yavor2 (553175), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Если разность хода содержит четное число полуволн, те. Л=г,— гг=2т —, то соз =сов'гля=Е аа(гз ~0 Следовательно, в этом случае в точке М возникает иитерференционный максимум с интенсивностью 1„,„,=41,. Если же разность хода содержит нечетное число полуволн, т. е. Л=(2т+1) —, то Х соз' '* " =соз'(2т+1) — =О, и возникает минимум.
Коротко условие максимумов и миннмумов запишется так: Х Л = 2т — — максимум, 2 Х Ь = (2т+!) — — минимум, 1„,„, = 41,; 1„„„ = О. (57.20) и 57.6. Интерференция от нескольких источников Е Представим себе систему, состоящую из М одинаковых источников, расположенных вдоль одной прямой на расстоянии д друг от друга. Найдем интенсивность колебания в некоторой точке, настолько удаленной, что лучи, соединяющие эту точку с каждым из источников„можно считать практически параллельными. Задача сводится тем самым к случаю сложения М гармонических колебаний с одинаковыми амплитудами, фазы которых образуют арифметическую прогрессию (з 49.6).
Остается только найти разность 72 Так же, как и в стоячей волне, здесь происходит перераспределение энергии между минимумами и максимумами. Средняя интенсивность на экране, как видно из рис. 57.5, равна сумме интенсивностей обеих волн: 1 = 21, = 1, + 1„ что согласуется с законом сохранения энергии. Подставив в (49.23), получим выражение для суммарной амплитуды: з! п 19» Л' йг» Мп 6) (57. 22) =о ь.«(;»и зпе> где а — амплитуда волны, которую излучает один источник, г» =йа' — ее интенсивность. 2. Если ввести вспомогательный угол (57. 23) то выражение для амплитуды (57.22) примет вид А — — а —.— .
з)п 1» А так как интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды, то интенсивность суммарного колебания выразится так: (57. 24) (57.25) 3. В предыдуших рассуждениях мы считали, что точка наблюдения находится далеко от системы источников. Выясним, какой сиысл мы вкладывали в слово вда. леко». Обратимся к рис. 57.6. Мы предполагали, что пучок лучей, исходящий из источников, практически параллелен. Конечно, на самом деле лучи не параллельны, а собираются в некоторой точке О. Однако ошибка, да. пущенная при расчете, будет несущественной, если максимальная по- У грешность прн расчете разности хо- ячят да окажется много меньше полуволны — зто будет означать, что погрешность при расчете фазы много меньше и и фазы практически совпадают.
Итак, наш расчет останется в силе, если г — »(~У2. По г= гг»»+В»74, где В=- йЬ» — длина «решешгн», составленной из источников. Подставив зто значение в неравенство, получим Рнс. 57.6 В+ — — ) (( —. В- '). 4 2' (57 26) Умножнм обе части неравенства (57.26) на»+ гг)»+В»)4 2В получим: В» з Х В+ — — 7» (( 2! — . 4 2" ) )лн окончательно: В*~<4и (57.27) З.швм образом, мы ь»ошем считать, что точка наблюдения находится далеко от ш ~очпиков, если ) >) В»)4Х, (57.28) По н есть условие, при котором справедливо соотношение (57.25) и все следствия и сего.
фаз волн, излучаемых соседними источниками. Разность хода Л=с(з!и О (57.19). Разность фаз: сс =)еЛ =Из)пй. (57.21) 9 57.7. Интенсивность главных максимумов 1. Направления максимальной интенсивности волны получатся нз условия ~=тл (т=О, 1, 2,,). (57.29) В самом деле, если е — очень малое число, то з!неже; при р=тл+е имеем: з!и!т=з!п(тл+е) =- ~ з!и еж ~е, з!пй~= = з!и ()ттл+ Хе) = ~ з!и Л!е ж ~ Уе, е п~ Ж!! Л'е~ !пп —., = —, = ?т'.
„ма' 1! Подставив в (57.25), получим, что в главных максимумах интенсивность в Ж' раз превосходит интенсивность одной волны: (57.30) Если бы не было интерференции, то интенсивность в любом направлении была бы равна сумме интенсивностей, т. е. 7 =)у4. Итак, здесь за счет явления ин- 7 терференции происходит перераспределение энергии (рнс. 57.7) — в некоторых направлениях энергия значительно больше, чем сумма энергий от каждого источника, зато в других направлениях энергия вообще не распространяется. Перейдя в (5?.29) с помощью (57.23) от вспомогательного угла к углу наблюдения О, по- лучим: (лйз|пО)/Л=тл, илитак: -ха -а и л' ~и 7т з(п О = тЛ!д.
(57.31) Это и есть условие главных максимумов для угла наблюдения О. 2. Между двумя соседними максимумами (рис. 57.7) располагается несколько минимумов и побочных максимумов, интенсивность которых значительно меньше, чем у главных максимумов. Минимум возникает при условии, что числитель в выражении (57.25) обращается в нуль, в то время как знаменатель нулю не равен. Как нетрудно убедиться, это возможно, если Ф() =лл, (57.32) где и не кратно Ж (т.
е. п~ т)У), так как при и = т г? мы вернемся к условию (57,29) и получим главный максимум. В частности, в промежутке между нулевым и первым главными максимумами число и принимает значения от 1 до Лг — 1, т. е. получится Лг — 1 минимум и йг — 2 побочных максимума.
Поскольку синус не превосходит единицу, то из (57.31) можно найти число главных максимумов; из гп)Ы(1 следует: «г ( г(/Х. (57.33) $57.8, Дифракция 1. С помощью колеблющейся длинной пластинки возбудим на поверхности воды плоскую волну и посмотрим, как эта волна проходит через отверстие в непрозрачном экране. Опыт покажет, что если ширина отверстия Р меньше длины волны (Р< Х), то отверстие излучает сферические волны (рис. 57.8) как точечный источник. При увеличении размеров отверстия за ним наблюдается типичная интерференционная картина — мы видим центральный Рис. 57.9. Рис.
57.8. главный максимум и более слабые боковые максимумы (рис. 57.9). И лишь в случае, когда размеры отверстия значительно превосходят длину волны (Р)) Х), загибание волны за края экрана на малых расстояниях от него выражено очень слабо. Явление загибаиия волн за края непрозрачных преград называется ди4ранциег7. В более общем смысле под дифракцией пани- мают рассеяние волн на резко выраженных неоднородностях среды.
2. Строгое решение задачи днфракции связано с большими математическими трудностями. Обычно для расчета интенсивности интерференционной картины, возникающей при дифракции, используется принцип Гюгггенса — френеля. Суть его заключается в следующем: для каждой конкретной задачи следует определенным способом разбить фронт волны на участки (зоны Френеля), которые рассматриваются как самостоятельные одинаковые источники волн; амплитуда (и интенсивность) волны в точке наблюдения определяется как результат интерференции от волн, которые якобысоздшогся отдельными зонами. 75 Оказывается, что интерференцнонная картина, рассчитанная таким методом, очень хорошо согласуется с результатами эксперимента, если размеры отверстий многа больше длины волны.
Более детально мы покажем, как пользоваться данным методом, при рассмотрении дифракции света (гл, 62). Здесьже рассмотрим только один пример — дифракцию плоской волны на одной щели. $57.9. Дифракция на прямоугольной щели 1. Пусть плоская волна падает на длинную и узкую прямоугольную щель в непрозрачном экране. Ширина щели 1), длина 7,)~0. Разобьем эту щель на зоны в виде узких полосок, параллельных длинной стороне щели; ширина зоны г( =Е)/У, где,у — число зон.
Пусть точка наблюдения находится далеко от отверстия— точнее, на расстоянии /))О'/4Л (57.28). Тогда расчет интерференционной картины сводится к задаче интерференции й/ одинаковых источников, которая была рассмотрена в 2 57.6. Для расчета амплитуды волны А в точке наблюдения следует воспользоваться выражением (57.22), положив, что амплитуда колебания ат отдельной зоны а =А,/й/, где А, — амплитуда волны на отверстии. Подставив в (57.22), получим А„мв Я~ИР мв 0) (57. 34) Ж Ы(ЬР ею В) ' Введем вспомогательный угол рми в а = — Й/) з1п 6 = 2 Х (57.35) 2. Задача будет решена тем точнее, чем на большее число зон будет разбит фронт волны, Но при больших значениях /У синус малого угла не будет практически отличаться от радианной меры этого угла, т.
е. з|п (а//У) ж а//У. Подставив в (57.36), получим выражение для амплитуды мпя и и для интенсивности волны в точке наблюдения / мп я 0,„З (57.38) 3. В центре интерференционной картины наблюдается нулевой, иначе — главный максимум. В самом деле, при ОжО и вспомога- Тогда выражение для амплитуды волны в точке наблюдения примет вид '4,2 ма (и/// ° (57.36) тельный угол ажО, следовательно, здесь з!и ажа и 7=7а. При условии гх = тп (т = 1, 2, 3, ...) (57.39) числитель в (57.38) обращается в нуль, в то время как знаменатель нулю не равен.
Следовательно, условие (57.39) или эквивалентное ему условие гйп О=тИЭ (т=1, 2, 3, ...) (57.40) определяет направления минимумов, т. е. те направления, в которых интенсивность волны равна нулю. Заметим, что выра>кение (57.40) имеет смысл только при Р= )ь, поскольку синус не превосходит единицу. Следовательно, при Р =)ь иаш расчет не годится. Как показывает опыт (рис.
57.8), в этом случае действительно минимумов нет, отверстие излучает волны во всех направлениях. 4. Можно паказатгч что побочные максимумы находятся примерно посредине между двумя минимумами, т. е. при иж = (2ж+ 1) л!2. Их интенсивность очень ж быстро убывает па мере роста их номера. -4>г-,у>г -хж -тг >7 тг л!т уж 4й' Так, интенсивность первого максимума (т= 1) найдем, подставив в (57.38) зна- Рис. 57.!О. чение и=- Зл/2! получим ), = 4!з/9лзнн сы0,0451е, т.
е. всего 4,5ауа интенсивности в главном максимуме. Соответственно для второго максимума получим уз= 4)а!25аагы0,016)а, для третьего — )а —.— =-4Ц49л'ю0,008)а и т. д. График распределения интенсивности при дифракции в узкой прямоугольной щели изображен на рис. 57.!О; масп~таб здесь не соблюден, ибо неудобно на одном чертеже изобразить две величины отличающиеся более чем в сто раз друг от друга (гз )е! ! 20).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
