yavor2 (553175), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Угол р = 2п — А(а, следовательно, I Фа 1 . Аа з!и — =з)и ~п — — ~ =а!и —. 2 (, 2 ) 2 лг Рис. 49.9 Подставив в выражение для результирующей амплитуды, получим окончательно: В А яп (Ма)2) (49.23) яп (а/2) Зто выражение нам потребуется в дальнейшем (957.6). Заметим, что аналитически получить формулу (49.23) довольно трудно, а с по- мощью векторных диаграмм задачу удалось решить, используя несложные геометрические представления. ГЛАВА ао ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ й 50.1.
Сложение колебаний с близкими частотами з,=Асозм,1, з,=Асозы,1. (50.1) 1. Найдем результирующую двух гармонических колебаний, которые несколько различаются по частоте: ы, = е — Ья, ы, = ы+ + ая, причем Лсп(( ы. Для простоты расчета положим, что амплитуды у слагаемых колебаний одинаковы: Результирующее колебание: 8=з,+я»=2Асоз 2 соз 2 — — 2А сов(йсо 1)созЫ. 0»,— «Ь) 1 0»«+м,) 1 Его график изображен на рис. 50.1.
(50.2) 2. Как видно, результирующее колебание не является гармоническим. Однако при условии малой разности частот его можно г Рис, И).1. рассматривать как «почти синусоидальное» колебание с «условным периодом» Т» —— 2пlй (50.3) и с медленно меняющейся «амплитудой» В = )2А сов (Л«» 1) ), (50.4) На рис. 50.1 зта «переменная амплитуда» показана пунктиром. Слово «амплитуда» мы здесь берем в кавычки, так как по первоначальному определению амплитуда — это постоянный множитель у косинуса. Точно так же величина Т, =2пlы может быть названа периодом лишь условнгп это есть промежуток времени между двумя соответствующими нулевыми значениями функции, а ие период в первоначальном смысле этого слова (949.2).
3. П . Периодические изменения «амплитуды» описанного выше вида называются биениями. Период биений (50.5) Т= — = Ьс» и» вЂ” »ь Частота биений равна разности частот слагаемых колебаний: мз — ~1 (50.6) в 50.2. Модулированные колебания 1. Най е д м результат сложения трех гармонических колебаний: з, =Асоз»»1, з,=асоз(«»+»1)г, з»=асов(«» — й)й (507) 19 Учитывая, что соз(о»+»«)/+со»(«« — »«)/=2сози»с созИ, получим после элементарных преобразовании: в=в,+в,+в,=А(1+ — соэ»«С)соз««/. (50.8) 2а Если положить, что»1((«о, а /«=2а/А(1, то график колебания будет иметь вид, изображенный на рис.
50.2. Рис. 50.2. 2. Как видно из чертежа, и в этом случае результирующее колебание можно рассматривать как «почти синусоидальное» колебание с «неременной амплитудой» В = А (1 + й соз И) (50.9) и с «условным периодом» Т, = 2п/о». (50.10) Период изменения «амплитуды» Т =2пЯ. (50.11) Так как по условию»1((о», то Т)) Т,. 3. Колебания, изображенные на рис.
50.2, называются модулированными. Вообще модулированными называются «почти синусоидальные» колебания, происходящие с высокой частотой о», «амплитуда» которых медленно меняется с периодом Т=2п/»1. Высокая частота «о называется несущей частотой, низкая частота»« — частотой модуляции, коэффициент й — глубиной модуляции. Модулированные колебания применяются в радиотехнике для передачи звука нли изображения с помощью электромагнитных волн (2 60.2).
Здесь модуляция производится не синусоидальным, а более сложным сигналом. 20 $50.3. Сложение колебаний с кратными частотами 1. Попытаемся выяснить характер результирующего колебания, возникающего при сложении двух или нескольких гармонических колебаний с кратными частотами. Для примера рассмотрим сложение двух колебаний с круговымн частотами в», = «» и «в» =Зв» и амплитудами А, = А н А, = А /2: А з =- — з(п Зв»1. =г (50.12) в,= Аз1пЫ, Колебание с минимальной частотой называется первой гармоникой (в акустике — основным тоном); колебания с кратными частотами называются высшими гармониками (в акустике — обертонами, от немецкого оЬег — верхний). 2.
Сложение колебаний выполним графически. Для этого следует построить графики слагаемых колебаний, затем измерить для каждого момента времени значения смещений з, и в, н сложить их, пользуясь общим правилом сложения перемеще- Рис. 50 3. Рис. 50 4. ний, т. е. с учетом знака. Как видно из рис. 50.3, в результате сложения гармонических колебаний с кратными частотами возникает периодическое несинусоидальное колебание.
Период сложного колебания совпадает с периодом основного тона (первой гармоники). О частоте сложного колебания вообще нельзя говорить — несинусоидальному колебанию соответствует не одна частота, а набор частот; понятие «частота» имеет смысл только для гармонического колебания.
3. Особенности несинусоидального колебания характеризуются формой его графика, а это, в свою очередь, определяется числом гармоник и соотношениями между их амплитудами, частотами и фазами. Подобрав соответствующие гармоники, можно получить колебания, графики которых будут иметь форму практически любой периодической кривой. Для примера на рис. 50.4 изображены графики колебаний, имеющих один и тот же основной тон, но разные гармоники: а) з,= 2 з!п а(+1,5з1п 2Ы, б) з, = 2 з!п Ы + 3 з1п 2в1+ 1,5 з1п Зыг.
(50.13) $50.4. Разложение Фурье. Спектр 1. В предыдуших параграфах на ряде примеров было показано, что при сложении гармонических колебаний с различными частотами получается несинусоидальное колебание. Возникает вопрос о возможности обратного процесса: существует лн метод, позволяющий разложить некоторое несинусоидальное колебание на слагаемые гармоники? Метод такого разложения предложил в начале Х1Х в.
Жан Фурье. Он показал, что любая периодическая функция Щ с периодом Т может быть разложена на слагаемые гармоники: Щ аь+а, сов(ыг+ ср,) + а,соз(2о?+ срс) + аз сов (За1+ ср,)+... (50.14) Здесь в =2л1Т, а амплитуды и фазы можно вычислить по определенным правилам, которые излагаются в курсах высшей математики. Выражение (50.14) называется разложением функции )'(1) в ряд Фурье, или просто разложением Фурье. Обычно амплитуды довольно быстро убывают с ростом номера гармоники, н на практике можно ограничиться лишь несколькими первыми слагаемыми разложения Фурье.
2. Во многих задачах физики играют роль только амплитуды гармоник, а их фазы, хотя они влияют на форму сложного колебания, оказываются несущественными. Так обстоит, например, дело в том случае, когда иас интересуют не 4 а? А е? столько сами гармоники, сколько их а энергии, которые согласно (49.17) зависят только от амплитуды и частоты и не зависят от фазы. В этом случае нас У будут интересовать лишь частоты сла- Ю ы гаемых колебаний и амплитуды, соотеи ага а~ Гш,1!и ветствующие этим частотам. РазложеРис. 50.5. ние несинусоидального колебания на синусоидальные гармоники (без учета их фаз) называется спектральным рааеожением. Диаграмма, изображающая зависимость амплитуды каждой гармоники от ее частоты, называется спеилром несинусоидального колебания.
3. На рис. 50.5 изображены спектры колебаний, разложение которых в ряд Фурье выражается формулами (50.13), а графики изображены на рнс. 50.4. Буквами а н б на рисунках н в формуле обозначены одинаковые колебания. Рекомендуем читателю построить спектр модулированного колебания н биений. Заметим, что знание спектра некоторого несннусондального колебания еще не позволяет определить форму этого колебания н построить его график. Однако часто это н не нужно. В отличие от осциллографа, который реагирует на мгновенные значения исследуемого колебания, регнстрнрующая аппаратура, часто применяемая прн нсследованнн колебательных процессов, является весьма инерционной. Поэтому данные приборы реагируют лишь на изменения среднего значения энергии за промежуток времени, значнтельно превосходящий период колебаний.
В этом случае знание спектра оказывается вполне достаточным, нбо с его помощью можно определить энергию каждой гармоники н тем самым — среднюю энергию суммарного колебания. Именно поэтому спектральное разложение играет исключительно важную роль в учении о колебаннях. ГЛАВА 51 СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ й 51,1. Пружинный маятник 1. Колебательная система совершает свободна колебания, если ее вывести нз состояния равновесия н далее предоставить действню внутренних снл. Со свойствами свободных колебаний ознакомнмся Рис. 51.1.
Рис. 51.2. на примере пружинного маятника. Его основными частями является груз массой га н пружина с коэффициентом упругости й, соеднненные так, как это показано на рнс. 51.1. Осциллограмма колебания записывается на равномерно движущейся ленте с помощью пера, прнкрепленного к грузу. Опыт показывает, что свободные колебания пружинного маятника затухают — отклонения груза от положения равновесия со временем убывают (рнс, 51.2). Поскольку затухающие колебания не являются гармоническими, то к ним понятия об амплитуде и периоде в их первоначальном смысле неприменимы. Однако при небольшом затухании, когда сила трении много меньше силы упругости, можно затухающие колебания рассматривать как почти синусондальные колебания с «убывающей амплитудой» и «условным периодом» Т,.
Убывающая амплитуда показана на рис. 51.2 пунктиром. Опыт показывает, что значения убывающей амплитуды через равные промежутки времени образуют геометрическую прогрессию. Условный период есть промежуток времени между двумя последовательными максимальными отклонениями груза от положения равновесия в одну и ту же сторону. 2.
Оказывается, что хотя трение сильно влияет на характер убывания амплитуды, оно практически не влияет на период колебаний. Поэтому «пернод» затухающих колебаний Т, можно вычислить по формуле (49.13), которая служит для вычисления собственного периода гармонического осциллятора (если только затухание не очень вели ко) . Таким образом, при небольшом затухании «период> и «частота» свободных колебаний практически совпадают с собственным периодом и собственной частотой гармонического осциллятора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
