(Фейнман) Лекции по гравитации (555367), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Это число (козффициент, характеризующий изменение плошали при отклонении длины окружности от 2н) подходит для описания локальной кривизны, известной как Внутренняя Кривюна или также как Гауссова Средняя Кривизна Площади сферической поверхности, поскольку математика всех этих понятий восходит к Гауссу. Мы можем легко рассмотреть другие кривые поверхности. Например, легко увидеть, что пилиндрическая поверхность имеет нулевую кривизну, так как цилиндрическая поверхность может быть развернута на плоскость без растяжения, очевидно, что отношение длины окружности к радиусу должно быть в точности равно 2х. Пля более сложных случаев, если поверхности гладкие, они должны выглядеть как или параболоиды, или как гиперболические параболоиды по инфинитезимэльным областям, в которых мы определили внутреннюю кривизну. Эти поверхности описываются двумя линейными параметрами, радиусами кривизны в двух перпендикулярных плоскостях.
В этом случае внутренняя кривизна определяется соотношением 1/(В1Вз). Эта величина положительная, если поверхность параболическая, или отрицательная, если поверхность — гиперболический параболоид. Мы видим, что эта величина дает правильное значение кривизны для спе- 7.7.
Число инварнантных величин 167 циальных случаев сферических поверхностей и цилиндрических поверхностей; для сферы оба радиуса равны; для цилиндра один радиус равен бесконечности. Кривизна четырехмерного пространства будет определяться аналогичным математическим критерием, Тем не менее, мы едва ли можем ожидать, что мы окажемся в состоянии мысленно построить такие простые картинки и мы должны будем полагаться главным образом на аналитические методы, поскольку наша интуиция вероятно будет нас обманывать.
Очень трудно думать о четырехмерном пространстве специальной теории относительности, даже обладая хорошей интуицией, я считаю, что очень трудно наглядно представить то, что достаточно близко к нему, поскольку имеется знак минус в сигнатуре метрики. А представить себе такое пространство с кривизной было бы еше труднее. Кривую двумерную поверхность удобно представлять, как кривую поверхность, погруженную в трехмерное пространство. Но аналогичное описание для кривизны трехмерного пространства требует концептуального погружения в пространство с шестью измерениями, а проделывая эту пропедуру для четырех измерений, мы должны думать о четырехмерном пространстве, которое погружено в десятимерный мир. Таким образом, кривизна пространства-времени значительно сложнее, чем кривизна поверхности.
7.7. Число величин, инваривнтных под действием преобразований общего вида В четырехмерной геометрии имеются двадцать коэффициентов, которые описывают кривизну способом, аналогичным тому, которым одна величина 1/(В1Вз) описывает внутреннюю кривизну двумерной поверхности. Эти двадцать величин определяют физически значимые свойства тензора у„„; то же, что мы должны сделать, так это упростить тензор д„'„разумным выбором координат, таким же способом, каким стало возможным определить геометрию двух измерений одной функцией Дх, у) в соотношении (7.6.2). Мы видели, что вообще говоря, мы не можем устранить гравитационные поля суперпозицией ускорений, за исключением одной точки.
Так как кривюна может быть задана точным определением того, что происходит в инфинитезимэльной области вокруг заданной точки, целесообразно изучить соответствующим образом в какой степени может быть упрощен тензор у„„. По аналогии с двумерньгм случаем мы можем полагать, что возможно выбрать координаты (называемые нормальными координатами Римана) таким образом, что пространство вокруг этой точки — плоское, за исключением членов второго 1.1. Число ннвариантных величин 169 д' „(х) = д'„„(ха) + Я„„г(хо)(х хо) + — д~~„(хо)(х — хо)(х — хо) + - ° (7"7.1) Мы должны вычислить метрический тензор д,',„(хо) и его производные согласно правилу, выраженному соотношением (7.4.6), это приводит к ( дх" дх" ~ дхо дх" 1 ( дзхЯ дх" д (хо) = ~ — ' 'дои,т~ +2~д ад гт ',о "до~' > яо + другие члены.
(7.7.2) Мы видим, что для упрощения д,',„мы рассматриваем только разложение до второго порядка малости, мы должны выбрать наши преобразования таким образом, чтобы частные производные, появшпощиеся в соотношениях (7.7.2), имели определенные значения.
Мы можем точно определить следующие величины в нашем преобразова- нии [а; ] г дзх" дх' дх'о. яо с до хе д дх'д*" .. 1. Шестнадцать величин 2. Сорок величин (7.7.3) 3. Восемьдесят величин порядка малости от расстояния до этой точки. Лругими словами, кривая поверхность отрывается от плоскости, которая является касательной к этой поверхности, причем отклонение поверхности от плоскости характеризуется величиной, которая кводратична от значений координат, измеряемых от точки касания; мы ожидаем, что аналогичная ситуация имеет место в четырехмерном пространстве.
Давайте подсчитаем, сколько величин мы можем точно определить при преобразованиях и насколько мы можем упростить д,',, если мы делаем разложение в ряп функции д'„„в окрестности некоторой точки хо. Пусть любая точка в пространстве есть х, тогда имеется следующее разложение в ряд Тейлора функпин д,',„в окрестности точки хо (Заметим, что порядок производных не имеет значения.) Лругая сто- рона медали состоит в том, что количество величин и производных метрического тензора является следующим: 1. Имеется 10 компонент д,',„(хо).
2. Имеется сорок первых производных д„'„„(хо). 3. Имеется сто вторых произволных д,',„, (хо) (7.7.4) Сначала мы можем попытаться сделать так, чтобы выполнялось равенство д„' (хо) = и„„. Это соотношение включает в себя только первые производные (дх" /дх' ),. У нас есть 10 условий, которым необходимо удовлетворить с помощью 16 свободных параметров. Мы можем легко удовлетворить этим условиям, и у нас останется еще свободными 6 степеней свободы. Эти шесть параметров являются параметрами специальной теории относительности, преобразований Лоренца и вращений (вектор скорости, ось вращения и угол), которые могут определять преобразования, оставляющие п„„неизменным. Палее мы можем сделать так, чтобы все 40 производных д'„„,(хо) в точности обращались в нуль, используя сорок величин Производная д„„появляется в уравнении движении для минимального действия / Нз.
То,что эти производные могут в некоторой точке обращаться в нуль, означает, что все гравитационные силы могут быть устранены в любой выделенной точке пространства н в некоторый момент времени выбором подходящих ускорений. Получившийся в конце концов результат состоит в том, что остаются двадцать линейных комбинаций вторых производных типа д„',, которые не могут быть устранены таким преобразованием. Это те величины, которые должны описывать детальное поведение приливных сил.
В следующей лекции мы приступим к построению этих двадцати величин через компоненты тензора д„„, заданные в какой бы то ни было системе координат, которую мы выбрали лля исходного анализа. 8.1. Преобразования компонент тензора 171 Лекиин 8 8.1. П еобразованни компонент тензора в неортогональных р координатах В большей части предыдуших рассуждений можно было использовать упрощенное обозначение для суммирования тензорных компонент, поскольку мы всегда имели дело с координатными системами, которые были ортогонэльны. В частности, мы всегда использовали правило суммирования по повторяющимся индексам АэВ" = А4 — АзВз — АэВэ — А1В1. В ортогональных координатных системах зти суммы являются ин- вариантными скалярными величинами; хорошо знакомыи частный случай представляет собой суммирование, которое определяет соб- ственное время в специальной теории относительности (8.1.2) (д )'= (81)'-(д )'-(дд)'-И )'.
дх = — бх ах'" дхв (8.1.3) Определим векторную функцию, которая представляет собой набор четырех переменных, которые имеют характер координатных сме- шений и преобразуются таким же самым образом, как мы меняем координаты дх'" А"(х') = — А (х). ах- (8АА) Пля более общих координатных систем, рассматриваемых нами теперь, которые ускоряются, скручиваются и сжимаются, собственное время определяется через произведения координатных смещений и метрический тензор (7А.7); мы видим, что конструкция скалярных инвариантов следует правилу, которое более сложно, чем правило, задаваемое соотношением (8.1.1). Координатные смещения являются прототипами того, что мы будем называть контравариантными компонентами вектора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
