yavor2 (553175), страница 11
Текст из файла (страница 11)
2 (55.8) 1. Выделим мысленно некоторую область упругой среды обьемом 1г, в которой распространяется волна с амплитудой А и частотой го. Средняя энергия в этом объеме Ф ='l,лгсоаАе (49.17). Разделив на объем, получим выражение для средней плотности энергии волны: 3. Величина, равная произведснно плотности среды на скорость звука в этой среде: (55 9) г=ри, называется акустимским или волновым сопротивлением.
Оно характеризует волновые свойства среды (см. й 56.6). $ 55.4. Затухание волн 1. Упругие волны всегда поглощаются веществом, причем степень поглощения зависит от множества факторов. Выведем закон поглощения плоских волн (параллельных лучей). Для света этот закон обнаружил и обосновал в 1729 г.
П. Бугер. Пусть плоская волна проходит слой вещества толщиной х. Интенсивность волны меняется от величины 7, до 1 =.7,, Прозрачностью О данного слоя вещества для волны назовем отношение интенсивности прошедшей волны к начальной интенсивности: О = 717о. (55. 10) Примем, что степень прозрачности данного слоя вещества зависит только от его толщины, но не зависит от интенсивности волны; 0 =7(х). (55.11) Пусть волна проходит через две пластинки с толшинами х, и х„ сложенными столь плотно, что отражением на границе между ними можно пренебречь (рис. 55.3). Выйдя из первой пластинки, волна будет иметь интенсивность 1, = 7,~(х,); после выхода из второй пластинки — ннтенсивность 7, =!,~(х,) = Ц(х,)Дх,). (55.12) г, Но данную систему пластин можно рассматривать как одну пластину с толщиной х=х,+х,. х Следовательно, Тз = 7е~(х, +х,).
(55.13) Сопоставив оба равенства, получим функциональное урав- ~х пение: ДхД~(х,) = ~(х, +х ). (55.14) Рис. вз.з. Как легко убедиться, данному функциональному уравнению удовлетворяет показательная функция 7'(х) =а' . Выберем в качестве основания число а =2. Учитывая, что 1(х) — убывающая функция, видим, что коэффициент а в показателе должен быть отрицательным числом: а = — 1/Ь. Тогда искомая функция примет вид ) (х) = 2 (55.15) 2. Закон затухания плоских волн (закон Бугера) запишется так: г 1=1, 2 мь. (55.16) /в Иная запись этого же закона 1 =1„е-и» 155 17) Величина 1. называется слоем половинного поглощения.
В самом деле, если 1/г волна пройдет слой толщиной х=-/.„то 1 = 1, 2-4=4/,1„т. е. интенсивность волны уменьшится вдвое. Линейный коэффициент поглощения р = 0,69/1.. График закона поглощения изображен р . 44.4. ик х' Заметим, что предположение о независимости прозрачности слои вещества от интенсивности волны играет важную роль в выводе закона поглощения. В случае, если прозрачность зависит от интенсивности, закон поглощения уже не будет выражаться формулой (55.16). Именно так обстоит дело с ударными волнами.
/р/'4 /р1г О 5:~ д Рис. 55 4. ГЛАВА 55 УРАВНЕНИЕ ВОЛНЫ $56.1. Длина волны 1. Соберем установку, изображенную на рис. 56.1. Синусоидальное напряжение от звукового генератора подастся иа динамик и одновременно — на один вход двухлучевого осциллографа, на экране которого видна осциллограмма этого колебания. Колебания диффузора возбуждают упругую волну в воздухе.
Возникающая плоская звуковая волна доходит до микрофона и вызывает колебания его мембраны. Звуковые колебания превращаются в электрические и подаются на второй вход осциллографа. Иа экране возникает вторая осциллограмма, соответствующая колебаниям фронта волны вблизи микрофона.
Перемещая микрофон, можно исследовать характер колебаний в каждом фронте волны. Опыт показывает, что частоты обоих колебаний совпадают, что видно по осциллограмме, но фаза колебаний фронта волны отличается от фазы колебаний диффузора. Пусть температура воздуха гж 17' С, скорость звука аж 340 м/с, а генератор работает на частоте т =600 Гц. Тогда оказывается, что если расстояние между диффузором и микрофоном х, = 17 см, то разность фаз между коле- баниями днффузора и волны у микрофона Лф, = Ы2; при х, = 34 см получим разность фаз Лф, =и, т.
е. фаза изменится на противоположную. Наконец, при х, =68 см разность фаз Лф, =2п, т. е. колебания фронта волны и диффузора происходят все время одинаково. При дальнейшем перемещении микрофона явления повторяются; например, при х4 — — !36 см сдвиг фаз Лф, = 4п, т. е. опять колебания исгочннка и фронта волны происходят одинаково, и т. д.
Рис. збл 2. Данное явление объясняется конечной скоростью распространения волны. В самом деле, если фронт волны отстоит от диффузора на расстояние х, то колебания в этой области возникнут с запозданием й1= х/и, (56.1) где и — скорость распространения сннусоидальной волны. Это запаздывание сохраняется все время в виде отставания по фазе Лф. Его можно найти, учитывая, что за период Т фаза меняется на 2п: Лф! Ы = 2п!Т. Подставив значение М из (56.1), получим (56.2) 8.
Величина Л=иТ= — =— (56. 3) называется длиной волны. Если в (56.2) положить х=Л, получим съф=2п. Следовательно, если расстояние между двумя колеблющимися точками (или двумя фронтами волны) равно длине волны, то эти точки колеблются одинаково. Итак, длиной волны назьмается расстояние между двумя ближайшими точками, колеблющимися все время одинаково (т.
е. со сдвигом фаз оф=2п). Короче: длина волны — вто пространственный период, аналогично временнбму периоду Т. 59 3 56.2. Уравнение плоской волны 1. Пусть колебания днффузора описываются уравнением я, = А соя (цт(+ ~р). (56. 4) Тогда колебание фронта волны, отстоящего от диффузора на расстояние х, выразится так я = А соя (оз (1 — Ж) + 4. Затуханием волны мы здесь пренебрегли.
Подставив значение бу из (56.1), получим я= А соя (то (1 — — )+<р|. (56. 5) (56.6) называется волновым числом. Сравнив с (56.3), получим й = 2пl) . (56.7) Итак, волновое число показывает, сколько длин волн укладывается на расстоянии, равном 2п метров. Это аналогично круговой частоте пт, которая показывает, сколько периодов укладывается в промежутке времени, равном 2п сев кунд 6 49.2). Л 3. Раскрыв скобки в (56.5) и учитывая (56.6), получим уравнение плоской сииусондальной волны в более симметричной форме: я=А соя(ы( — их+ту). (56,8) Рис.
56.2. Из данного уравнения вытекает: а) Закон смещения для некоторой точки (х = х, = сопя() в разные моменты времени; получим гармоническое колебание я= А соя (Ы+ а), где а = ~р — /гх,. б) Характер распределения смещений всех точек в некоторый момент времени (1 = 1а = сопя(); получим выражение я =А соя(йх+р), где 5 = — (оз1е+<р). График этой функции при ))= — п(2 изображен на рис. 56.2. $56.3. Уравнение сферической волны 1. Пусть в воздухе распространяется сферическая волна, возбуждаемая маленьким источником (желательио — сферической формы).
Примем, что радиус источника тз, расстояние от центра источника до микрофона т> те, амплитуда колебаний волны у поверхности источника А„а амплитуда валим у микрофона А. Это н есть уравнение плоской синусоидальной волны, распространяющейся вдоль оси абсцисс. 2. Величина Перемещая микрофон из одной точки в другую, получим такой же характер изменения фазы, что я в плоской волне. Однаао если в опыте с плоской волной амплитуда практически не менялась, то здесь амплитуда убывает обратно пропорционально расстоянию от источника звука до микрофона, хотя поглощением в воздухе здесь можно пренебречь.
2. Полученный результат соответствует закону сохранения энергии. Для Гоказательства подсчитаем полную энергию, которую волна перевосит за секунду через сферическую поверхность радиусом г. Согласно (55.9) и (55.10) имеем )УГ ! Р = — =/5 = — рисооАз 4пго, 2 (56.9) На поверхности источника Р = 2отримоАо го. Приравнивая оба выра>кения для мощности, получим А = А.Г./г. Уравнение сферической волны имеет вид (56.10) 5=- А соз (ы! — йг+ф) = — соз (н/ — йг-!.
ф). ЛоГо Г (56. 11) 3. Выражение для интенсивности сферической волны получим, подставив (56.10) в (55.6): о о о / = — риы' —. 1 4о Го /ого 2 ГО ГО (56.12) й 56.4. Эффект Допплера в акустике 1, Доспи пор мы считали, что частота колебаний источника ыо, частота волны ы и частота колебаний ю', регистрируемая приемником (например, микрофоном), равны между собой: го= ы'=- ыо. Поэтому мы эти частоты не различали и обозначали ик просто еь Оказывается, что это справедливо лишь в том случае, когда источник и приемник неподвижны относительно среды, в которой распространяется волна. Если же источник или приемник движутся относительно среды, то ы ф ы нли ы'эа ыо.
Это явление обнаружил Христиан Допплер в !842 г. 2. Предположим, что источник волны движется относительно среды, а приемник покоится. Скорость источника относительно среды обозначим о; по смыслу она должна быть меньше скорости распространения волны (о( и), ибо в противном случае явление осложнится из-за ударных волн. Движение источника приведет к изменению длины волны: в направлении движения она сократится и станет равна ),= (а — о) Т; в противоположном направлении — удлинится по сравнению с длиной волны, которую излучает неподвижный источник, и будет равна а= (и+о) Т (сч.
$ 30.7, рис. 30.5). Скорость распространения волны определяется лишь упругими свойствами среды 6 55.4), и движение источника на нее не влияет. Соотношение между длиной волны в направлении движения источника а и длиной волны )оо, которую излучает неподвижный источник, выразится так: (56.13) 6! Здесь /о = т/о рив'А оо — интенсивность волны на поверхности сферического источ- ника. Мы видим, что интенсивность сферической волны убывает обратно п роно рцно. нально квадрату расстояния от источника. (источник приближается), (источник удаляется), оз = юа 1 — о/и (56.15) юз ю =— !+ о/и 3.
Если источник покоится относительно среды, а приемник движется относительно нее со скоростью о, то также будет наблюдаться изменение частоты, но по другой причине. Здесь длина волны не меняется, нбо источник неподвижен: Л= Л,. Однако скорость волны относительно движущегося приемника ги равна алгебраической сумме скорости волны и и скорости приемника относительно среды о; ш=и+о (прнемник приближается), ~ (56.16) в=и — о (приемник удаляется). Согласно (56.3) имеем для круговой частоты, регистрируемой приемником; оз' = 2пги/Л. (56.17) Сопоставляя с (56.16) и учитывая, что аз= 2ли/Л (так как Л= Ла), получим ы' =- ю, (1+ о/и) (приемник приближается), ~ ы' =ю„(! — о/и) (приемник удаляется) (56.18) 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
