(Фейнман) Лекции по гравитации (555367), страница 41

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 41)

Тем не менее, это обусловлено не ошибкой в нашем утверждении эквнвалентвости, а тем фактом, что закон, описывающий мощность излучения ускоренно движущегося заряда вводит нас в заблуждение. Обычно этот закон выводится из вычисления потока из теоремы Пойнтинга вдали от заряда, н это справедливо только для круговых движений илн, по крайней мере, движений, для которых характерен бесконечный рост во времени (как имеет место для постоянного ускорения). Этого закона оказывается недостаточно для того, чтобы сказать нам, "когда" электромагнитная энергия излучается.

Ответ на этот вопрос может определяться только путем нахождения силы радиационного трения, которая есть (2/3) (ез/сз) а. Работа против этой силы представляет собой потери энергии. Пля постоянного усхорення зта сила равна нулю. Вообще говоря, работа, совершаемая против этой силы, может быть залисава в виде ЫИ~ 2 ез , 2 ез 2 ез ,1 — = — — — е а= — — а а — — — — (е.а), й 3сз 3сз 3сз сй дающая правильное выражение для ~И'/Ж. Пля круговых или ограниченвых движений средний вклад последнего члена по достаточно большому времени мал или равен нулю (через один цикл, так хак величина о . а сохраняет свое значение, то его вклад равен нулю) и для вычисления мощности излучения достаточно более простого соотношения (9.1.1).

Конечно, в гравитационном поле законы электродинамики Максвелла должны быть модифицированы для того, чтобы удовлетворить 188 принцип относительности. В конце концов законы Максвелла предсказывают, что фотон должен двигаться по прямой ливии, и обнаружено, что фотон искривляется звездой (" падает на звезду" ). Ясно, что некоторое взаимодействие между гравитацией н электродинамикой должно быть включено в более точную формулировку законов электричества для того, чтобы сделать их согласованными с принципом эквивалентности. Мы не будем завершать построение нашей теории гравитации до тех пар, пока мы не обсудим такие модификации электродинамики, а также механизмы излучения, приема и поглощения гравитационных волн.

9.2. Ковариантные производные тензоров В предыдущей лекции мы видели, как понятие кривизны возникает при обсуждении геометрических измерений. Мы можем получить более интересное представление о том, как четырехмерная кривизна будет влиять на наш взгляд на физику, рассматривал более удачное приближение, которое состоит в том, чтобы определить кривизну как величину, описывающую, чта происходит с вектором прн перемещении его в пространстве. Давайте представим вновь наш двумерный мнр. Если мы используем плоские евклидовы координаты, то постоянное векторное поле, существуквпее в пространстве, описывается постоянными компонентами. Если мы используем некоторые другие координаты, в общем случае искривленные, постоянное векторное поле описывается компонентами, которые меняются от точки к точки, Хорошо знакомый пример состоит во введении на плоскости полярных координат, в которых постоянный вектор описывается компонентами (Асозд+ Взшд) = Р„, (Всозд — Аз)пд) = Гв- (9.2.1) Первое, что мы должны сделать состоит в том, чтобы получить соотношения, которые позволят нам сравнить физически значимое различие между тензором в данной точке и его значением в окружающих точках.

По сути дела мы хотим описать изменение тензора, которое до известной степени исключало бы изменения компонентов, вызываемые произвольным выборам координат. Например, мы хотим сравнить вектор в точке х" с другим вектором, находящимся в точке, характеризуемой ннфнннтезимальным смешением ах" от заданной точки, перенесением одного из векторов, остающегося постоянным (более точно, остающегося параллельным самому себе) в некоторую другую точку.

9.2. Коварнантные производные тензорав Для скалярной функции (тензора нулевого ранга) подобная проблема не составляет проблем. Обычное градиентное преобразование определяется соотношением дф дх д4 (9.2.2) дх'" дх'" дх (9.2.3) дх'" Используя первые члены разложения, получим Поскольку мы можем перецнсать выражение для производной, ис- пользуя соотношение (9.2.3), то получим А„(х) = А'„(х') + а"„Ах' А' (х') + „, (9.2 А) Теперь возьмем градиент этого выражения по отношению к произвольным координатам н вычислим эту величину в начале координат ( —.") = — „(А'„Ь') -'; ",Ф'А!)~)) ( —.) дА'„(х') (9.2.5) так что градиент скаляра есть очевидно ковариантный вектор.

Тем не менее, обычные градиенты векторов или тензарвых величин более высокого порядка не являются тензорами; в этом случае в законе преобразования имеются члены, зависящие от случайности при выборе координат. Мы выводим соответствующее выражение для производной путем рассмотрения, как такие объекты выглядят в касательном пространстве. Так как касательное пространство — плоское, производные компонентов не содержат членов, обусловленных искривлением координат, и градиенты векторов по отношению к плоским координатам являются тензорами.

Мы получим соотношение для этих тензарав в любых координатах, делая обратное преобразование от плоского пространства к произвольным координатам. Как обычно, мы употребляем разложения для того, чтобы получить такие соотношения. (" Штрихованные" координаты соответствуют плоскому пространству.) Пусть 19) 190 (9.2.6) (9.2.10) дА» А;: т — Г Аа.

»рр" — В р ~Ф (9.2.7) А", .аз — + Г",А . ВА» а*- (9.2.8) »и В В +д (Г»А)+ »рр Именно поскольку эта величина берется в начале координат, все чле- ны, линейные по х', равны нулю. Таким образом, мы получаем про- изводную "для плоского пространства" на языке произвольных коор- динат Если теперь мы запишем а", через метрические тензоры, то мы получаем соотношение для "более правильной" производной. Эта величина является тензором и известна как ковариантнвя производная вектора А . Для того, чтобы отличить эту производную от градиентов, мы будем использовать точку с запятой для обозначения ковариаптного дифференцирования Доказательство того, что эта величина есть тензор, достаточно утомительно, но очень просто; все, что для этого требуется, состоит в том, чтобы преобразовать все координаты к координатам в плоском пространстве, непосредственно вычислить производную и затем проверить полученный закон преобразования.

Правило для дифференцирования контравариантного вектора аналогично предыдущему Последнее соотношение может быть доказано более просто, если мы исходим из соотношения (9.2.7) и используем метрический тензор для поднятия и опускания индексов; перестановка метрических тензоров приводит к тому, что величина Г меняет знак, Для того, чтобы вычислять ковариантную производную тензора, имеющего много индексов, получаем следующее правило Другими словами, каждый индекс приводит к тому, что добавляется член, который включает в себя Г и сам тензор. Вряд ли нужно какое-либо другое мнемоническое правило; ковариантная производная вычисляется одинаково для верхних и нижних индексов, причем вычисление производной для верхних индексов идентифицируется со знахом "+", а для нижних индексов со знаком "-", тем самым только это и надо запомнить.

9.2. Коварнантные производные тензоров Наиболее, хорошо известный пример таких преобразований — это формула для ротора вектора в сферических координатах; эти формулы всегда включают в себя обычные производные, умноженные на величины компонентов этого вектора. Полезно еще одно соотношение для ковариантных производных. Так как ковариантные производные метрического тензора равны нулю, как легко может быть показано, то следующее правило применимо для произведения (А"В"), .= А"В"., + А", В".

(9.2.11) Для того, чтобы показать, что подобные соотношения действительно связывают тензорные величины, всегда допустимо так выбрать координаты, чтобы сделать доказательство проще; тензоры являются такими математическими величинами, что тензорные соотношения, доказанные в одной координатной системе, остаются справедливыми для всех других координат. Последнее соотношение легко может быть доказано при использовании перехода к плоскому касательному пространству; ковариантнвя производная равна обычной производной в таком пространстве. Одно из действий кривизны состоит в том, что вторая ковариантная производная не коммутирует с первой. Мы можем явно вычислить такие величины путем повторяющегося использования соотношения (9.2.9).

Сначала получаем, что мт = [А;о)~ = — '+1" »(А .~! — Г,.[А».»)р (9,2.12) В(А»;.1 и повторное дифференцирование лает нам Некоммутативность порядка операций взятия ковариантных произ- водных видна, когда мы вычисляем их разность А» — А», = [Г" — Г,"» + Г"»Г» — Г"»ГР,) А». (9.2,14) Множитель, на который умножается вектор А", должен быть тензором, поскольку величина в левой части последнего соотношения 192 193 (9.2.15) А"; — А"; = Я"рптА~ бзА" = В" „А Ь~х~Ь~х'. (9.3.2) Рис.

9.1. является разностью тензоров. Этот множитель в точности является тензором кривизны, так что 9.3. Параллельный перенос вектора Тот факт, что тензор кривизны появляется в связи с вычислением второй ковариантной производной, служит нам той путеводной нитью, которая позволяет нам дать другую полезную геометрическую интерпретацию кривизны. Свойство некоммутативности вторых производных представляет собой предел разности векторов в том случае, если мы вначале перемещаем его вдоль оси о, затем вдоль оси т или сначала вдоль оси г, затем вдоль оси и. Если координаты плоские, то для постоянного вектора нет отличий.

Если мы имеем искривленное пространство и если мы делаем такие перемещения в различном порядке, то мы находим некоторый результирующий вектор. Значимость подобных рассмотрений для получения физических утверждений становится очевидной, когда мы осознаем„что мы не имеем физического способа определения "подлинно постоянного" векторного поля, за исключением того, чтобы сказать, что это такое векторное поле, чьи компоненты имеют нулевые производные в касательном пространстве. Как кривизна появляется при рассмотрении переноса вектора, остающегося параллельным самому себе при перемещении его по поверхности, хорошо иллюстрируется в сферической геометрии. Мы будем представлять себе, что мы переносим маленький вектор с северного полюса по меридиану до экватора, затем вдоль экватора на угол д и возвращаем его назад на северный полюс, как показано на рис.

9.1, причем всегда переносим вектор таким образом, чтобы он оставался параллельным самому себе и был направлен на юг. Когда мы возвращаем вектор назад на северный полюс, мы видим, что наш вектор повернулся на угол д. Кривизна К поверхности определяется через угол, на который вектор поворачивается в том случае, если 9.3. Параллельный перенос вектора мы рассматриваем перенос этого вектора вдоль инфинитезимальной замкнутой траектории. Лля поверхности бд = (Плошадь внутри замкнутой кривой) Х.

(9.3.1) Лля случая треугольника на сферической поверхности этот угол в точности есть превьппение (над величиной 180') суммы углов треугольника. Лля сферической поверхности эта кривизна просто равна «~Нз Обобщенное определение кривизны многомерной поверхности будет даваться через изменение вектора при его переносе вдоль замкнутой кривой, причем при таком переносе, который оставляет вектор параллельным самому себе. Так как ориентапия траектории, лежащей на определенной плоскости, зависит от двух осей координат, то мы видим, что кривизна в общем случае является тензором четвертого ранга.

Характеристики

Список файлов лекций