yavor1 (553178), страница 14
Текст из файла (страница 14)
д. Через конечное число шагов получим скорость и координату в нужный момент времени. Естественно, чем меньше сз(, тем точнее будет результат. Но ато потребует увеличения числа выкладок. $8.4. Движение тела под действием упругой силы 1. В этом параграфе мы пронллюстрируем применение численного метода решения основной задачи механики на примере движения материальной точки под действием упругой силы.
Пусть на материальную точку действует упругая сила Р'= — йх(рис. 8,3). Тогда основное уравнение динамики примет внд — йх =та, (8.!6) аг нли в проекциях на оси координат — ах = то„, 0 = тао, 0= та,. (8.17) Положим, что ро=г»=0 и то=но=о; следовательно, материальная точка движется только по осн абсцисс с ускорением Рис, 8.3. (8.18) а =а= — — х. »в т Для численного решения задачи нужно задать какое-либо конкретное значение постоянной йlт, начальную координату хо и начальную скорость по. Пусть й/т=2,467=по/4! х =1,000; но=О. (8.
ГО) Расчет будем вести, полагая А!= 0,1 с. Из (8.18) следует, что ускорение в течение первого промежутка времени приближенно равно ао= — 2,467 хо»» — 2,467. Конечная скорость через АГ= 0,1 с п»оо» =по+лоб! = — 2,467.0,1 = — 0,2487. Средняя скорость за этот промежуток времени — оо+ о»оо" 0 — 0 2467 по= = = 0 1234 2 2 Координата точки к концу промежутка хг = хо+о»М = 1,000 — 0,1234 0,1 = 0988.
Аналогично вычисленкя могут быть продолжены далее (табл. 8.!). 2. Далее 1= 1 с производить вычисления ие имеет смысла, ибо начиная с этого момента времени значения координаты х повторяются, но с противоположным знаком. Следовательно, при 1= 2 с координата точки примет значение х — 1; при 1= 3 с — значение х= О. Наконец, при 1= 4 с координата н скорость будут иметь те же значения, что и при Г= О.
График зависимости координаты точки от времени (рис. 8.4) очень напоминает график функции х»»АсовЫ, где ы= г'й(т. Здесь же изображен график Табл и ца 8.1 1,000 — 2,467 0,0 — 2,437 — 0,367 0,1 0,988 — 0,602 0,2 0,951 — 2,347 — 0,822 0,3 0,891 — 2,199 — 1,996 — 1,022 0.809 0,4 — 1,196 — 1,743 0,5 0,707 — 1,450 — 1,341 0,6 0,587 — 1,453 — 1,120 0,7 0,453 — 1,525 — 0,722 0,8 0,308 — 0,380 0,9 0,156 1,0 0,000 0,000 1,1 — 0,156 — 1,525 0,380 — 1,453 0,722 1,2 — 0,308 й= = — з,ветх Вычнсленнн ! "в=0 — 0,123 кон оо — — ор+аеЛ1= — 0 246 хе =хе+оеЛ1=1 000 — 0,012 =0,988 ов = ое+ азЛ ! = — 0,123 — 0,244 = — 0,367 хе=хе+оеМ =0,988 — 0,037=0,951 о =- су, + а в Л! = — 0,367 — 0,235 = — 0,602 хз = хз+ о,М = 0,951 — 0,060 = 0,891 он=он+азМ= 0602 0220= 0822 «р=хз+озМ=О 891 — 0 082=0.809 ое — — оз+аеМ =- — 0,822 — 0,200 =- — 1,022 хв = хе -1- овЛ! = 0,809 — О, 102 = 0,707 он=он+авМ= 1022 О!74= — 1196 хв = хе + онМ = 0,707 — О, 120 = 0,587 он=он+аеЛ1= — 1.196 — 0145= — 1 341 хе==хе+овМ = 0.587 — 0 134=0 453 ор = он+ арЛ! = — 1,341 — 0,112 = — 1,453 хз = хр+ орЛ! = 0,453 — 0,145 = 0,308 он =оз+азМ = — 1,453 — 0,072 = — 1,525 хр = хе + ив М = 0.308 — 0.152 = О.! 55 он=он+авМ= 1525 — 0038= — 1563 хве=хр+орЛ1=0,156- 0,156=0,000 озв -" оз+азрЛ! = — 1,563 — 0,000 = — 1,563 хы = хне+ оврЛ1 = 0 000 — О 156 = — 0 156 из в = иве+а„Л1= — 1,563+0,038= — 1,525 хвн —— хвв+оввЛ1= — О,!56 — 0,152= — О, 308 о,в=ни+а,зМ= — 1,525+0,072= — 1,453 мгновенной скорости точки, весьма похожий на график функции о= В з1п ы!.
И в самом деле, точное решение этой задачи методами высшей математики приводит к следующему результату: х= соз — 1, 2 (8.20) Выразив переменный угол ее= (п!2]! не в радианах, а в градусах, найдем по таблицам тригонометрических функций значения выражений (8.20) и сопоставим Рис. 8.4. их с результатамн наших вычислений (табл. 8.2). При этом следует учесть, что формула (8.20) дает мгновенные значения скорости к началу каждого промежутка времени, мы же вычислили приближенное значение средней сноросени в течение это. го промежутка.
Таблица 82 ! Теоретические ленные и н и= — — о!и — ! 2 2 а= — !=90'! 2 Расчетные Ленные и к= сое — т 2 Заметим, что фактически расчетные данные были получены путем деления промежутка времени на 100, а не на 10 частей, и в таблицу внесены округленные значения. Мы видим очень хорошее совпадение теоретических и расчетных данных для координат. 3. Движение, совершаемое материальной точкой под действием упругой силы, называется гармоническим лолсбаниваь Подробно этот внд движения будет рассмотрен в гл. 49. 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,! 0 9* 18' 27' 36' 45о 54' 63о 72о 8!ч 90' 99 1,0000 0,9877 0,9511 0,8910 0,8090 0,7071 0,5878 0,4540 0,3090 О, 1564 0,0000 — О, 1564 0,0000 — 0,2457 — 0,4854 — 0,7131 — 0,9233 — 1,1107 — 1,2708 — 1,3996 — 1 „4938 — 1,5515 — 1,5708 — 1,55 15 1,000 0,988 0,951 0,891 0,809 0,707 0,587 0,453 0,308 0,156 0,000 — О, !56 — О, 123 — 0,367 — 0,602 — 0,822 — 1,022 — 1,!96 — 1,341 — 1,453 — 1,525 — 1,563 — 1,563 — 1,525 $ 8.5.
Величины, определяющие закон движения материальной точки 1. На примере задач, рассмотренных в предыдущих параграфах, мы убедились, что для определения закона движения материальной точки необходимы следующие данные: а) должна быть известна сила, действующая на тело; силу можно задать как функцию времени или координат; б) должны быть известны начальные условия: координаты н скорость точки в некоторый момент времени. (Вместо начальной скорости может быть задан начальный импульс р, = та,.) Если этн величины известны, то всегда можно найти закон движения точки, т. е.
выразить ее координаты в виде функций времени. А это в свою очередь позволяет предсказать поведение частицы в любой предшествующий или последуюгций момент времени. Так, зная силы взаимодействия между Солнцем и планетами, а также координаты и скорости планет в некоторый момент времени (т. е. начальные условия), можно предсказать состояние их движения как в давно прошедшие времена, так и на будущее. В частности, можно предсказать такие явления, как солнечные или лунные затмения, великие противостояния Земли и Марса (т. е. моменты времени, когда расстояние между этими планетами становится минимальным) и т.
п. Зная скорость запуска космической ракеты и ее координаты в некоторый момент времени, а также силы, действующие на нее, можно рассчитать ее траекторию; определить, где она будет находиться в любой момент времени; предсказать время и координаты точки приземления. 2. Если окажется, что истинное движение материальной точки не совпадает с расчетным, то это означает, что либо неверно определены начальные условия, либо неверно задана сила.
По степени расхождения расчетной и истинной траекторий обычно удается определить н величину допущенной ошибки. В качестве примера рассмотрим историю открытия планет Нептун и Плутон. В 1781 г. английский астроном В. Гершель сконструировал огромный по тому времени телескоп и с его помощью обнаружил новую, седьмую планету, которую назвали Ураном. Учитывая действие на Уран Солнца и остальных планет солнечной системы, известных к тому времени (Меркурия, Венеры, Земли, Марса, Юпитера и Сатурна), нашли закон его движения и определили его траекторию на небосводе.
Расчетная траектория оказалась неверной — Уран двигался по другой кривой. Поскольку начальные условия были заданы верно, то единственно разумным являлось предположение, что учтены не все силы, действующие на Уран. Французский ученый Леверье и английский ученый Адамс независимо друг от друга выдвинули предположение, что за Ураном должна находиться еще одна планета, которую никто еще не наблюдал. По отклонению расчетной траектории Урана от истинной 7! они смогли определить закон движения этой неизвестной планеты и предсказать, в какой точке небосвода ее можно найти в тот или иной момент времени. Опыт блестяще подтвердил их расчет: направив в эту точку небосвода телескоп, немецкий астроном Галле в 1846 г.
действительно обнаружил там планету, названную впоследствии Нептуном. В начале ХХ в. американский астроном Лоуэлл, учитывая результаты более точных наблюдений, пришел к выводу, что расхождения между расчетной траекторией Урана и истинным характером его движения нельзя объяснить только действием Нептуна, что за Нептуном есть еще одна, девятая планета.
В 1930 г., уже после смерти Лоуэлла, в основанной им обсерватории астроном Томба обнаружил эту планету, названную Плутоном. Итак, на примере ряда задач ньютоновской механики мы убедились, что сала и начальные условия полностью определяют закон движения материальной точки. Дальнейшее развитие науки показало, что в микромире невозможно такое задание начальных условий, какое применяется в ньютоновской механике 1см.
гл. 14). ГЛАВА 9 ТЯ ГО ТЕ Н И Е 9 9.1. Открытие закона тяготения 1. К началу ХЧП столетия большинство ученых окончательно убедилось в справедливости гелиоцентрической системы мира. Согласно этой системе, предложенной Николаем Коперником, Земля и все остальные планеты движутся вокруг Солнца, которое является центром нашей планетной системы. Однако ученым того времени не были ясны ни законы движения планет, ни причины, определяющие характер их движения. Иоганн Кеплер, обработав результаты многочисленных наблюдений, проведенных Тихо Враге и им самим, получил законы движения планет вокруг Солнца.
Ему было ясно, что для объяснения этих законов нужно найти силы, которые действуют на планеты. Однако ни ему, ни его современникам это не удалось сделать. Задача была решена гениальным английским ученым Исааком Ньютоном и изложена в его книге >Математичсские начала натуральной философии> (натуральной философией в то время называли физику), вышедшей в 1686 г.
2. В первом приближении можно считать, что планеты движутся почти равномерно по орбитам, которые мало отличаются от окружностей. Но при движении материальной точки по окружности имеется нормальное (центростремительное) ускорение, направленное к центру орбиты, где находится Солнце. Из основного закона динамики следует, что это ускорение вызывается некоторой силой. Итак, Как мы видим, нормальное ускорение Луны и ускорение свободного падения резко отличаются друг от друга по величине. Однако Ньютон объяснил расхождение между этими величинами, выдвинув предположение, что сила тяготения убывает с увеличением расстояния между взаимодействующими телами по некоторому закону, который мы сейчас найдем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
