(Фейнман) Лекции по гравитации (555367), страница 33
Текст из файла (страница 33)
(6.3.18) д,лд = [!об( — Оей д)] л (6.3.13) С С+2~» »+С,л~л (6.3.14) дит разумным, мы могли бы заметить, что это утверждение стано- вится тривиальным справедливым утверждением в случае, если ма- трица записана в диагональном виде: Оес А = АыАюАзз"" = ехр(1обАы+!обАзз+ ...) = ехр(Тг)обА).
(6.3.10) Теперь мы применяем правило, выраженное соотношением (6.3.9), для вычисления определителя матрипы (А+ В), где  — инфинитези- мальная матрица. Нам необходимо вычислить матричный логарифм матрицы А+ В; соответствующее разложение имеет вид Оес А 1+ — В = Оей А Оей 1+ — В = Оеь А ехр [Тг(!об(1+ — В))] = Оез А ехр(Тг — В), (6.3.11) 1 1 А А Теперь мы используем это правило для того, чтобы вычислить определитель д„'„н взять логарифм результируюп»его выражения !оя( — ОеФ д') = !оя( — Оее д) + 2~»» + ~лд „,лд (6 3 12) Произведение матриц д в последнем члене может быть связано с опре- делителем следующим образом: Наше достижение состоит в том, что мы получили новое соотноше- ние, в которое включены ~» и его градиенты совместно с числами, но не матрицами. Мы положим С = !об(-Ое! д) и перепишем получив- шееся в результате уравнение как Если бы это выражение было бы полной производной, мы могли бы проинтегрировать по всему пространству для того, чтобы получить наш инвариант.
Вид последних двух членов наводит на мысль, что ехр(С/2) есть интегрирующий множитель. Следовательно, мы ищем инвариант вида ехр(аС'), регулируя соответствующим образом параметр а. Так как вектор (» — инфинитезимален, то разложение, в котором сохранены только первые члены, дает ехр (аС') = ехр [а (С + 2~" л + С,л~ )] = ехр (аС) + ехр (аС) (2а~" л + аС,»~") . (6.3.15) б.4. Лагранжнан теории, справедливой во всех порядках Второй член этого выражения имеет вид,который может быть пре- образован в полную производную; мы замечаем, что [ехр(аС)~ ],л ехр (аС)~" л + аС»~» ехр (аС), (6.3.16) что есть такая же величина, как и второй член выражения для (6.3.15) при а = 1/2.
Когда мы интегрируем выражение (6.3.15) по всему пространству, то при а = 1/2 интеграл от второго члена обращается в нуль, и мы приходим к равенству бт ехр(С'/2) = бт ехр(С/2). (6.3.17) Инвариантное решение, выраженное через матрицу д„, есть, следовательно, 6.4. Лагранзкиаи теории, справедливой во всех порядках Инвариант ~Р, полученный в предыдущем разделе, есть на самом деле решение дифференциального функционального уравнения (6.2.3), но это не есть то решение, которое необходимо для нашей теории, так как это решение не включает в себя производные.
В данном разделе мы будем строить решение, необходимое для нашей теории, аналогичным методом. Успех этих манипуляций основан на нахождении точной дивергенпии, которая может быть интегрирована по всему пространству. Исходная точка наших рассуждений есть вновь уравнение (6,3.5), в которое включены вектор ~» и его первые производные. Используемое нами правило есть следующее: мы надеемся найти комбинации д„„и их производные, причем эти комбинации не включают в себя ( (или, по-крайней мере, полный дифференциал от этой величины), когда они преобразуются. Мы имеем в уравнении (6.3.5) первые производные ~. Если мы вычисляем д,',„, то появляются вторые производные, такие как ~л „и т.п. Выглядит это так, как будто сложность даже увеличилась. Но если производная самого высохого порядка есть ~ „и этот порядок появляется только в одном отдель» ном члене, мы можем исключить этот член путем вычитания члена с переставленными индексами.
(На самом деле, в нашем случае мы не будем делать этого, выражение для ('» „само по себе автоматически симметрично, но мы делаем аналогичную манипуляцию с более высокими производными.) Тогда сначала образуем выражение д„'„ которое дает вторые производные ~ вида ~ „, но имеется две таких 149 1 сс р= —,„,~ с а""л„.„/-з.~, (6А.8) пРоизводных, с,"л и и с,л „. Мы попытаемск пРеобРазовать их, комбинируя с другими производными, такими как д,', „. Получается, что мы можем избавиться от двух членов, но появляется равное число новых членов так что никакого упрощения не достигается.
Но когда / МЫ РЗССМОГРНМ тРЕтЬЕ ВОЗможНОЕ УПОРЯДОЧЕНИЕ ИНДЕКСОВ Уи „, МЫ получаем путем сложений и вычитаний новое соотношение, в котором два члена могут добавляться, потому что они являются такими же. Одна трудность состоит в том, что так как мы вычисляем производные произведений, число членов стремительно растет, например Л л рл д„и = дри,и + дрл„и1,и + 91 ЛА,Р + дил~ + ~л +~»9 л «~» д,л (б 4.1) но когда все операции сложения и вычитания, жонглирования индек- сами проведены, выполнена снмметрнзация, мы находим [ри, сс]с = [»си, и] + [рЛ, сс]с, » и + [иЛ, сс]с;~ „+ + [сси Л]с», + ~~[1»и о1,» — д л~»,„, (6.4 2) где появляется только одна вторая производная с, „„. Теперь мы л должны избавиться от компонент метрического тензора с ниясними индексами, умножая на обратную матрицу.
Сначала введем новое обозначение, которое упростит преобразования. Мы положим 9. ~,и, ] = Г и. (6.4.3) Если мы умножаем соотношение (6.4.2) на д для того, чтобы отделить оставшуюся вторую производную, то соотношение принимает внд, где используются новые символы (называемые коэффициентами голономной связности или символами Кристоффеля) Это соотношение автоматически симметрично по ри. Для того, чтобы продвинуться дальше в наших рассуждениях, продифференцируем еще раз. Если мы дифференцируем зто соотношение по новому индексу р и вычитаем соответствующее уравнение, имеющее пере- ставленные индексы р и и, то только следующие члены остаются яе сокращенными при этом вычитании Гл„р' „— минус члены, где индексы и и р переставлены.
(6.4.5) 6.5. Уравнение Эйнштейна для тензора энергии-импульса Теперь трюк заключается в том, чтобы избавиться от двух вторых производных. Они умножаются на индексы Кристоффеля. Но в соотношении (6.4.4) мы имеем выражение, которое дает как рез с, Л „„. Мы будем использовать это выражение для того, чтобы заместить члены на те, которые стоят в соотношении (6,4.5). Это может быть выполнено путем вычисления произведения двух соотношений, таких как (6.4.4); мы видим, что индексы у символов Кристоффеля Г одною члена такие же, как и индексы у с, в друго»с члене; так что взяв произведения двух соотношений (6.4.4), одно из которых берется со множеством индексов (грЛ), другое со множеством (Лри), переставляя (т, сс, и) и складывая с соотношением (6.4.5), вторые производные сокращаются.
Введем новую величину В „р, определенную следующим образом В =Г Г л «ир = р р + рлГри Грр и — 1 и»ГРР. (6.4.6) Заметим, что этот тензор явно антисимметричен по индексам р и и. Используя зто Обозначение, получаем наконец следующее соотноше- ние В" Рир = В Рир + с ,иВ РЛР + ~ ,РВ рил + ~ , В лир + с*,»В рри + 1 трир л ° (6.4.7) То, что мы должны теперь делать, это обращаться с этим уравнением так же, как мы обращались с уравнением (6.3.5), которое имеет ту же самую форму, исключая то, что тензор в последнем соотношении пРедпочтительнее включать тензоР В~„ир, а не 9 „. ПРоцелУРа, полностью аналогичная той, которая была рассмотрена ранее, приводит к ответу для инвариантной величины Р: Эта величина, как мы увидим ниже, есть часть действия в теории, справедливой во всех порядках.
6.5. Уравнение Эйнштейна для тенэора энергии-импульса функционал Р, который был только что выведен, дает результаты в венерианской теории гравитации, идентичные тем, которые были получены Эйнштейном. Если мы делаем разложение функционала, когда гравитационные поля слабы, мы получаем главные члены нашего разложения такие же, как г з и Гз в нашей более ранней теории. 150 Лекция 6 Мы можем сказать, следовательно, что наша венерианская точка зрения была успешна в достижении нашей цели построения самосогласованной теории гравитации посредством успешных логических шагов, предполагаемых по аналогии, но без видимого требования сверхчеловечески острой интуиции.
Сам Эйнштейн, конечно, пришел к тому же самому лагранжиану, но без помощи развитой теории поля, и я должен допустить, что у меня даже нет идеи, как он отгадал конечный результат. У нас было достаточно волнений при получении нашей окончательной теории, но я чувствую, что он создал свою теорию, плавая под водой, будучи с завязанными глазами и с руками, находящимися сзади! Тем не менее теперь, когда мы пришли к эквивалентной теории, мы откажемся от венерианской точки зрения и обсудим земную точку зрения согласно Эйнштейну. Будем использовать следующее стандартное обозначение для трех тензоров, выведенных из нашего тензора Я~„„„, умножением на тензор д д и свертыванием: д,р „= Д „„Антисимметричен по индексам (ад) и (иР) > (6.5.1) Величина В „„р есть тевзор (тензор Римана).
Он антисимметричен при перемене индексов и и р, также антисимметричен при перемене и и д и симметричен, если пара (цд) меняется с (ир). В„„(тензор Риччи) — симметричен. Вариация функционала Г, описываемого соотношением (6.4.8), по отношению к д„„приводит к следующему соотношению: 1 6(,~:дя) 1 ~ (Л„„1 „„В (652) где д = Ве1 д„. Последняя величина в соотношении (6.5.2) есть тензор энергииимпульса нашей теории (см.
соотношение (6.2.2)) н удовлетворяет следующему соотношению дя»Т» я = ~уи о)Т~ (или Т» = Гл Т~ ) (6 5 3) если сделана замена Т"", как мы требовали это сделать. Отсюда следует, что полные уравнения гравитационного поля, правильные во всех порядках, являются следующими: уи им рл) А 2Ти~~ (6.5.4) 2. где Т" — наш тензор энергии вещества.
Это уравнение и есть уравнение, полученное Эйнштейном. У 1 Принцип эквивалентности В наших нынешних планах будет описание относительности и гравитации с точки зрения, которая в большей степени находится в согласии с подходом Эйшптейна. Мы надеемся, что, рассматривая теорию с различных выгодных точек зрения, мы лучше поймем теорию в целом. Теория гравитации, как она рассматривалась в рамках идей Эйнштейна, есть нечто настолько удивительно волнующее, что мы будем испытывать искушение попытаться сделать так, чтобы все остальные поля выглядели как гравитация, что является пожалуй предпочтительнее, чем продолжать исследование гравитации с венериаиского направления, делающего гравитацию похожей ва другие поля, которые нам привычны.
Мы будем сопротивляться этому искушению. Истоки подхода Эйнштейна должны быть найдены в физике, известной во время создания им теории гравитации, в электродинамике и ньютоновской механике. Чувствуется, что идея, преобладающая в мыслях Эйнштейна во время создания им его теорий, заключалась в том, что все разделы физики должны были бы быть согласованы; он нашел путь, чтобы уладить лоренц-инвариантность классической электродинамики с видимой галилеевой инвариантностью ньютоновской механики, и много новых физических результатов было достигнуто после этого. Аналогично, именно загадочный феномен гравитации привел Эйнштейна к теории гравитации, когда он преобразовал этот феномен в физический принцип. Центральная идея гравитации, наиболее убедительный факт о том, как она действует, состоит в том, что вес и масса в точности пропорциональны, так что все объекты ускоряются гравитацией в точности с одной и той же скоростью независимо от состава вещества, из которого состоят эти тела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
