(Фейнман) Лекции по гравитации (555367), страница 38

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 38)

Пля удобства обозначений будем записывать компоненты с помощью верхних индексов, например дх~". Что является важным, так это закон преобразования эгих контравариантных векторных компонентов при изменении системы координат. Пля координатных интервалов этот закон описывается следующим соотношением: Мы называем величины АЯ контравариантными компонентами вектора.

Мы можем очень легко распространить эти определения на тензоры более высокого ранга; например, тензор есть функция, которая преобразуется таким же самым образом, как и скалярное произведение двух векторов, т.е. а'"а" Т»"( ') — дх д Т в дх" дхл (8.1.5) Когда мы сравниваем закон преобразования для метрического тензора с определением (8.1.5), мы видим, что д„„не есть величина такого же рода, так как производные появляются в "перевернутом виде". Тем не менее, мы определили матрицу, которэл является обратной к матрице д„„, д д,,д = б"д. (8.1.6) Нетрудно показать, что эта обратнэл матрица на самом деле составляет контравариантный тензор, так что и надлежит записывать его с двумя индексами, как мы и предчувствовали. Аналогично предыдущему, нетрудно показать, что суммы динах ох = (дз) (8.1.7) (а) АФ = д ФАа, дх" (б) Аэ(х') = — Аэ(х), (8.1.8) которые мы будем называть ковариантными компонентами вектора.

Скалярные инварианты, которые могут быть порождены суммирова- нием, есть А,уВд. (8.1.9) При преобразованиях с индексами, которые мы проводим, будет важно следить за верхними и нижними индексами; в общем случае, н д„„А'В являются скалярными инвариантами; это происходит потому, что производные появляются в правильном порядке в одном случае и в "перевернутом виде" в другом случае, так что после суммирования получаются б-символы Кронекера.

Это наводит на мысль, что мы можем использовать метрический тензор д„„для того, чтобы определить векторные компоненты иного рода, имеющие другой закон преобразования 173 8.2. Уравнеюпг, определяющие инварианты д 172 будут допустимы суммирования только по одному нижнему и одному верхнему индексу. Например, в специальном случае ортогональных координат специальной теории относительности собственное время может быть теперь записано, как (8.1.10) (Из)з = П„„(Ы'Их". Тензор ц„„— диагональный и имеет компоненты (1, -1, -1, -1). Всякий раз, когда векторная величина появляется в физической задаче, например векторный потенциал в электродинамике, эта величина будет появляться в качестве или ковариантного, или контравариантного вектора. Но мы можем всегда построить один из другого, используя метрический тензор; мы можем всегда опустить или поднять инлексы по своему желанию, умножал на величины д„„ или на компоненты матрицы, обратной к этой матрице.

Можно построить тензоры, которые были бы частично ковариантны, частично контравариантны; такие тензоры имеют несколько верхних индексов, несколько нижних, и важно записать зти индексы таким образом, чтобы не было вопроса относительно их порядка (8.1.11) д„.т "=т.. Лля специального тица симметрических тензоров д„„или дя" мы можем ослабить это правило, так как поднятие илн опускание индекса производит просто б-символ Кронекера д" д „= У'„=б'„'.

(8.1.12) Мы не будем утомлять себя тем, чтобы вновь рассматривать доказательства этих соотношений, поскольку они получены много лет тому назад и могут быть найдены во множестве книг. Все они использовались Эйнштейном, который придумал зти обозначения, что упростило работу с ними, н он является "надежным малым" ("ге11аЫе 8пу" ), когда придумывает подобные штуки. Перемещение индексов, поднятие их или опускание, есть нечто мнемонические, так как это соответствует перемещению индексов в производных, которые определяют этн преобразования, в соотношениях (8.1.3), (8.1.4), (8.1.5) и (8.1.8).

Нет фундаментального физического различия между ковариантнымн и контравариантными компонентами вектора; оии имеют одинаковое физическое содержание н меняется только их представление. Зля случая двух измерений мы можем легко показать графически, как представления векторов отличаются. Так кэх преобразования Контравариавтвак проекция Ковариавтиая проекция А Рис. 8.1, определяются как инфинитезнмальные перемещения, нам нет нужды беспокоиться о кривизне пространства; все, что здесь заключено, это наличие ортогональности или ее отсутствие.

Если оси координат не пересекаются под прямым углом, то имеется два способа проектирования физического смешения на оси: или перпендикулярно на ось, или параллельно другим осям, как показано на рис. 8.1. Мы видим, что тензорные компоненты д„„описывают отсутствие ортогональности координат в заданной точке. 8.2. Уравнения, определязоппзе инварианты д„ Теперь, когда у нас есть лучшее понимание роли метрического тензора, мы можем приступить к изучению того, какие величины могут быть построены из него, причем величины, остающиеся инвариант- ными при инфинитезимальных координатных преобразованиях.

То, что мы собираемся сделать сейчас, в точности совпадает с тем, что мы делали некоторое время назад при построении лагранжиана. Предположим, что мы делаем небольшое изменение в координатах х" = х ' + ~" (х'), (8.2.1) где предполагается, что ~" достаточно малы, так что нам необходимо сохранять только члены первого порядка малости по ~". Тогла для производных справедливы следующие соотношения дх д~" ба + дх'" " дх'" (8.2.2) д,',„(х') =д п(х'+О б'+ — ) ~бд+ —.). (8.2.3) Когда мы вычисляем новые компоненты д,',„, мы получаем произве- дение двух таких производных 8.3. О предположении плосхого пространство Лекция 8 175 Если мы оставляем только члены нулевого порядка и первого порядка малости по «», то получаем д„'„(х') = д»„(х') + д „ †,„ + д»в †,„ + †,~ ~".

(8.2.4) дх'» Новые компоненты д„'„равны старым компонентам д„„плюс некоторые члены порядка ~", Когда теперь мы спрашиваем, какие функции д„„допускаются, если настаиваем, чтобы их форма осталась инвариантной, мы видим, что мы приходим к той же самой задаче, которую решили в шили в лекции 6. Математическая задача является той же самой как и тогда, когда мы пытались найти лагранжиан, который приводил к сохраняюшемуся тензору энергии-импульса. Таким образом, имеется более чем одна точка зрения, которая приводит к одному и тому же уравнению и которая имеет то же самое физическое содержание. Мы обнаружили, что преобразование, которое возникло тогда, когда мы искали лагранжиан для гравитации, появляется также в решении чисто геометрической задачи. Мы предполагаем, следовательно, что некоторые физические и геометрически звучашие критерии эквивалентны; самосогласованность предыдушего подхода, к которому мы пришли, исходя из требования равной нулю дивергенции, должна быть эквивалентна тому условию, которое мы накладываем сейчас.

В чем состоит физическая значимость инвариантов д„„? Уравнения движения могут быть выведены нз вариацнонного при- нципа б ~Ь = б д„„(х) 8х»8х" = О. (8.2.5) Эти вычисления могут быть проведены до конца путем введения параметра и, так что квадратный корень под интегралом становится более точно определенной величиной | сЬ» Ых" Ни д (х) — —. ди ои 1зх» Д~а» .~ — = -Г" дг»т (8.2.7) где Г» = д» "~рт, и). Когда решение вариационной задачи проведено до конца, получается следуюшее уравнение геодезических Так как вид этого уравнения остается неизменным при изменении метрического тензора при произвольном преобразовании, то эти уравнения должны быть инвариантами метрики д„„, хоторая содержит в себе физику данной проблемы. 8.3. О предположении, что пространство есть в точности плоское Лазайте попробуем обсудить, что мы узнали при выяснении того, что различные подходы, которые мы использовали, приводят к одним и тем же результатам.

Точка зрения, которой мы до сих пор придерживались, состоит в том, что пространство описывается как пространство специальной теории относительности, которое для удобства мы будем называть галилеевым. В таком галилеевом пространстве могут сушествовать гравитационные поля Ь»„, которые приводят к тому, что линейки меняются в своей длине и скорости хода часов увеличиваются или уменьшаются. Так что говоря о результатах экспериментов мы вынуждены делать различия между масштабами действительных измерений, физическими масштабами и масштабами, с использованием которых написана эта теория, т.е. галилеевыми масштабами.

Теперь положение состоит в том, что именно физические координаты должны всегда воспроизводить одни и те же результаты. Может быть удобным для того, чтобы написать теорию в начале, предположить, что измерения делаются в пространстве, которое в принципе галилеево, но после того, как мы получим предсказываемые реальные эффекты, мы видим, что галилеево пространство не имеет смысла. Это приводит к тому, что для нас не имеет смысла заявлять, что выбор координат, который сделал кто-либо другой, является сумасшедшим и бестолковым просто потому, что этот выбор не выглядит для нас галилеевым. Если он настаивает на трактовке такого выбора как галилеева и приписывает кривизну полям, он также абсолютно оправдывается, и это наше пространство выглядит бестолковым для него.

Лля любого физического результата получается один и тот же ответ независимо от того, какое исходное нанесение меток задано для положений объектов. Следовательно, мы видим, что это может быть философское улучшение, если мы могли бы сформулировать нашу теорию от начала таким способом, что нет галилеева пространства, которое входит в точное определение физики; мы всегда имеем дело с физичесхим пространством действительных измерений. Мы можем снова порассуждать о человеке, который делает измерения с помопгью физической линейки на раскаленной пластине. Ззй О соотношениях мвкду различными подходами 177 176 Линейка очевидно меняет длину при ее передвижении от более горячих областей к более холодным.

Но все это имеет смысл только потому, что мы знаем нечто, что может измерять расстояния без такой зависимости от температуры, а именно свет. Если мы с помощью световых измерений можем вписать "истинно евклидову" координатную систему на пластину, человек на раскаленной пластине мог бы оценить для нас величину температурного поля, т.е. поля, которое могло бы описывать, как линейка меняет свою длину при передвижении ее по раскаленной пластине. Если, тем не менее, мы обманываем его и вписываем искаженную систему координат на пластине, но продолжаем говорить ему,что система координат евклидова, он даст описание другого температурного поля. Но нет способа, с помощью которого мы могли бы одурачить его, вписывая произвольные координатные системы на пластине, так что мы будем всегда менять результаты физических измерений, которые он проделывает полностью самостоятельно.

Характеристики

Список файлов лекций