yavor1 (553178), страница 13
Текст из файла (страница 13)
данной системы. формулы размерности имеют вид «В) «А ) п,, «А ) 'н ' «Аз) 'ч Обычно стремятся уменьшить число основных единиц, но это не всегда оказывается удобным на практике. Поэтому при построении системы единиц приходится учитывать потребности измерительной техники, а также исторические традиции. $7.5. Международная система единиц 1. В 1963 г. в СССР в качестве предпочтительной по сравнению с другими возможными системами введена Международная система единиц СИ. Для измерения механических величин в ней вводятся три основные единицы: 62 метр (м) — единица длины; секунда (с) — единица времени; килограмм (кг) — единица массы. 2. Производные единицы для измерения механических величин определяются следующим образом: единица скорости — метр в секунду (м/с) — скорость равномерного движения материальной точки, проходящей расстояние 1 м в течение 1 с; единица ускорения — метр за секунду в квадрате (мус») — ускорение равнопеременного движения материальной точки, скорость которой изменяется на 1 м!с за 1 с; единица измерения силы — ньютон (Н) — сила, которая материальной точке с массой 1 кг сообщает ускорение 1 м!ст.
Единицы измерения остальных механических величин будут введены по мере их определения. 3. Основным единицам — длины, времени и массы — приписываются размерности Е, Т и М. Производные единицыимеютследующие размерности: (о)=ЕТ ', !а)=ЕТ ', !Л=МЕТ ', !р)=МЕ ' и т.д. й 7.6. Системы единиц СГС и МКГСС 1. Кроме Международной системы еднниц используются системы СГС («физическая») и МКГСС («техническая»). Основными единицами системы СГС являются сантиметр (см), секунда (с) и грамм (г). Производные единицы определяются аналогично соответствующим единицам системы СИ.
Единицей измерения силы служит дина (дин) — сила, которая материальной точке с массой 1 г сообщает ускорение 1 см!с». Предоставляем читателю самостоятельно доказать соотношение 1 Н = 10' дни. 2. Несколько иначе строится система МКГСС. Ее кинематические единицы (длина, время, скорость, ускорение) совпадают с единицами системы СИ. Третьей же основной единицей является килограмм-сила (кгс или кГ) — зто еес эталона массы при нормальном ускорении силы тяжести *). Нетрудно показать, что 1 кгс = 9,80665 Н.
Действительно, из определения массы следует, что Р = та. Подставив т=-1 кг и д=9,80665 м/с», получим, что пря нормальном ускорении силы тяжести тело с массой! кг весит 9,80665 Н. Но это, по определению, и есть килограмм-сила. «) В немецкой литературе эта единица нааыаается килолонд, что удобно, .— ато позволяет избежать путаницы между единицами массы и силы. 63 Масса в системе МКГСС измеряется производной единицей, называемой технической единицей массы (т.е.м.),— это масса материальной точки, которая под действием силы 1 кгс движется с ускорением 1 м/с', 1 т.е.м. =9,80665 кг. При приближенных расчетах обычно полагают 1 к~с =9,81 Н, 1 т.е.м.
= 9,81 кг. ГЛАВА З ЗАКОН ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ $8.1. Основная задача динамики 1. Очень многие задачи астрономии, транспорта, артиллерии и ряда других областей науки и техники формулируются следующим образом: имеется тело, которое можно рассматривать как материальную точку (например планета, снаряд, ракета и т. п.); известны силы, действующие на это тело. Требуется найти закон движения точки, т.
е. выразить ее координаты в виде определенных функций времени. Это и есть основная задача динамики, которая кратко формулируется так: определить закон движения материальной точки, если известны действующие на нее силы. Для ее решения вначале с помощью основноео закона динамики (второго закона Ньютона) находят ускорение, с которым движется материальная точка. Затем с помощью известных формул кинематики ищут выражения для скоростей и координат. 2. Математические трудности, возникающие при решении задачи в общем виде, могут оказаться весьма значительными.
Вместе с тем частное решение любой задачи может быть получено численными методами — приближенно, но с любой наперед заданной степенью точности. Две простейшие задачи будут рассмотрены ниже. Одну из них решим в общем виде, вторую — численными методами. На их примере мы попытаемся выяснить, что же нужно знать для того, чтобы суметь решить основную задачу динамики. Точное решение задачи нам удастся получить только в простейшем случае — при расчете движения тела под действием постоянной силы.
Что же касается численных методов, то они пригодны для решения любых задач, но требуют всегда очень большого числа арифметических выкладок. В настоящее время такие выкладки поручают быстродействующим электронным цифровым вычислительным машинам (ЭЦВМ), которые легко решают данные задачи при соответствующем их программировании. й 8.2. Движение материальной точки под действием силы тяжести 1. Пусть на материальную точку, кроме силы тяжести, никакие другие силы ие действуют.
Например, это могло бы быть тело на Луне, где нет атмосферы. Впрочем, с известным приближе- нием это решение будет пригодно и на Земле, если скорость точки не превосходит нескольких метров в секунду, ибо при таких скоростях можно пренебречь сопротивлением воздуха. Систему отсчета, связаннуюс Землей, будем считать инерциальной. Оси координат выберем так, как показано на рис, 8.1. Выражение для силы, действующей на материальную точку, запишется так; Г= Р= тй', (8.1) Ю или в проекциях на оси координат Рх Оэ Рр = О~ Ро = — тд.
(8.2) Основной закон динамики примет вид Рис. 8.1. Р, = та, = — тд. (8.3) Рх = ™х Рр — тар — — О, Следовательно, проекции ускорения ах=О, а„=О, а,= — а. (8.4) 2. Теперь уже нетрудно найти и закон движения. Вдоль осн абсцисс точка движется без ускорения, т. е. равномерно. В этом случае скорость точки остается постоянной, а ее координата— линейной функцией времени (см. $ 1.4): о„= и, = сопз(, хо+нот (8.5) Аналогично для осн ординат е„= — ев, = сопз(, У Уо + 1аоо (8.6) Наконец, вдоль оси апликат тело движется с постоянным ускорением, Тогда (см. Я 4.3 — 4.6) ее скорость является линейной функцией времени, а координата — квадратичной функцией времени: оо = по+ ао1 = по ххг д1 1 2 о (8,7) Э в, м. яоорехой, А. А.
пиеской, о. ! 3. Итак, закон движения найден. Он имеет вид х=х,+и,(, у = ус + Шо1о а!э г=г +о! —— о о (8.8) шо = О, ио = ~'о соз а, оо = Уо з!и а. (8.9) Закон движения выглядит так: у=О, х=-Уо1созсс, г=ро(з!па — —. (8.10) д!о 2 Покажем, что тело движется по параболе, лежащей в вертикальной плоскости хг.
Действительно, из (8.10) следует: (=хЖосоза. Подставив в третье уравнение, получим Уохо!п я ухо г= Уо соо сс 2Уоо сооо а или г=х!па— его 2Уоо сооо а А зто и есть уравнение параболы в общем виде. Дальность полета получим, положив в (8,11) г =-О, х=- 1.; тогда (8.11) 2Уо !я а соооа Уо Мп 2а (8.12) 66 Мы получили в (8.8) перед ускорением знак минус, а в (4.8) был знак плюс. Это связано с направлением оси апликат: в (4.8) уско- рение направлено вдоль оси аплиг кат, здесь же направление вектора $е ускорения противоположно.
В выражение для закона движения вошло шесть произвольных постоянных: начальные координа- Ф ты х,, у„г, и начальные скорости и„соо, о,. Онн определяют положенне и скорость движения матери- У альной точки в момент времени Рис, 8.2. ! = О, принятый за начальный. 4. Система уравнений (8.5)— (8.8) описывает есе возможные случаи движения тела под действием силы тяжести. Чтобы получить какое-либо частное решение, необходимо указать конкретные начальные условия.
Пусть тело брошено из начала координат со скоростью $'о под углом а к горизонту, причем вектор начальной скорости лежит в плоскости хг (рис. 8.2). Тогда начальные условия примут вид Наибольшая дальность полета достигается при бросании тела под углом я =45' к горизонту: здесь з|п 2а=яп 90'=1. 5.
Рекомендуем читателю самостоятельно получить выражения для частных случаев: а) Тело, находясь на некоторой высоте Ь над Землей, брошено горизонтально с начальной скоростью и,, Найти закон движения; траекторию; дальность полета. б) Тело брошено вертикально вверх из начала координат с начальной скоростью о,.
Найти закон движения; траекторию; максимальную высоту подъема и время подъема. в) Тело со скоростью и' брошено под углом а к горизонту. Найти закон движения; траекторию. $8.3. Численное решение основной задачи динамики 1. В предыдущем параграфе нам удалось весьма просто найти общий закон движения только потому, что на точку действовала постоянная сила. Если же на точку действует переменная сила, то общий закон движения можно найти только методами высшей математики. Однако частное решение при конкретных начальных условиях может быть всегда получено с помощью численных методов.
При этом все решение сводится к совершенно элементарным, хотя н довольно длинным арифметическим действиям. 2. При расчете будем исходить из следующих соображений. Среднее ускорение в течение некоторого промежутка времени И= =1„— 1„, определяется из соотношения (см. 3 4.1) о» ~»-1 ар,у Полагая (при малом И), что среднее ускорение мало отличается от мгновенного в конечный момент 1= 1„, имеем приближенно о„ж о„т+ а„Лг. (8.13) Для средней скорости о„получим аналогичную формулу: о„-о„,+а„И, (8.14) где средняя скорость ~»п о»-1 о»ж 2 Но по определению (см. $ 1.6) средняя скорость — Лх х» — х» о »,у отсюда следует х„=- х„г+ о„Ж.
(8.15) Теперь мы имеем все необходимое для численного расчета закона движения. Действительно, пусть нам известны координата и з' 67 скорость точки в некоторый начальный момент; ускорение найдем с помощью основного закона динамики. По формуле (8.! 3) вычислим скорость спустя И секунд, а по формуле (8.15) — координату. Приняв эти новые скорости и координаты за исходные и воспользовавшись теми же формулами, мы сделаем еще один шаг, и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
