(Фейнман) Лекции по гравитации (555367), страница 39

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 39)

Пока он использует только длины линеек в приведенных расстояниях, он будет всегда приходить к одним и тем же ответам независимо от того, к каким бы сумасшедшим температурным полям он мог бы прияти, используя координаты„которые мы могли бы ему определить. Эта ситуапия совершенно ясна для случая раскаленной пластины, как для евклидова, так и неевклидова пространства, но только потому, что мы предположили, что тепло не оказывает влияния на световые измерения.

Для случал гравитации, однако, мы знаем, что И я нет масштаба, который бы не искажался, т.е. нет такого света, который бы не искажался гравитацией, и с помощью которого мы могли бы определить галилееву координатную систему. Таким образом, все координатные системы эквивалентны, и они отличаются только тем, что различные величины для полей необходимы для описания скорости хода часов или масштабов длин. Как только мы сконцентрировались на описании физических измерений, координатная система, используемая вначале, исчезает, так как она служит только для удобной расстановки меток, как метхи в книгохранилище. Есть один случай, в котором имеет смысл галилеева илн евклидова координатная система, это предельный случай нулевой гравитации илн предельный случай однородной температуры на раскаленной пластине.

В этом случае физические и евклидовы расстояния описываются одной н той же геометрией. Если мы первоначально исходили из искривленного нанесения меток положений, то мы могли бы обнаружить, что некоторое координатное преобразование не позволяет нам описать измерения без использования поля. Это существенное упрощение, но вновь это упрощение не обусловлено внутренней справедливостью евклидова описания геометрии, но тем фактом, что она ссютветствует определенной физической ситуации, которая обладает определенной фнзичесхой простотой.

Если силы равны нулю всюду, то и символы Г должны быть равны нулю всюду. Если эти силы не всюду равны нулю, то нет возможности определения "наилучшей" системы координат. Однако возможно сделать нх локально равными нулю (согласно принципу эквивалентности!). 8.4. О соотношениях между различными подходами к теории гравитации Одна из своеобразных особенностей теории гравитации состоит в том, она имеет и полевую интерпретацию, и геометрическую интерпретацию. Так как эти интерпретации на самом деле являются двумя аспектами одной и той же теории, мы могли бы предположить, что венерианские ученые, после развития их полной полевой теории гравитации, могли бы в конце концов придти к геометрической точке зрения. Мы не можем быть абсолютно уверены в этом, так как никто никогда еше не смог объяснить индуктивное рассуждение, никто не смог объяснить как продолжить анализ, когда мы знаем очень мало, для того, чтобы знать существенно больше.

В любом случае истина состоит в том, что поле спина 2 имеет геометрическую интерпретацию; это не является чем-то легко объяснимым, зто удивительный факт. Геометрическая интерпретация не является действительно необходимой или существенной для физики. Возможно, что такое полное совпадение может быть понято как представление нехоторого рода калибровочной инвариантности.

Возможно, что отношения между этими двумя точками зрения на гравитацию могли бы стать ясными после того, как мы обсудим третью точку зрения, исходя из которой, мы должны исследовать общие свойства полевых теорий при преобразованиях. Такая точка зрения будет рассматриваться нами много позже, мы обсуждаем этот вопрос здесь для того, чтобы получить ощущения тех возможных направлений, которые должны быть учтены при попытках понять, как гравитация может быть и геометрией, и полем. Лавайте сейчас и рассмотрим, что такое калибровочная инвариантность. Как обычно утверждается в электродинамике, зто означает, что если мы заменяем векторный потенциал А на А' = А+ ~7Х, (8.4.1) уравнения паля и физические эффекты остаются неизменными, вы- 8.5.

Кривизна и касательное пространство 179 Лекция 8 178 раженными через новый векторный потенциал А'. Этот факт может быть связан со свойством фозовой инвариантности амплитуд. Павайте теперь посмотрим, что происходит с квантово-механическими амплитудами; совершенно ясно, что если мы используем Ф = ехр(зо)Ф, при вычислении вероятности, то ничего не меняется в предсказываемой физике. В общем константа а не приводит к появлению различий в предсказаниях. Что же происходит, если вместо константы а мы используем функцию Х, которая меняется от точки к точке в пространстве? Уравнения всегда включают в себя градиенты ф', которые есть (8.4.2) ~7Ф' = ехр (1Х)("7Ф+ зд1з7Х).

Однако оператор (17 — 1А') оставляет фунхцию такой, что она изме- нилась только по фазе (17 — 1А')4' = ехр (зХ)(17 — зА)Ф. (8.4.3) Так что если имеется векторное поле, которое взаимодействует так, как мы предполагали, уравнения являются инвариантными при за висящих от пространства-времени фазовых преобразованиях этих 1д полей. Теория векторного мезона Янга — Миллса является попытхой распространить идею калибровочного преобразования рассмотрением таким же способом инвариантности ядерного взаимодействия при изменении изотопического спина.

Если амплитуда протона представляется величиной ф, тогда (8.4.4) ф' = ехр(гт а)Ф, описывает объект, который частично является протоном, частично нейтроном. Если а есть постоянный вектор в изоспиновом пространстве, то инвариантность ядерных сил по отношенюо х изменениям изотопического спина означает, что новый объект Ф' действует во всех ядерных реакциях как у1. Предложение Янга и Миллса состоит в том, что поле должно быть добавлено к лагранживну таким способом, чтобы простлринсшвевво-зависвмая фазовая замена (а -э Х) ие приводила к различиям в уравнениях. Как такие идеи могут быть связаны с гравитацией? Уравнения физики являются инвариантными, когда мы делаем координатные замены с любыми постоянными значениями а" х' = х" + а".

(8.4.5) Лля того, чтобы сделать формально более похожими фазовые и изоспиновые преобразования, можно было бы воспользоваться импульсным представлением, так что оператор сдвига есть ехр(1р„а" ). С другой стороны, возможво исследовать, каким образом уравнения физики могут быть сделаны инвариантными в том случае, когда мы допускаем зависящие от координат в пространстве переменные смещения (ав -+ ~~").

Исследование будет проводиться для более полного лагранжиана; новые члены, которые необходимы, являются в точности теми же самыми, что и для гравитационного поля. Таким образом, гравитация является тем полем, которое соответствует калибровочной инвариантности по отношению к преобразованиям смешения. 8.5. Кривизна как величина, относяцгаяся к касательному пространству Мы можем рассмотреть данный вопрос геометричесхи, как Эйнштейн, и обратиться к кривизне и таким понятиям, которые выражаются на языке предельного перехода для величины радиуса и длины окружности.

Только для того, чтобы показать, что подобный подход не является слишком сложным, мы используем его. Теперь, когда мы осознаем, что мы делаем, мы можем сделать более общие координатные преобразования. Мы говорили о том, каково было число производных. У нас бь|ла возможность сказать, что мы можем поло- жить (8.5.1) путем соответствующего выбора шестнадцати первых производных дх /дх' . Мы предполагаем также, что мы можем выбрать сорок вторых производных (дзх /дя'"дх'") таким образом, что все первые производные д„"„равны нулю.

Тогда имеется восемьдесят выбранных третьих производных я сотня вторых произволы~ ~е~~~и~ы д„„. Есть двадпать линейных комбинаций этих вторых производных, причем эти комбинации могут иметь геометрическое определение. Они не могут быть устранены преобразованием координат. То, что мы будем исхать — это выражение для двадцати таких величин на языке исходных величин д„„. Мы делаем данную процедуру в три шага, возвращаясь назад, так сказать.

Сначала мы предполагаем, что выбрали первые и вторые производные (в выбранной точке путем преобразования к римановым нормальным координатам) таким образом, о о что д„„= п„„и д„„= О, и находим выражение для двадцати величин. Затем мы будем беспокоиться о том, как мы можем добиться 8.5. Кривизна и касательное пространство 180 181 Касательное пространство Искрввле вр остраве (8.5.4) гут быть записаны в достаточно общем виде как 1 с о' УУ=Ъу+2х х д д а т О доуУ=УУад+2х х У е а 1, и 1 о я~а х =х + — а„„х х + — Ь„„х х х 2 6 (8.5.2) Наша задача состоит в том, чтобы выбрать двадцать существенных комбинаций. Для первых производных мы имеем следуютцие выра- жения: дХ а рз 1 о ~а ~а — =5 +о «ах + Ь а«ах дх'" 2 (8.5.3) В этом частном касательном пространстве метрические тензоры мо- Рис.

8.2. вьшолнения этих условий и так выбрать новые координаты, исходя из произвольных начальных коордннат, чтобы получить эти двадцать величин через исходные величины д„„. Сначала мы обсудим геометрически определяемые величины в терминах координат в касательном пространстве в точке. То, что мы делаем в пространстве с четырьмя измерениями, аналогично следующей ситуации в двумерном пространстве.

Искривленное пространство можно рассматривать как поверхность и сравнить геометрию поверхности в данной точке с геометрией, рассматриваемой с касательной плоскости, как показано на рис. 8.2. Исходные координа ты на искривленном пространстве вообще говоря неортогонельны и не являются соответствующим образом ориентированными для того, чтобы допустить простейшее описание геометрии на языке инварианта 1/(ВуВО).

Первый шаг состоит в том, чтобы определить эту внутреннюю кривизну на языке исходной геометрии. Только вторые производные начинают описывать в данной точке отклонение искривленного пространства от плоского. Величины, характеризующие кривизну пространства, являются в точности мерой рассогласования между поверхностью и касательной плоскостью. Эти величины дают описание самого существенного характера пространства и заданной точке.

Характеристики

Список файлов лекций