(Фейнман) Лекции по гравитации (555367), страница 42

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 42)

В трехмерном пространстве мы могли бы разбить сферическую поверхность проведением "радиально" внешней части от точки для заданного измеренного расстояния вдоль наикратчайших измеренных траекторий (геодезических). Компоненты кривизны вдоль различных направлений должны бы соответствовать незначительному отклонению от 2я длин больших кругов сферической поверхности. Наглядное представление понятия кривизны на языке более простого пространства, погруженного в пространство с более высокой размерностью, требует введении одного дополнительного измерения для каждого независимого компонента метрического тенюра. Лля двумерных пространств имеется три компонента метрики, и отсюда следует, что достаточно трех измерений. Лля трех измерений метрический тензор имеет шесть независимых компонентов и для четырех измерений имеется десять независимых компонентов.

Определение компонентов кривизны на языке изменения вектора при переносе его вдоль траектории является более общим, чем определение через дефекты в окружностях, которое не воспроизводит все признаки кривизны. Связь со второй ковариантной производной может быть легко вычислена, когда мы рассматриваем последовательные перемещения вектора, сохраняя его параллельным самому себе. Так как мы проходим вдоль траектории на рис. 9.2, разность в этом векторе, получающаяся при прохождении вдоль этой траектории, должна быть Так как кривизна есть тензор, антисимметричный по индексам (и, т), билинейные произведения Ь|х Ьзх могут быть заменены на вели- 195 -Д|х" С -Дзх Рис.

9.3. А где бА" = -Г"„А Дх". (9.3.5) ВиА (9.3.6) я 1 и 1 ю я ~Ьз " <Ь <Ь (9.3.3) (9.3А) А'" = А" +бА", Рис, 9.2. чину 1/2(Д1х Дзх' — Д1х Дзх"), которые являются цоловиной компонентов площади параллелограмма. Индексы тензоров имеют значение, которое нетрудно опксать словесно; если мы рассматрнваем перемещение векторов вдоль небольшой петли в плоскости (ат), компонент р вектора меняется на величину, пропорциональную сумме по другим компонентам А", В"...

А' к площади петли. Мы уже очень много говорили о перемещении вектора параллельно самому себе, не делая зто понятие математически определенным. При использовании более ннтуитю1ных терминов, это просто означает, что мы переносим юэнец стрелки н основание стрелки на некоторое равное смещение так близко, как только мы можем вдоль прямой линии, которая есть геодезическая. Математическое определенне может быть наилучшим образом понято путем рассмотрения уравнения геодезических Ясно, что вектор (дх" /~Ь) вдоль геодезической представляет танген- циальную скорость Дз" вдоль геодезической, которэл есть "физиче- ская" прямая линия.

Вторая производная (азх" /<Ьз) представляет собой изменение этой скорости за интервал времени Дз Это изменение пропорпнонально самому вектору $" н перемещениям Дх . Определение параллельного переноса аналогично; мы говорим, что вектор А'" есть результат переноса параллельно самому себе 9.3. Параллельный перенос вектора Легко может быть показано, что когда мы перемещаем множество векторов вдоль замкнутой кривой, перемещая каждый из ннх параллельно самому себе, соотношения между векторами не меняется, так что целое пространство, определенное множеством векторов, поворачивается при движении вдоль петли, это залает полное изменение, вызванное перемещениями.

Показательство этого утверждения состоит в проверке того, что все ннвариантные скаляры остаются неизменными. Это означает, что длины векторов и углы между векторами сохраняются. Единственное преобразование, которое допускает зто, выглядит как поворот целого пространства. Возможно, что топологнческне свойства пространства не полностью определяются локальной кривизной. Например, мы получили, что длины векторов сохраняются н углы между векторами сохраняются, когда мы переносим пространство параллельно самому себе. Все же нет гарантии, что для длинной замкнутой траектории отражение недопустнмо, также как и вращение.

Лвумерный пример таких отражений (например, неориентнруемая поверхность) имеет место в ленте Мебиуса (рис. 9.3). Если мы возьмем два вектора, один из которых параллелен, другой перпендикулярен центральной линии ленты Мебиуса, и обойдем один раз ленту, двигаясь налево от вертикальной пунктирной линии, показанной рис. 9.3, то пространство не переходит само в себя, а испытывает отражение, обусловленное "скрученностью" поверхности, а не просто поворот.

Теперь, хогда мы определили тахое понятие, как перенос вектора параллельно самому себе, мы можем получить важную формулу для тензора кривизны при движении по траектории АВСВ на рис. 9.2. Разности в векторах прн каждом ннфиннтезимальном перемещении Лекция 9 196 197 дА„дАи и и дхи дхл (9.3.8) (9.3.9) Рви,и + Рии,в + .К~в,и = 9> 71ии Н иив. (9.4.1) С 4г = (гос си) НЯ, г (9.3.10) Ниа;т Бит'а + Н"ита;и = 9. (9.4.2) задаются символами Кристоффеля Г. Но так как эти разности не являются в точности теми же самыми вдоль (АВ) и (СЮ), и даже, если бы эти перемещения были бы противоположны одно другому, вектор не вернулся бы к своей исходной величине.

Мы можем понять, каким образом символы Кристоффеля оказываются вовлечены в доказательство этого факта. Выполняя щп ебраические преобразования, приходим к соотношению (9.2.14). Можно показать, что тензор кривизны удовлетворяет тождеству Бианки К"~~;„+ В бч; + Ял~~~;0 = О. (9.3.7) Сейчас без полготовки я не стал бы говорить о геометрическом значении тождества Бианки. Имеется обычное уравнение электродинамики, которое может быть записано в виде, идентичном вилу тождества Бианки, за исключением числа измерений.

Тензор поля зэлается через вехторный потенциал следующим соотношением: другими словами Р„„— ротор некоторого вектора. Но свойства Е„„, содержащиеся в утверждении, что Рв„есть ротор, эквивалентным образом также хорошо описываготся тождеством которое имеет вид, похожий на тождество Бианки. Свойства ротора могут быть связаны с криволинейным интегралом, если мы исполь- зуем теорему Стокса где интеграл в правой части соотношения представляет собой поверхностный интеграл по любой поверхности, ограниченной замкнутой кривой Г. Лля случая гравитации аналогия может быть следующая: криволинейный интеграл представляет изменение вектора, когда мы перемещаем его, оставляя параллельным самому себе, вдоль замхнутой кривой Г.

Такое общее изменение возможно связывается с интегрэ; лом по любой двумерной гиперповерхности, ограниченной кривой Г. г Мы используем более распространенное обозначение в отечественной литературе ллв ротора (игос"), а не испг!", как в лекпивк Фейнмана (Прин. нерее.) 9.4. Связь между кривизной и материей Рис. 9.4. Показательство такого утверждения может быть получено по аналогии с доказательством теоремы Стокса, в котором рассматривается разделение конечной поверхности инфинитезимальной сеткой, например, хак показано на рис. 9.4; показывается, что сумма вкладов от любой инфинитезимальной сетки равна криволинейному интегралу, Когда рассматриваетси аналогии дли этой ситуации в пространстве более высоких размерностей, то мы можем лучше понять значение тождества Бианки для описания сущности кривизны пространства.

9.4. Связь между кривизной и материей Мы видели, как эффекты, связанные с действием гравитационных полей, могут быть описаны в рамках нашей геометрической интерпретации через тензор кривизны Я", . Осталась только одна задача, состоящая в том, чтобы связать тензор кривизны с источниками гравитации, материи и энергии. Первое, что мы делаем для этого, мы производим свертку тензора кривизны по первому и последнему индексам и получаем тензор, который называется тензором Риччи В этом соотношении указан единственный способ, каким можно свернуть олин рэз тензор кривизны. Следуюцпгй намек приходит из рассмотрения обобщенного закона сохранения энергии и импульса, который гласит, что свернутая коварнантная производная илн, иначе говоря,ковариантнзя дивергенпия тензора энергии-импульса, должна быть равна нулю. Мы ищем вид соотношения, включающего в себя тензор Риччи таким образом, что его свернутая ковариантная производнэл является тождественным нулем.

Ответ получается из свертывания дважды тождества Бианки (9.3.7). Свертывание по индексам (рд) приводит к выражению, включагошему в себя тензоры Риччи 198 199 (9.4.3) ф=х ф = я~+уз — 2зз, (9.4.7) (9.4.4) (9.4.5) Свертывая по индексам (е, а), мы получаем Л, .— Н,, — ЯЯ~,„=О. Таким образом, тензорная величина, которая имеет нулевую ковари- антную производную, есть Гипотеза Эйнштейна состояла в том, что зта величина в точности есть тензор энергии-импульса. Зля того, чтобы записать это в эйн- штейновской форме, мы просто поднимаем один индекс для того, что- бы записать дважды ковариантный тензор Первое уравнение (9.4.5) определяет полный закон гравитации Эйнштейна; т.е.

это отправная точка всей нашей работы. с'"" часто называется тензором Эйнштейна. После того, как мы установили связь между тензором энергииимпулъса и тензором кривизны, возникает интересный вопрос. Наша интуиция могла бы предполагать, что если повсюду в пространстве нет материи и давлений, геометрия должка бы быть плоской, описываемой метрикой Минковского специальной теории относительности.

Тем не менее, оказалось возможным получить решения такие, что Т„„= О всюду и, несмотря на это, Н, „~ О. (9.4.6) Наиболее интересным из таких решений является решение А.Тауба. Это решение наиболее интересно, поскольку оно не зависит от времени. Тем не менее, могут быть другие решения такой задачи, так мы можем спросить, можем ли мы иметь гравитадию без того, чтобы имелись источники? Ответ на этот вопрос вероятно будет аналогичным ответу, который дается на аналогичный вопрос в электродинамике.

Если разрешается зависимость от времени, то уравнения допускают существование полей без источников (т.е. движущиеся волны), до сих пор мы никогда не сталкивались с физическими трудностями, предполагая, что все наблюдаемое излучение действительно приходит от заряженных источников, которые и испускают это излучение. Можно 9.4. Связь между кривизной и материей построить статические поля, например, имеющие потенциалы которые являзотся безднвергентными, а потому не имеют источников. Обычная интерпретация таких решений состоит в том, что такие поля вызываются зарядами, лежащими вне некоторого объема, внутри которого соотношения (9.4.7) оказываются справедливыми, и для этого требуется все большее и большее количество заряда, находящегося вне рассматриваемой области для того, чтобы сделать такого рода решения приемлемыми, когда мы пытаемся увеличить объем, в котором выполнены приведенные выше решения.

Характеристики

Список файлов лекций