yavor2 (553175), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Кроме вынуждающей силы, в колебательной системе (напрпмер, пружинном маятнике) действуют еще силы упругости и трения. Согласно основному закону динамики (см. 3 7.1) имеем г" + г"„„р+ Е„= та (53.2) или г"„соз вг — йз — Йп =- та. (53. 3) 2. Опыт показывает, что при воздействии на пружинный маятник синусоидальной вынуждающей силы груз совершает установившиеся гармонические колебания с частотой этой силы. Аналогично, если в колебательный контур включить синусоидальную э.д.с., то в контуре устанавливаются вынужденные колебании тока, частота которых совпадает с частотой вынуждающей э.д.с. Последнее легко проверить с помощью двухлучевого осциллографа, подав на один его вход колебания э.д.с., на второй — колебания тока Я 49.4).
Итак, вынужденные колебания происходят по закону з = А соз(вГ+ «р). (53.4) 3. Для определения амплитуды А и начальной фазы ф вынужденных колебаний подставим в (53.3) значения смещения, скорости и ускорения согласно (53А), (49.2) и (49.3). Получим Е„соз ૠ— ФА соз (в«+ ф)+ йаА з! и (в«+ «р) = = — тв'А соз(а«+ф). (53.5) Уравнение (53.5) упрощается, если система имеет большую добротность: можно отбросить член, соответствующий силе трения.
В результате получим выражение г„соз⫠— йА соз(в(+ «р) = — тв'А соз(а«1+ ф). (53.6) Это равенство должно выполняться для любого момента времени, что возможно лишь в том случае, если ф = О„ф = — и или ф = — и. 4. В первом случае уравнение (53.6) примет вид г„— йА = — тоРА, (53. 7) Учитывая, что коэффициент упругости А =та,', получим для амплитуды смещения: А= (53.8) т(во — в«) ' Поскольку амплитуда — существенно положительная величина, выражение (53.8) имеет смысл, когда круговая частота вынуждающей силы а меньше собственной круговой частоты системы в,. 36 В этом случае колебания системы происходят в одной фазе с колебаниями силы.
Если же частота вынуждающей силы болыпе собственной частоты системы, то колебания системы происходят в противофазе с колебаниями силы (ч = — и), а для амплитуды смещения следует взять модуль выражения (53.8). 9 53.2. Резонанс 1. При совпадении частоты вынуждающей силы и с собственной частотой системы ч,(или си = а,) выражение (53.8) теряет смысл, ибо делить на нуль нельзя. Если же си- в„то А-~-со, что не имеет физического смысла. Это означает, что в данном случае принципиально нельзя пренебрегать затуханием. Случай, когда частота вынуждающей силы совпадает с собственной частотой колебательной системы, называется резонансом. Для вычисления резонансной амплитуды и фазы подставим в (53.5) значение сс = сэ,. Поскольку й = тас, уравнение (53.5) примет вид г„соз са,т+йы, Ар„з!п (в>,г + Ч ) = О.
(53.9) Данное выражение должно выполняться тождественно, в любой момент времени. Это возможно лишь в том случае, когда у =- — и!2. Резонансная амплитуда смещения ммо где А„„=р„/й=р„(гпа',— отклонение под действием постоянной силй. На рис. 53.1 изображен график зависимости амплитуды смещения от частоты вынуждающей силы — так называемая резонансная кривая.
Вдали от резонанса график строится по формуле (53.8); при частотах, близких к собствен- Л„- —- ной частоте, амплитуда А близка к резонансной А„,. Острый «резо) нансный пики на рис. 53.1 характеризует систему с большой доб- ,~$, ротностью. Резонансная кривая и 1и для системы с малой добротностью показана на этом же рисунке пунктиром. 1 ! Реко мендуем читателю вывести формулы для амплитуды скорости (49.6) при резонансе и на других частотах и построить график этой зависимости — резонансную кривую для амплитуды скорости. 2. Нарастание амплитуды колебаний при резонансе в системе с большой добротностью может привести к ее разрушению. Известен "Ь Рис. 333 37 ряд случаев, когда происходило разрушение сооружений из-за работы маломощных двигателей, но на частоте, равной ссбственной частоте сооружения. По этой же причине иногда происходят поломки неуравновешенных коленчатых валов, гребных винтов, пропеллеров, роторов и валов турбин и т.
п. Вместе с тем резонанс находит применение при устройстве ряда приборов и установок в механике, акустике и радиотехнике. Некоторые из этих применений будут рассмотрены ниже. ф 53.3. Резонанс и гармонический анализ ,1. Явление резонанса может быть использовано для гармонического анализа несинусоидальной колебательной силы. Для этой цели следует набрать систему реэомагпороэ, охватывающих интересующую нас область частот, и подвергнуть ее воздействию этой силы. Интенсивные колебания возникнут только в тех резонаторах, частоты которых совпадут с частотами соответствующих гармоник исследуемой величины. В качестве примера рассмотрим язычковый частотомер (рис. 53.2). Он представляет собой набор «язычков» в виде упругих пластинок с грузиками на концах, прикрепленных винтами к общей планке.
К этой же планке прикрепляется якорь, расположенный над полюсом электромагнита. Если через обмотку электромагнита протекает переменный ток, то якорь начнет колебаться и приведет тем самым в колебания планку и прикрепленные к ней язычки. Впрочем, данная система способна регистрировать и механические колебания. Для этого нужно просто прикрепить прибор к механической системе, колебания которой мы хотим исследовать. 2. Масса грузиков на концах язычков и длина упругих пластинок подбираются таким образом, чтобы частоты соседних пластин различались на одну и ту же величину, например, на 0,5 Гц.
Тогда система из 25 язычков охватит диапазон частот 12 Гц. Если подать в обмотку электромагнита синусоидальный ток, то колебаться заметно будет лишь тот язычок, собственная частота которого совпадет с частотой тока. На рис. 53.3, а изображен случай, когда один из язычков резонирует на частоту 50 Гц.
Иной результат получится под действием несинусоидального тока (рис. 53.3, б). Здесь возбудились три язычка — с частотами 47,5; 50 и 52,5 Гц, причем амплитуды их колебаний оказались разными. й 53.4. Нолущирина резонансной кривой. Избирательность Резонатор, обладающий острой резонансной кривой, обладает хорошей избирптельностьеч т. е. он может нз двух колебаний с близкими частотами уверенно выделить одно, частота которого совпадает с собственной частотой резонатора.
Наоборот, резонатор с пологой резонансной кривой будет примерно одинаково реагировать на оба колебания. 38 Количественно избирательность резонатора характеризуется ло 1 реэанэнсиоб краэоа Ьм. Так называется разность между резонансной частотой аэ и частотой мз, при которой энергия вынужденных колебаний в резонаторе окажется лтэзгэли Рис. 53.2.
Рис. 33.3 вдвое меньше, чем на собственной частоте (при одинаковой амплитуде вынуждаю. щей силы). Исходя из выражения дли энергии колебания (49.!7), получим — лээ Аэ = — ты А 1, 1 1 4 э эеэ Или, учятывая (53.8) и (53.10): (33.11) (83.12) 3 мэ — гэ', 39 При большой добротности резонатора в, и со„мало отличаются друг от друга, таи что Дв= )во — в,)(с во, а в» со. воям 2во. Подставив в (33.12), получим оионча.
тельно: Дв вол ° (53.13) !!таи, с ростом добротности резонатора уменьшается полуширина резонансной кривой и возрастает избирательность. $53.5. Процесс установления вынужденных колебаний 1. До снх пор мы рассматривали уже установившиеся вынужденные колебания. Здесь мы рассмотрим сам процесс установления— «раскачку» системы нз состояния покоя.
Для простоты рассуждений пренебрежем затуханием. При включении силы возникают одновременно свободные колебания с круговой частотой а, и вынужденные колебания с круговой частотой а. Суммарное колебание имеет внд 3 — — А соз а 1+ В соз а ог. (53. 14) Скорость и ускорение системы можно получить теми же методами, что н в 3 49.1 (ср. с (49.2) и (49.3)): о = — А о! 5!и озг — Во!о 5!п аог, (53. 15) а = — А а'соз аг — Вв,'соз аог.
(53.16) 2. Для вычисления амплитуд А и В воспользуемся начальнымн условиями: при ! = 0 смещение зо =-О, скорость о, = О, ускорение ао = Г„!и. Подставив в (53.14) и (53.16), получим после несложных выкладок: В= — А, А= ш (во — вз) Окончательно выражение (53.14) примет вид ~м 3=," (сонат — сон а,у). т (в,' — ив) (53.17) (53.18) Мы видим, что это — несинусоидальное колебание. Если а и а, близки друг к другу, то в системе возникнут биения Я 50.1).
3. На первый взгляд кажется, что полученный результат противоречит опыту, согласно которому в системе под действием синусондальной вынуждаюзцей силы возникают гармонические колебания с частотой силы (3 53.1). Но это противоречие возникло потому, что мы не учли явления затухания свободных колебаний. Следовательно, верны результаты обоих параграфов — как 3 53.1, так и данного, но для разных моментов времени: первый верен для установившихся колебаний, второй характеризует сам процесс установления, Таким образом, формулой (53.14) и ее следствием — формулой (53.18) — можно пользоваться в течение небольшого промежутка времени в начале движения, пока еще можно пренебречь затуханием 40 свободных колебаний, точнее — когда 1(т фсоа (51.4).
При ®т свободные колебания практически затухают, и в системе установятся синусоидальные колебания с частотои вынуждающей силы (53А). 9 53.6. Установление колебаний при резонансе 1. Для того чтобы определить характер установлении колебаний при резонансе, нужно в выражении (53.18) перейти к пределу при условии, что оо стремится к со,.
Преобразуем числитель и знаменатель (53.18) и учтем, что синус малого угла не отличается от ради- анной меры этого угла; получим 2Р . (о~+'оа) ( ° (аоа о') ( (ооа м) ( 2 2Г Мп — а о|п а 2 Г ( .. 2 о(п з= !пп — шп со,! 1пп т (Ма — ааа) 2гпаоа а (и, — со) 02 Последний предел равен единице. Следовательно, раскачка колебаний при резонансе происходит по закону а~' Гм( (53. 19) ~по'а Таким образом, если на колебательную систему с большой добротностью, находящуюся в состоянии покоя, станет действовать вынуждающая сила, частота которой совпадает с собственной частотой системы (резонанс), то амплитуда колебания нарастает пропорционально времени: Гм( А= —" 2тм, (53.20) 2.
При отсутствии трения в колебательной системе при резонансе наблюдался бы беспредельный рост ам- Рмс. БЗА, плитуды. На самом деле рост амплитуды продолжается лишь до тех пор, пока работа силы трения не уравновесит работу вынуждающей силы (рис. 53.4). Этило условием и определяется установившаяся резонансная алоплитуда (53.10). Чтобы оценить время, в течение которого устанавливается резонансная амплитуда, приравняем выражения (53,!О) и (53.20). Получим Гм Гмт 2сп 2(1 — — нли т= — = —. (53. 21) оооо 2а соа сао Итак, время нарастания колебаний при резонансе и время затухания свободных колебаний (51.4) практически равны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
