yavor2 (553175), страница 13
Текст из файла (страница 13)
57.1. амплитудами. Области, находящиеся в покое (иулевая амплитуда), называются узлами стоячей волны; области, колеблющиеся с максимальной амплитудой,— пучностям и. 2. Стоячая волна возникает в результате сложения двух волн, движущихся в противоположных направлениях. Одна из иихф это волна, возбуждаемая источником и распространяющаяся вдоль оси абсцисс; ее уравнение з, =А соз(от †). Вторая волна возникает вследствие отражения первой волны от преграды. Так как она распространяется в направлении отрицательных значений оси абсцисс, то следует в (56.8) изменить знак прн координате.
Кроме бб После элементарных преобразований получим я = 2А соя(йх+ — ) соя (в/+ — ) =В соя ( ь»/+ — ), (57.1) где амплитуда стоячей волны В=2Асоя(/«х+ т ~1. 2/' (57.2) 3. Как видно, амплитуда стоячей волны является фуннцией координаты. Для определенности рассмотрим случай, когда волна отражается от среды с ббльшим волновым сопротивлением (как иногда не совсем верно говорят — «от более плотной среды»).
В этом случае фаза при отражении меняется на противоположную: Л~ = — и (2 55.6). Это называется отражением «с потерей полуволиы», так как на расстоянии /»х=-7»/2 изменение фазы /мр =~»«, Подставив «р = — л в (57.1) и (57.2), получим я =Вя(па»/, (57.3) где В = 2 А яш йх. (57,4) Полагая в (57А) В =О, найдем координаты узлов. Из условия ми /гх = О следует: йх = л» н, где целое число ш = О, 1, 2,... Учитывая, что й =-2л/7» (56.7), имеем для координат узлов: хт»,» = и» 2 =2ш « ° Х Л (57.5) Координаты пучностей найдем из условия В =+-2А; отрицагсльный знак при амплитуде означает, что прн переходе через узел фаза стоячей волны меняется на противоположную. Итак, для пучпостей яйп йх =~-1, следовательно, йх =(2л»+ 1)н/2.
Выразив иювь волновое число через длину волны, получим х„„= (2л» + 1) †. (57.6) Итак, расстояние между двумя соседними узлами или соседними пучностями равно половине длины волны, а расстояние между соседним узлом и пучностью — четверти длины волны. 4. Рекомендуем читателю показать, что при отражении без «чогери полуволны» узлы и пучности поменяются местами по сраны ншо с разобранным выше случаем. 67 того, следует учесть, что при отражении фаза волны может изме. виться. Следовательно, уравнение отраженной волны имеет вид: я, = А соя(»»/+ йх+ <р). Уравнение стоячей волны запишется так: я =я, +я, = А соя(«а/ — /гх) + А соя(»»/+йх+~р).
3 57,3. Собственные частоты 1. В начале предыдущего параграфа мы говорили о том, что стоячая волна на шнуре или в трубе заданной длины образуется не при любой частоте, а лишь при некоторых определенных частотах. Попытаемся зти частоты вычислить, Уча 7 Уееп у ь Пуееееп7ь ' Пуеьтпь Пуенеетпь Пуьвае777Ь с- з: х: о <:Л:>с3 а> е/ пу Рнс. 67.2.
Представим себе стержень, закрепленный на концах (рис. 57.2, а). Зто может быть, например, струна, или столб воздуха в трубе, закрытой с двух концов, или балка на двух опорах и т. и. Пусть длина стержня равна 1, а скорость волны в нем и. При возбуждении колебаний в стержне установится стоячая волна, причем на концах обязательно получатся узлы, а между ними — одна либо несколько пучностей. Но расстояние между двумя узлами равно половине длины волны, следовательно, на длине стержня уложится целое число полуволн: 1==т),72 (где т=1, 2, 3, ...). (57.7) Выразив длину волны через частоту колебаний и скорость распространения волны (55.3), получим значения собственных частот: ли ьь и ы=т —, т= — =т —.
2я 21' (57.8) 2. Результаты (57.7) и (57.8) имеют принципиальное значение. Они показывают, что в системе, на которую наложены определенные краевые условия (например, смещения начала и конца стержня равны нулю), возможны лишь определенные, дискретные значения частот. Зтот результат, как мы увидим в гл. 70, используется в квантовой механике. 3. Рекомендуем читателю самостоятельно вычислить собственные частоты колебаний стержня той же длины, но закрепленного посредине (рис. 57.2, б).
В частности, покажите, что первая гармоника имеет ту же частоту, что и в предыдущей задаче, но высшие гармоники различаются: в первом случае возбуждаются любые гармоники с кратной частотой, во втором случае — только нечетные гармоники. 68 Вычислите также собственные частоты колебаний стержня, закрепленного на одном конце (рис. 57.2, в). Покажите, что его первая гармоника имеет вдвое меньшую частоту, а высшие гармоники — только нечетные. й 57.4. Интерференция 1.
Интенсивность бегущей волны во всех точках одна и та же, так как здесь все точки колеблются с одинаковой амплитудои. Конечно, фазы этих точек различны, но это не влияет на интенсивность волны, которая от фазы не зависит, как это следует из (55.5). Обозначим эту интенсивность 1,: 1, = — риы*А'.
(57.9) Чтобы получить выражение для интенсивности стоячей волны, подставим выражение для ее амплитуды (57.4) в формулу (55.8); получим 1 = — рив'В' = 4 1, з! и' йх. 1 (57.10) График этой зависимости показан на рис. 57.3. 2. Как видно из графика, в узлах стоячей волны (точки с коор- хх динатами х„„,=2т — ) интенсивность волны в течение всего времени наблюдения равна нулю; в пучностях х„„,=(2т+1) —, интенсивность ~Ос волны/„„„=41,. Между тем, стоячая волна возникает в результате сложения бегущей и отраженной волн, имеющих одина- х7 ковые интенсивности 1, = 1, = 1,. Следовательно, их суммарная интенсивность 1 7=ив равна 21,.
Таким образом, возникновение стоячей волны сопР. д пеРеР Ределе О д гл У 'з эгх ниеи энергии в пространстве — оиа как бы перекачивается из узлов в пучности. Рис. 57.3. Энергия колебания в каждой точке стоячей волны не равна сумме энергий обеих волн: в узлах энергия равна нулю, в пучностях она вдвое больше суммарной энергии. И лишь средняя энергия стоячей волны окажется равной сумме зиергий слагаемых волн, что вполне согласуется с законом сохранения энергии.
В самом деле, как видно из рис. 57.3, средняя интенсивность полны (57.11) 69 3. Рассмотрим некоторую область пространства, в которой складываются две или несколько волн. Если окажется, что интенсивность результирующего колебания в любой точке равна сумме интенсивностей волн, то говорят, что здесь нет интерференции. Если же окажется, что при наложении волн происходит перераспределение энергии, так что интенсивность в одних точках больше, а в других — меньше суммарной интенсивности, то говорят, что здесь наблюдается интерференция.
Итак, интерференчией называется явление перераспределения энергии, вози икаюшее при некоторых определенных условиях в результате сложения амплитуд двух или нескольких волн. Устойчивая во времени картина перераспределения интенсивностей, возникающая в результате интерференции, называется интерферениионной картиной. Как видно, образование стоячей волны — это пример явления интерференции; устойчивая система узлов н пучностей представляет собой типичный пример интерференционной картины.
9 57.5. Интерференция от двух источников 1. Пусть на поверхности воды в волновой ванне колеблются два шарика, прикрепленные к одному стержню. От каждого шарика распространяется волна;волны, встречаясь, интерферируют, и на поверхности воды наблюдается типичная интерференционная картина (рис. 57,4). Механизм возникновения интерференции можно выяснить с помощью рис. 57.5.
Здесь 5, и 5, — два источника сферических волн; расстояние 5,5, =й. Точка К лежит посредине между источниками; расстояние от точки К до экрана йО =5 Вычислим интенсивность колебаний в произвольной точке экрана М; расстояние Рис. 57.4. МО =у, МК =г, угол наблюдения , МКО=Е. 2. Для того чтобы на экране наблюдалась устойчивая интерференционная картина, необходимо, чтобы обе волны имели. одинаковую частоту. В самом деле, только в этом случае амплитуда колебаний в любой точке экрана не будет зависеть от времени ($49.5). Если же волны будут иметь разные частоты, то устойчивая интерференционная картина не возникнет, а будут наблюдаться биения 5 50.1). Итак, необходимое условие для возникновения интерференционной картины — это равенство частот у слагаемых волн.
Интерферениия возникает при сложении волн одинаковой частоты. Если обе волны распространяются к тому же в одной среде, то из равенства частот следует равенство длин волн и волновых чисел. 70 3. Запишем уравнения обеих волн: з,=А,соз(са( — йг,+<р,), з,=А,соз(ссà — йг,+<р,). (57.12) Разность хода Л=г,— г, значительно меньше каждого из радиусов-векторов, следовательно г,жг,. Тогда согласно (56.10) и амплитуды равны: А, = А, = А.
Результирующее колебание в точке М: где новая амплитуда В = 2Асоз ~ " "~+ т' а новая начальная фаза 6 ь ( + 1 ( ч' +'Гз 2 2 (57. 15) Поскольку нас будет интересовать распределение интенсивностей в интерференционной картине, а интенсивность от фазы не зависит, Рис 57.5. то в дальнейшем мы обратим внимание в основном на амплитуду результирующего колебания. 4. Если источники излучают строго синусоидальные волны, то начальные фазы ~р, и ~, являются постоянными величинами и разность фаз — тоже постоянная величина. Не ограничивая общности рассуждения, положим <р,— <р, =0(или тя).
Впрочем, выбор другого значения этой разности ср,— ~р, =сопз1 приведет лишь к ~ дзигу интерференционной картины на экране, не изменив хаРалтера распределения интенсивностей. При этом условии 71 з=-з,+з,=2Асоз1 ' ' + — '~ сов ~ы7 — 2 + гь(г — 0 р — М Г ь(' +') т +тс1 (57.13) Это выражение можно переписать в виде з=Всоз(оМ+6), (57.14) результирующая амплитуда примет вид В= 2А соз 2 (57 А 6) Учитывая, что л=2я/Х, имеем В = 2А соз ' ("к ") . (57 А 7) Интенсивность волны согласно (55.8) выразится так: 1, = 1, = 1, = = '/,риы'А', интенсивность результирующего колебания 1 = — риы'В' = 41, соз' (57.18) 5. Разность расстояний от интересующей нас точки экрана до источников Л =г, — г, =г(з(пО (57.19) называется разностью хода.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
