(Фейнман) Лекции по гравитации (555367), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Геометрическая интерпретация метрического тензора 163 сделать заключение, что гравитационного поля нет и что также нет и ускорения. Но это не может быть сделано в общем случае, так как общий тензор д р представляет десять предположительно независимых функций, и только четыре функции могут быть точно определены при преобразовании координат (7.4.2). Только при очень специфических условиях ускорения могут устранить все недиагональные члены всюду и привести этот тенэор к виду и„„.
Если же на самом деле имеется некоторое вещества в окружающей среде, приведение этого тензора к виду е р невозможно. В этом случае все возможные тензоры д д, связываемые соотношениями (7.4.8), будут эквивалентны, так как ни один из них не приводит к очень простым выражениям для (дз)з. Каковы же наши успехи в изучении характера описания гранита; ционных сил? В ньютоновской теории соответствующее положение есть утверждение, что сила задается градиентом скалярной функции Ньютоновская гравитация: шх = Р, Р~ = — ~уф, Теория Эйнштейна: 5 сЬ = О, (аэ)з = д„„<Ы'~Ь". (7.4.9) Вторая часть теории соответствует точному определению того, как потенциалы (ф или д„„) связаны с веществом.
В ньютоновской теории мы имеем (7.4.10) Ьф = 4тс р. В конце концов мы придем к точному определению тензора д„„, выраженному через характеристики вещества. Основная идея состоит в том, что поскольку материя есть физическая категория, в то время как системы координат нет, вещество должно быть описано таким образом, чтобы результаты решения уравнения движения не зависели от какого-либо специального выбора системы координат, тем самым ожидается, что имеющие физический смысл свойства тензора д„„должны быть инвариантными величинами при произвольных преобразованиях. 7.5.
Геометрическая иитерцретация метрического теизора Тензор д„„может иметь геометрическую интерпретацию. Лля приобретения необходимой интузшни мы будем изучать вкратце значение метрического тензора в случае двух измерений, чтобы понять какие инварианты включены в теорию. В случае однородных гравитационных полей мы видели, что тензор д„„описывает, как масштаб времени отличается при различных положениях точки в пространстве. В более широком смысле этот тензор представляет, как масштабы меняются от точки к точке не только во времени, но также и при изменении пространственных координат. В ортогонапьных декартовых координатах двумерная длина дуги аз задается следующим соотношением ( 1з)' = ( )' + (Ф)'. (7.5.1) Если использовать на плоскости полярные координаты, то длина ду- ги задается соотношением: ( Ь) = Иг) + г (Ид)~.
(7.5.2) Очевидно, что не имеет значения, какие символы мы используем для координат, и физика на плоскости должна быть одинакова независимо от того, используем мы декартовы координаты или полярные координаты для описания геометрии на плоскости. Это означает, что если мы находим, что описание длины дуги в некоторой системе, которую мы выбрали, корректно задается соотношением: ( Ь) = и (4 ) + (аи) нет глубокого смысла в том, что кажется, будто длина х меняется прн изменении координаты д, поскольку простое координатное преобразование сохраняет декартово выражение для длины дуги (7.5.1).
Теперь рассмотрим более интересный случай. Представим себе, что мы — жуки, ползающие по полу, который, как мы всегда предполагали, замошен квадратными кафельными плитками, и всю нашу жизнь мы думали, что геометрия пола правильно задается подсчетом плиток и использованием евклидовского правила (7.5.1), что интервалы Ых или йд соответствуют величине длины плитки. Но некоторые остроумныв жуки начали проверять это, используя линейки, и после серии измерений пришли к результату, что измеренные длины дуг соответствуют количеству плиток следующим образом: (,(,)з И~)'+ (Ф)' (7.5.4) 1+ агз где гз = хз + уз.
Предположим, что эти остроумные жуки очень тщательно измеряли отношение длины окружности к величине радиуса круга, прикладывая свои линейки вдоль кривых с постоянным значением г и от центра круга вдоль одной нз осей. Их результаты дали бы следующие значения: /~ г ад 2яг Плина окружности = ~Ь = ~ 1р (1+агз) (1+агз)' гг г Радиус круга = / Из = / = 5 агс15 Н = Н,(7.5.5) А э=о А (1+ах ) 5 7.б.
Кривизна в двух и четырех измерениях 164 165 Ь реввый радиус = -д = В 2 Длина окружности = 2я — эш д 2 Рвс. 7.5. где Ьз = 1/о. Экспериментальный результат для отношения длины окружности к радиусу должен был бы давать в этом случае 1 2яЬ сй(В/Ь) зш(Я/Ь) Я 1+ ЗйзДЦЬ) (М/Ь) ' Это отношение становится равным 2я толысо в пределе, когда радиус окружности стремится к нулю, Именно это измеряемое соотношение и является существенным физическим результатом.
Эта частная модель, которую мы обсудили, имеет простую геометрическую интерпретацию, но мы снова подчеркиваем, что именно экспериментальные результаты очень важны и они полностью зависят ат правильной формулы для длины дуги; и вовсе не имело бы значения, что мы не мажем привести простую формулу геометрического смысла, который мы можем легко представить.
Мы можем сказать, что все это время жуки живут на поверхности сферы, не зная этого. Теперь, когда мы предположили это, мы легка понимаем, почему наши измерения окружностей давали частный результат„приведенный в соотношении (7.5.6). Если сфера имеет радиус (Ь/2), то результат, данный соотношением (7.5.6), представляет отношение длины окружности круга к длине вдаль поверхности меридиана, как показано на рис. 7.5. Наша предыдущая точка зрения на гравитацию может быть сравнима с той, которая могла бы проводится более консервативными жуками. Кафельные плитки являются "реальными" квадратами, но линейки изменяются, если мы двигаем их от места к месту, поскольку имеется поле, которое может привести к этому эффекту.
Наша более новая геометрическая точка зрения будет состоять и том, что мы не можем определять "кафельные плитки", как "реальные" квадраты; мы живем в мире, который, вообще говоря, неевклидов, имеет кривизну, которая измеряется проведением подходящих экспериментов. Нет нужды думать о процессах, как происходящих в пространстве, которое есть истинна евклидова, так ках нет ничего физического, ( 2з)' = уп(газ)'+ 2угз г(ягод+ узз(иу)'. (7.6.1) Хотя очевидно, что три функции д,з включеньг в зто выражение, инвариантная геометрия определяется только одной функцией координат; оказывается, что мы имеем определенную свободу в выборе координат, например, мы можем сделать их ортогональными; мы обладаем достаточной свободой для того, чтобы наложить два условия на функции д„м для этого у нас есть две функции, с помощью которых мы можем делать координатные преобразования.
В частности, всегда можно выбрать координаты таким образом, что 1. уш = О, 2. узз - -уы. Это означает, что для целей изучения геометрических измерений на двумерной поверхности наиболее общим выражением для длины дуги является следующее соотношение: (г(з)' = У(, у) (И*)'+ (Ф)') (7.6.2) С одной точки зрения, функция /(х, у) представляет собой множи- тель, на который меняются линейки, когда мы движемся по поверх- ности. С другой точки зрения, она очевидно определяет кривизну пространства. что могло бы быть даже измерено в этом воображаемом пространстве. Кафельные плитки просто представляют нанесение координатных меток, и любое другое нанесение меток может быть также произведено, как и предыдущее.
7.6. Кривизна в двух и четырех измерениях Инвариантной величиной, которая характеризует геометрию способом, не зависящим от специального выбора системы координат, является кривизна. Очень просто представить себе смысл кривизны, когда мы рассматриваем двумерную поверхность: плоское неискривленное пространство, такое как плоскость, нли искривленное пространство, такое хак кривая поверхность. Хотя в нашей последующей работе нам понадобится работать с кривизной аналитически, сейчас следует немного поработать с двумерной геометрией, которую мы моясем очень просто представить; определения кривизны в более высоких измерениях есть точные аналоги определения кривизны поверхности.
В общем случае длина дуги на двумерной поверхности задается соотношением 166 Забавный пример физической ситуапни, которая в точности соответствует этим геометриям, придуман одним из студентов Робертсона. Представим себе, что человек делает измерения с помощью линейки на раскаленной пластине, которая в некоторьпс местах горячее, чем в других. Линейка растягивается или сжимается в зависимости от того, где делаются измерения, в более горячих или более холодных областях на плоскости; очевидно, что соответствующая функция /(х, у) определяется локальной температурой и коэффициентом теплового расширения линейки.
Локальная кривизна поверхности в точке может быть определена с помощью некоторого математического критерия, вклзочающего в себя предельный случай измерений, проделываемых со все более и более маленькими объектами. Мы могли бы, например, выбрать для сравнения отношения длины окружности к радиусу, отношения площадей кругов к квадратам радиусов; для случая сферических поверхностей эти отношения отличаются от тех, которые получаются на плоской поверхности, на множители (зш 9)/д, где 6 — отношение измеряемого радиуса к радиусу сферы. В пределе все меньших и меньших кругов эта величина отличается от единицы на величину, пропорпиональную плошади круга. Этот коэффициент пропорциональности есть 1/Вз для сферы (умноженный на 3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
