yavor2 (553175), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Если закон движения материальной точки выражается в виде синусоидальной функции времени (49.1), то говорят, что эта точка совершает гармонические колебания. Материальная точка, совершающая гармонические колебания, называется гармоническим осциллятором (от озс111нш — колебание). Графики смещения, скорости и ускорения гармонического оспиллятора изображены на рис. 49.1.
Обратите внимание на то, что скорость отлпчается по фазе от смещения на п/2, а ускорение— на и. Рекомендуем читателю построить графики смещения при ф =О, ср =-и!2 и ср = — Зп!2. 9 49.2. Частота н период колебаний 1. Параметр ы, входящий в выражение для смещения и все последующие выражения, называется круговой частотой. Величина ч = ы~'2п (49.9) называется частотой. В электро- и радиотехникевместо ч обычно пишут !. Для выяснения физического смысла этих величин выразим их через период колебания. 2. Периодом Т называется промежуток времени, по истечении которого колебание повторяется, т.
е. колеблющаяся точка проходит те же положения и в том же направлении. Из определения следует: з(!+лТ) =з(!), (49.10) где и — произвольное целое число. Это значит, что через произвольное целое число периодов точка будет двигаться точно так же, как и в данный момент. Подставив (49.1) в (49.10), получим А соз(ы(!+пу) +<р) =Асов(м(+ф. Но косинусы двух аргументов равны, если эти аргументы отличаются на 2лп (2п — период косинуса и синуса, и — целое число), следовательно, ы!+ пыТ+ <р = ы!+<р+ оп.
3. Отсюда и вытекает искомая связь между периодом и частотой: ы= —, у= —. 2я 1 (49. 11) Итак, круговая частота а показывает, сколько полных колебаний совершается за 2ч секунд, частота ч — сколько колебаний совершается за одну секунду. Единицей измерения частоты служит герц (Гц).
Частота ч = 1Гц, если период колебания Т = 1 с. Круговая частота измеряется в радианах за секунду, аналогично угловой скорости. 4. Сравнивая выраженно для упругой силы )с= — иа с выражением (49.6), имеем: — кз = — тв'в, откуда следует: о =$' Ьт. (49.12) т,=2я1.,=2. УНИ. (49.13) 9 49.3. Энергия гармонического осциллнтора 1. Кинетическая энергия (см. 9 16.2): ви' ! К = — =- — ты' А' з1п' (ы Г + <р). (49. 14) Потенциальная энергия (см. 4 18.6): ьв* и = —,= — 2йА .Ы( (+ р).
Учитывая, что й =тсо' (см. (49.12)), имеем ! 1! = — ты'А' соз' (Ы+ !р). Известно, что соз'сс+з1п*а= 1. Складывая получим выражение для полной механической тора: (49.15) (49. 16) (49.14) и (49.16), энергии осцилля- йР=К+(~= —,' *А. (49. 17) Графики для потенциальной, кинетической и полной энергии изображены на рис. 49.2. Из графика видно, что период изменения Ряс. 49.2. кинетической или потенциальной энергии вдвое меньше периода колебания.
Э!о также следует из соотношения 2 соз' о! =- 1+ сов 2ы!. 2. Гармонический осциллятор представляет собой консервативную систему (см. 9 19.1). Его полная энергия не меняется в процессе колебания, происходит лишь преобразование потенциальной энергии в кинетическую и наоборот при сохранении их суммарной величины. Как можно показать (см. рис. 49.2), среднее значение кн- !2 Итак, если гармоническое колебание возникает под действием упругой силы, то частота колебания не зависит от начальных условий и определяется только упругостью и массой системы, т.
е. свойствами самого осциллятора. На этом основании данная частота называется собственной круговой частотой осциллятора; она обозначается со,. Собственный период нетической энергии равно среднему значению потенциальной энергии и равно половине полной энергии: К=У=-,' Я7= 4 ~~*А*. Здесь чертой сверху обозначено среднее значение величины. 9 49.4. Запись колебаний 1. Простейший способ записи колебаний изображен на рис. 49.3. На бумаге получается запись колебаний — осциллограмма (от озсШшп — колебание и нгапипа — запись). Во многих случаях оказывается более целесообразным преобразовать исследуемое колебание в электрические сигналы, которые у 4 Рис.
49.3. далее записать гораздо легче. Для этой цели можно воспользоваться, например, явлением электромагнитной индукции. Если к колеблющемуся телу прикрепить проволочную рамку и поместить последнюю в магнитное поле, то при колебаниях рамки в ней возникнет индукционный ток (Я 43.1 — 43.3), колебания которого точно соответствуют колебаниям исследуемого осциллятора. Возникшие в рамке колебания тока записываются с помощью электронных или шлейфовых осциллографов.
2. Основной частью электронного осциллографа является элект- ронно-лучевая трубка (9 47.4). Исследуемое колебание в виде электри 'еских сигналов подается на вход вертикального усилителя» После усиления сигнал подается на электроды вертикального отклонения электронного луча, в результате чего луч пишет на экране трубки вертикальную прямую (рис. 49.4). Рис.
49.4. 4чло Ряс 49 5. Чтобы получить оспиллограмму, нужно одновременно с вертикальным перемещением электронного луча заставить его двигаться равномерно по горизонтали Лля этого на электроды горизонтального отклонения луча подастся гак называемое пилообразное напряжение ст спепиального генера1ора развертки (рис. 49.5). Под действием этого напряжения электронный луч движется вначале равномерно по экрану слева направо, а затем резко отбрасывается назад, к левому краю экрана. Прн совместном действии вертикального отклонения и горизонтальной газверткн электронного луча па экране трубки наблюдается Рис. 49.6 осциллограмма (рис.
49.6). Для получения устойчивой картины необходимо правильно подобрать частоту развертки и синхронизировать ее с исследуемым сигналом. С этой целью запуск генератора развертки производится самим сигналом, а период развертки подбирается кратным периоду сигнала. 3. В шлейфовоч осциллографе ис- ' Я следуемый сигнал подводится к клем- ~ф мам К и пропускается через легкую ф~~~ проволочную петельку — шлейф (, помещенный в магнитное поле (рис. 49.7).
К шлейфу прикреплено легкое зеркальце 2, на которое падает луч света. Отразившись от зеркальца, луч попадает Э на многогранное зеркало, а затем— на экран. Если по шлейфу протекает Рис. 49.7. ток, то возникает врашающий момент (41.17), поворачивающий шлейф вместе с насаженным на него зеркальцем. Прн изменении тока в рамке соответственно изменится пово- рачивающий ее момент. В результате оказывается, что колебания тока преобразуются в колебания шлейфа, а вместе с ним — и зермальца и отраженного от него светового луча.
Развертка осуществляется с помощью равномерно вращающегося миогогранногозернала. Осциллограмму либо наблюдают на экране, либо фотографируют. В зазоре магнита шлейфового осциллографа можно поместить несколько шлейфов, что позволяет одновременно записать несколько колебаний и сравнить их затем по амплитуде, частоте и фазе. Создание миоголучевого электронного осциллографа является значительно более сложной задачей. Вместе с тем оказывается, что у электронного осциллографа гораздо лучшая частотная характеристика, что является следствием практической безынерционности электронного пучка. Благодаря этому электронный осциллограф может работать в диапазоне частот от десятых долей герца до десятков мегагерц. Шлейфовый осциллограф удовлетворительно работает в области частот, не превосходящей килогерца. $49.5. Сложение колебаний одинаковой частоты 1. Пусть на тело действуют две силы: г', = — з,з, и г, = — я,в,.
Под действием каждой нз этих сил тело совершало бы колебания з, =А,сов(в,Г+~р,) и з, =-А,сов(в,1+Чр,). Попытаемся выяснить, как движется тело при одновременном действии обеих сил. Оказывается, что в общем случае здесь возникают несинусоидальные, иными словами — негармоничгские колебания. В этом можно убедиться, сняв осциллограмму суммарного колебания.
И лишь в одном случае, когда коэффициенты упругости совпадают (т. е. Ф,=я,=я) и вследствие этого совпадают собственные частоты слагаемых колебаний (т. е. ы, = ы, = ьз), результирующее колебание окажется гармоническим колебанием с той же частотой. Этот случай мы и рассмотрим в данном параграфе. 2. Итак, пусть слагаемые колебания одинаковой частоты различаются амплитудами и фазами: з,= А,сов(ьзг+~р1), з,= А,сов(ьзГ+гр,). (49.19) Результирующее колебание имеет ту же частоту, но новую амплитуду А и новую начальную фазу ~р: з= А сов(ой +~~).
(49. 20) Для нахождения этой амплитуды и фазы учтем, что в случае, если колебания происходят по одной прямой, смещения складываются алгебраически: з=з,+з„нлн сов (~~~ + ~р) А гсов (~~ + э~1) + Ая сов (~~ + ~р2) Данное равенство должно выполняться тождественно, т. е. в любой момент времени. Полагая ьз1= 0 (или и, или 2п и т. д.), 1б получим А созф =А,созф, +А,созф,. Полагая са1=п72 (или Зя72, или бп72 и т, д.), получим А япф= А, япф,+А,япф,.
3. Из последних двух равенств можно найти искомые величины А и ф. Разделив второе равенство на первое, получим А1 53П ф1+ Ас 51а фс А, сааф,+А,саз ф, ' Возведем оба равенства в квадрат и сложим их. Учитывая, что соз*ф+ з!п'ф =1, получим А' = А,'+ А,*+ 2 А,А, (соз ф, соэ ф, + з пз ф, яп ф,), Но выражение в скобках есть косинус разности двух аргументов: соз(ф, — ф,) = созф,созф, + яп ф, з!и ф,. Итак, квадрат искомой амплитуды равен: А' = А,*+ А, *+ 2 А,А, соэ (ф, — ф,).
(49.22) 5 49.6. Векторные диаграммы 1. Амплитуду и начальную фазу результирующего колебания можно вычислить по формулам (49.21) и (49.22). Но можно воспользоваться и графиком (рис. 49.8). Проводят горизонтальную ось. Строят вектор А„составляющий угол ф, с осью. Из конца вектора А, строят вектор А' А„составляющий угол ф, с осью. Тогда модуль вектора А, начало которого совпадает с началом А„а конец — с концом Аг А„и есть искомая амплитуда результи- 44 рующего колебания, а угол ф, который век- Ь тор А составляет с осью, равен искомой начальной фазе. Ау Для доказательства обратимся к чертежу (рис.
49.8). Здесь ОВ =А, созф„ ВС =МР =А,созф„РС = МВ =А,з!пф, и КР = А, яп ф,. Отсюда следует, что 47 В С ОС=А,созф, +Ассов ф„КС =А,з!пф, + Рис. 49.3. +А,япф,. Но (яф =КС/ОС, а по теореме Пифагора(ОК)' (ОС)*+(КС)'. Подставив значения этих величин и произведя соответствующие выкладки, получим искомые выражения (49.21) и (49.22). 2. Изложенный метод графического сложения колебаний называется методом векторных диаграмм. Он крайне удобен, особенно в тех случаях, когда необходимо сложить несколько колебаний и аналитический расчет оказывается довольно сложным. 17 Для примера рассмотрим такую задачу: найти результирующую амплитуду, возникающую при сложении А1 колебаний с одинаковой амплитудой и частотой, фазы которых образуют арифметическую прогрессию: з, =- А соз (ы1+ <р), сч =- А соз (сп1+ у -(- а), з, = А соз (сс1+ у -(- 2а), ал = А соз ~сс1+ <р+ (А( — 1) а].
Векторная диаграмма для А! = 5 построена на рис. 49.9. Поскольку она представляет собой кусок правильной ломаной, то вокруг нее можно построить окружность радиуса В. Из чертежа видно, что амплитуда результирующего колебания дя В = 2 й з!и (($12). Из треугольника МОК имеем: )1 = А 2 яп (а12) ' .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
