yavor2 (553175), страница 5
Текст из файла (страница 5)
9 51.2. Степень затухания. Добротность 1. Определим, что нужно понимать под сильным или слабым затуханием колебаний. Для этого введем количественную характеристику затухания колебаний в системе — ее добротность. Причиной затухания колебаний в пружинном маятнике является сила трения и связанная с трением диссипация энергии — превращение энергии колебания во внутреннюю (см.
з 19.2). Отсюда следует, что чем меньше трение, тем слабее затухание. Но что значит «малое трение»2 С чем его сравнить? Поскольку основной причиной, вызывающей колебание, является упругость пружины, то разумно сравнить силу трения с силой упругости. Заметим, что обе эти силы являются переменными величинами, поэтому сравнивать мы будем максимальное значение силы упругости с максимальным значением силы трения. Максимальное значение силы упругости г"У"Р = йА, где А — амплитуда, й — коэффициент упругости. При относительно неболыцих скоростях, которые имеют место при колебаниях груза, сила трения пропорциональна скорости (см.
з 11.8): Е'„Р =Ю„=)»ь»»А, где ю, — собственная круговая частота, 1У„=- р»,А — амплитуда скорости (49.6), й— коэффициент трения. 2. Доброаиосп»ью колебательной системы 1;1 называется число, показывающее, во сколько раз сила упругости больше силы трения: прп» рур и«»» и (51.
1) Учитывая, что й =лнэ, '(49.12), получим ~~~~>в г ~~ = / = й (5!.2) Это и есть потеря энергии за четверть периода. Отношение начальной энергии к величине этой потери: %' то4А' 2 тю„ ~~~ т~~~ ~'~~о'~ На основании (51,3) можно дать другое определение этой величине: добротность колебательной системы равна отношению ее полчой энергии к величине потери энергии за четверть периода за счет ее диссипации, 4. Оценим время т, в течение которого колебания практически затухнут. Оно равно энергии системы В', деленной на средйюю мошность потерь Р„= Л !Р/Л/. Полагая й/ = Т,/4, а потерю энергии согласно (5!.3) ЛЮ' = !Р/ф получим 4Ф' 4Ж' 0>о !Розе Р ЯТ0 0 2л Итак, вг т= — ж —. Рср мо (51.4) 9 51.3.
Математический маятник 1. Математическим маятником называется колебательная система, которая представляет собой материальную точку, подвешенную на нерастяжн- Р мой нити длиной /. Практически это шарик, раз- МЕРЫ КОтОрОГО ЗНаЧИтЕЛЬНО МЕНЬШЕ ДЛИНЫ НИТИ, а ряс. 5!.3. масса значительно больше массы нити (рис. 51.3). Будем рассматривать малые колебания„когда угол О не превосходит нескольких градусов. В этом случае з!и 9 ж О, а дуга А и хорда а практически совпадают, так что в первом приближении можно счишть движение груза прямолинейным, а колебания — гармоничес- Чем меньше сила трения по сравнению с силой упругости, тем слабее затухают колебания. Таким образом, с ростом добротности колебательной системы свободные колебания затухают слабее и становятся все более близкими к гармоническим.
3. Покажем, что добротность колебательной системы является мерой относительной диссипации энергии. Для этого сравним энергию осциллятора (49.17) с потерей энергии на трение за четверть периода. За это время груз проходит путь, равный одной амплитуде, и сила трения совершает работу: кими. Добротность математического маятника очень велика, вследствие чего его колебания затухают слабо, в чем можно убедиться, записав этн колебания (см. рис. 49.3, стр.
13; маятник изготовлен в виде воронки с узким отверстием, в которую насыпан мелкий песок; запись колебания ведется на лист бумаги, смазанный клеем или смоченный водой). 2. Из условия баланса энергии вычислим собственную частоту и период колебаний математического маятника.
Максимальное значение потенциальной энергии У„= таей = тф (1 — соз О) = 2тй1 шп* — . .,в При малых углах тл10~ У = —. 2 Максимальная кинетическая энергия: м мяло М 2 2 где в, — собственная круговая частота, А — амплитуда. Из рнс. 51.3 видно, что А =18. Следовательно, тпв'е3 К = —. 2 Если затуханием пренебречь, то согласно закону сохранения энергии средние (и максимальные) значения кинетической и потенциальной энергии должны совпадать.
Приравняв оба выражения и проделав соответствующие сокращения, получим м, =)~'3Д. (51.5) 3. Период колебаний математического маятника Т,=2п)гЯ. (51.6) Мы видим, что период не зависит ни от массы маятника, ни от амплитуды колебаний (при малых углах отклонения). Формулой (51.6) можно воспользоваться для определения ускорения силы тяжести в той или иной точке Земли, поскольку длину маятника и период его колебаний можно измерить весьма точно.
й 51.4. Физический маятник 1. Физическим маятником называется любое твердое тело, способное колебаться в одной плоскости относительно некоторой точки подвеса, расположенной на расстоянии 1 от центра тяжести (рис. 51.4). Если вывести маятник из положения равновесия и предоста. вить ему возможность далее колебаться под действием силы тяжести„то он станет совершать свободные колебания, которые сравнительно слабо затухают.
Рассуждения, аналогичные тем, с помощью которых были найдены выражения для частоты и периода математического маятника, позволят найти соответствующие выражения для физического маятника. Аналогично тому, как амплитуда скорости выражается через амплитуду смещения (см. (49.5)), имеем для амплитуды угловой скорости Й„= в,О. Максимальное значение кинетической энергии (см. $22.2) выразится так: 71)м 7ы18 ° 2 " 2 Поскольку амплитудные значения потенциальной и кинетической энергий равны„имеем — пгй(8 = — Уо,'О, 1 л 1 2 2 откуда следует ы.
=ЬГтИН~. Период свободных колебаний физического маятника Т, = 2п!гь, = 2л ~/,~та1. (51.7) 2. Заметим, что выражение (51.6) вытекаег из (51.7) как частный случай. В самом деле, момент инерции математического маятника 7 =т(г (см. й 22.2). Подставив в (51.7) это значение момента ИНЕРЦИИ, ПОЛУЧИМ ВЫРажЕНИЕ ДЛЯ ПЕРИОДа Ма- Р„с. 5К4. тематического маятника. 3. Часто период физического маятника вычисляют по формуле Т, = 2п )~ Йд, (51.8) которая похожа на выражение для периода математического маятника.
В этой формуле величина Е, =,7/гп1 (51.9) называется приведенной длиной физического маятника. Приведенная длина физического маятника равна длине нити у такого математического маятника, который имеет одинаковый период с физическим. $51.5. Колебательный контур 1. Электрическая цепь, состоящая из катушки с индуктивностью 1., конденсатора с емкостью С н резистора с сопротивлением )г', называется колебательным контуром (рис. 51.5). В сопротивление )с входит также сопротивление обмотки катушки.
Опыт показывает, по закону д=д„созы,1, (51.10) то ток в цепи будет меняться по закону (ср. с (49.1) и (49.2)): 1 = — д„гз, з1п ювГ = l,„соз (о,( + — ) . (51,11) Именно этот сдвиг фаз и наблюдается на экране осциллографа. Амплитудные значения заряда и тока оказываются связанными соотношением 7„= О)04, (51.12) которое аналогично соотношению (49.5) между амплитудами сме- щения и скорости. $51.6. Энергия, собственная частота и добротность контура 1. Согласно (37.23) энергия электрического поля в конденсаторе !Р"" = д'!2С, а энергия магнитного поля катушки по (43.!9) равна К""" = БЮ2. Так как максимальному значению тока соответствует нулевое значение заряда и наоборот, то такое же соотношение оказывается справедливым для энергии электрического и магнитного полей.
Отсюда следует, что в колебательном контуре происходит периодический процесс преобразования энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки и наоборот. Это вполне аналогично процессу преобразования энергии в пружинном маятнике. 2.
Максимальное значение энергии поля в конденсаторе Чу," ,=- д*(2С. (51.13) Аналогично для магнитного поля катушки В""'"" = Ы„')2 = 1,д„'о,',(2. (5! .14) Приравнивая этн величины и произведя соответствующие сокращения, получим выражение для собственной круговой частоты колебаний в контуре: ы, = ~'ИС. (5!.15) Собственный период То=-2п)~ АС. (5! . 16) 3. В предыдущих расчетах мы пренебрегали диссипацией энергии. Между тем, колебания в контуре затухают, поскольку часть энергии необратимо превращается в джоулево тепло. Для вычисления добротности следует сравнить тепловые потери с полной энергией контура.
Однако можно, используя аналогию с пружинным маятником 6 51.2), найти отношение амплитуды напряжения па конденсаторе к амплитуде падения напряжения на активном сопротивлении „1С> п„о 1 1 гй = „1П1 =СИ„ы,С)(= г У' С (51.17) я В контуре с малой добротностью колебания вообще не возникнут. В самом деле, если тепловые потери окажутся одного порядка с начальной энергией конденсатора, то вся энергия при разряде превратится в джоулево тепло, энергия магнитного поля окажется равной нулю и перезарядки конденсатора не произойдет. Таким образом, если добротность контура окажется близкой к единице, то тепловые потери окажутся одного порядка с энергией контура, и разряд конденсатора через катушку и резистор будет происходить почти так же, как разряд через резистор без катушки (см. 9 39.8), $51.7. Единый подход к изучению колебаний 1.
Если сравнить процессы, происходящие в пружинном маятнике и в колебательном контуре, то обнаруживается поразительная аналогия между этими явлениями, которые на первый взгляд не имеют между собой ничего общего. В самом деле, что общего может быть между движением груза под действием деформированной пружины и движением электронов при перезарядке конденсатора? С этой точки зрения, конечно, мы имеем дело с разными явлениями, которые должны как будто и рассматриваться в разных разделах курса: явления в пружинном маятнике — в механике, а в колебательном контуре — в электромагнетизме.
Однако если поставить вопрос иначе, обратив основное внимание не на то, чпю колеблется, а на то, почему н как колеблется, то сразу окажется, что физика колебательного процесса в обеих системах одна и та же, что процессы эти описываются одинаковыми понятиями и одинаковыми уравнениями. Все это приводит к мысли о целесообразности использования единого подхода к изучению колебаний различной физической природы, а также к широкому применению аналогий. Идея о применении аналогий при изучении колебаний не нове. Еше Гюйгенс и Ломоносов использовэли аналогию между звуковыми н световымн колебзниями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
