некоторые проблемы, которыми мы пренебрегли полностью в настоящее время, но к которым мы вернемся позднее.

Источники электромагнетизма сохраняются, и энергия также сохраняется, которая есть источннк гравитации. Но зто сохранение совершенно другого характера, так как фотон — незаряжен, следовательно, он яе является источником самого себя, тогда как гравитон содержит энергию, равную йы, и следовательно, он сам является источником гравитанов. Мы говорим об этом,как о нелинейности гравитационного поля. В электромагнетизме мы можем вывести полевые уравнения (уравнения Максвелла), которые несогласованы, если заряд не сохраняется.

Ла снх пор мы избегали обсуждения полевого уравнения для гравитации, поскольку мы беспокоились только аб амплитудах, но ве о самих полях. Также нам необходимо уже обсудить, является ли теория, которую мы можем написать, зависимой от калибровки, и мажем лн мы написать вообще полевое уравнение, соответствующее максвелловским уравнениям дР""/дх" = у", Имеются некоторые физические свойства нашей теории, которые могут быть обсуждены без полевых уравнений, просто из рассмотрения формы взаимодействия.

Запишем полное выражение, соответствующее а = — 1/2: 2 Т„'„— Т"" — — Т' „— Т"„ +Т44 (Ты + Тзз) — 4Т41Тм — 4Т4зТ4з) — з з ((Т11 — Тзз)(Ты — Тзз) + 4Т1зТы~). (3.4.2) (Если потребуется, то член (~м/к)Т44Т44 может заменяться на Т4зТ4з нли на (Т44Тз, + ТззТ„')). Мы уже обсудили запаздывающий член и его поляризации. Теперь проанализируем первый член. Тензор Т— тензор давления; для медленных частиц пространственные компоненты порядка п/с, так что ньютоновский закон представляется только одним своим произведением Т44Ты.

Лругие произведения представляют собой что-то подобное магнетизму. Заметим, что при таком разделении они появляются как члены, описывающие мгновенное взаимодействие. Запаздывающие эффекты, движущиеся волны появля- 102 Лекция 3 3,5, Лагранжиан для гравитационного поля 103 ются только при четных степенях п/с. Мы можем думать, что члены, описывающие мгновенное взаимодействие типа магнитного, могли бы давать наблюдаемые эффекты, например, могло бы быть небольшое изменение в гравитационном взаимодействии между двумя колесами, если мы вращаем их все быстрее и быстрее.

Рассматриваемая теория действительно предсказывает подобные эффекты, но практически подобные силы не только были бы очень, очень малы, но они также были бы скрыты множеством других эффектов. Магнитные силы, такие как притяжение между двумя проводящими ток проволочками, достаточно просто наблюдать только потому, что эффекты кулоновского взаимодействия взаимно уничтожаются очень, очень точно при наличии равных величин положительного и отрицательного зарядов. Но все гравитационные силы притягивающие, так что нет надежды на подобное взаимное уничтожение этих сил.

Лля вращающихся колес трудность была бы в том, что упругое давление вещества вносило бы добавку в члены, описывающие энергию взаимодействия, колеса бы управлялись слегка по разному и т.д. В добавление к этому, мы можем думать, что обычное гравитационное взаимодействие довольно трудно измерить, и что эффекты типа магнитных могут быть меньше на некоторое отношение (е/с) з такое, как отношение магнитньпс сил к кулоновским. Силы между проволочками, проводящими ток, порядка грамма веса, в то время как кулоновские взаимодействия между частицами в проволочках (в случае, если бы они взаимно не уничтожались) порядка миллиардов миллионов тонн. Возможно пронаблюдать эффекты, обусловленные таким членом типа магнитного, если мы рассмотрим гравитационное взаимодействие частиц, движущихся со скоростью света или с близкой к ней скоростью.

Предположим, что Т„'„обусловлен стационарным источником, таким как Солнце, так что остается только компонент Т44, и мы рассмотрим гравитационное взаимодействие между Солнцем и быстрой частицей, которая движется со скоростью п, близкой к скорости света с, так что ее тензор давления имеет компоненты, такие как Тп = (пз/гз)Т44 Затем в соотношении (3.4.2) мы видим, что энергия взаимодействия больше, чем обусловленнэя только Т44 на множитель 1+ пз/сз или на множитель 2 для фотона.

Таким образом, так как фотон движется в сильном гравитационном поле, то он движется как частица, обладающая большей энергией, чем можно было бы предсказать, исходя из ньютоновской теории. Отклонение луча света звезды тогда, когда луч проходит вблизи поверхности Солнца, в два раза больше, чем величина, получаемая при анализе изменения импульса в Рамках ньютоновской теории гравитации. Земляне проведи подобный эксперимент и обнаружили, что наблюдаемая величина тла отклонения больше, чем величина, получаемая в рамках ньютоновской теории, на множитель, который очень близок к 2. И хотя данный наблюдательный факт достаточно несовершенен и не во всем согласован, он предполагает действительный эффект в направлении, предсказываемом нашей теорией.1 В этом месте мы могли бы приступить к вычислению в деталях таких эффектов, как и рассмотренный выше, а также многих других звдач, таких как комцтоновское рассеяние гравитонов, эффектов, связанных с движением Меркурия вокруг Солнца, для того, чтобы найти порядки величин гравитационных эффектов и определить, какие эксперименты могли бы быть возможными.

Тем не менее, возможно предпочтительнее приступить к описанию самого гравитационного поля на языке полевого лагранжиана и полевых уравнений, чем на языке амплитуд. 3.5. Лагранжиан для гравитационного пола Теперь мы будем изучать нашу теорию на языке лагранжиана, исследуя сами поля, а не просто амплитуды. Сначала вновь рассмотрим ситуацию в злектродинамике. Здесь действие есть Ян = — 47 — —" — —" — — — + удА„. (3.5.1) Именно из такого лагранжиана мы в конце концов выводим полевые уравнения; мы хотим получить гравитапионный аналог соотношения А„= — (1/л~) /л. Нетрудно сделать предположение о форме второго члена, описыазкяцего взаимодействие.

Мы предполагаем, что этот член равен — Ай„„Тл". Здесь аналогия для членов, в которые вовлечены производные, не так очевидна; просто имеется слишком много индексов, которые могут быть переставлены слишком большим числом способов. Мы будем должны написать общую форму для лагранжиана, как сумму по всем возможным способам записи полевых производных, подставляя произвольные коэффициенты перед каждым членом, т.е. записывая его след юшим образом: дУв д7зл, дйл дйл дйлд дЬ (3.5.2) 1 В 1970-х годах были проведены наблюдения по измерению отклонений граввтапвонным полем Солнпа полеженнй радвонсточннков с помощью радненнтерфереметров с очень большой базой н предсказвлня ОТО были подтверждены с точностью ло 1 — 3 % пропентов [Эаха 97'].

Характеристики

Список файлов лекций