ivlev-gdz-11-2001 (546285), страница 8
Текст из файла (страница 8)
S 2 = 8π − ⎜ +⎝ 4π342π +4⎞4 S13 = 6π + 4 = 3π + 2 .=⎟ = 6π − .4 18π − 4 9π − 23⎠3 S6π −23π3π23⎛1cos 2 x cos 2 x ⎞⎛ 1 − cos 2 x ⎞4∫ sin xdx = ∫ ⎜ 2 ⎟ = ∫ ⎜⎜ 4 − 2 + 4 ⎟⎟ dx =⎠00⎝0⎝⎠2.2π3π3 3cos 2 x cos 4 x ⎞⎛ 1 cos 2 x 1 cos 4 x ⎞⎛= ∫⎜ −+ ++⎟ dx = ∫ ⎜ −⎟ dx =4288828 ⎠⎝⎠⎝00πsin 2 x sin 4 x ⎞ 3 π33 8π − 9 3⎛3.+−== ⎜ x−⎟ = −432 ⎠ 0 8 86464⎝8С–9⎛1. Поперчное сечение – прямоугольник со сторонами ⎜ a −⎝bx ⎞⎛⎜b − ⎟ .h⎠⎝Такчтоплощадь(a − c) x ⎞ и⎟h⎠⎛( a − c ) x ⎞ ⎛ b − bx ⎞ =S ( x) = ⎜ a −⎟⎜⎟hh⎠⎝⎠⎝⎛ b ( a − c ) ab ⎞ x 2= ab − x ⎜+ ⎟ + 2 b ( a − c ) . Тогда:hh ⎠ h⎝2h⎛⎞xxV = ∫ ⎜ ab − ( 2ab − bc ) + 2 ( ab − bc ) ⎟ dx =⎜⎟hh0⎝⎠h⎛⎞x2x3hh= ⎜⎜ abx − ( 2ab − bc ) + 2 ( ab − bc ) ⎟⎟ = abh − ( 2ab − bc ) + ( ab − bc ) =h223h3⎝⎠0=hbh( 6ab − 6ab + 3bc + 2ab − 2bc ) = ( 2a + c ) .66632.ПустьвысотацилиндраН.Тогдаплотностьцилиндраmm.
Рассмотрим часть цилиндра, ограниченную цилиндg= =v πR 2 Hрическими поверхностями радиусов x и x+∆x. Тогда объем этой частиприближенно равен 2πxH∆x, а массаская энергия Wx ≈mv2≈x x2mx3∆xR42mx∆xRx, кинетичеR, скорость2R. Так что W = ∫mx3dxR04=mx 44RR=40m.4С–101. Равенство неверно.2⎛ 3 −1⎞9−5 34−2 3 2− 3=, что не равно.⎟⎟ =+++31423239+5 3⎝⎠Так как ⎜⎜2.=Т.о.
a + b =3.a −b=6a−6b(a− b63=3(a2 − a2 − b4) =a+b.a + a2 − ba − a2 − b, что и требовалось доказать.+22)(a+ b6a− b=4.⎞⎟ =⎟⎟⎠2⎛ a + a 2 − b ⎞⎛ a − a 2 − b ⎞ a − a 2 − ba+ a −b⎟⎜⎟++2 ⎜=⎜⎟⎜⎟2222⎝⎠⎝⎠=a+2642⎛22⎜ a+ a −b + a− a −b22⎜⎜⎝3()=(a+ b1992 − 1991 =)(a− b6a−6b636( 1992)(3a + 6 ab + 3 b6a− b)3a + ab + b .(3)() −(33)3319922+ 3 1992 ⋅ 1991 + 1992199132)=11<=1992 + 3 1992 ⋅ 1991 + 3 1991 3 19912 + 3 1991 ⋅ 1990 + 3 19901991 − 1990=3= 3 1991 − 3 1990.1991 + 3 1991 ⋅ 1990 + 3 1990)=То33есть1992 − 3 1991 < 3 1991 − 3 1990 ,такчто1992 + 3 1990 < 2 3 1991С–112+ 3 ⋅ 2+ 2+ 3 ⋅ 2+ 2+ 2+ 3 ⋅ 2− 2+ 2+ 3 =1.)(= 2+ 3 ⋅ 2+ 2+ 3 ⋅ 4− 2+ 2+ 3 =()= 2+ 3 ⋅ 2+ 2+ 3 ⋅ 2− 2+ 3 = 2+ 3 ⋅ 4− 2+ 3 == 2 + 3 ⋅ 2 − 3 = 4 − 3 = 1 = 1.2.а) х–1= 7( 3 x − 1) ; ( 3 x − 1)( 3 x 2 + 3 x + 1 − 7) = 0; ( 3 x − 1)( 3 x 2 + 3 x − 6) =0;3x = t ; (t–1)(t2+t–6)=0; (t–1)(t–2)(t+3)=0; t1=1, t2=2, t3=–3, x1=1, x2=8,x3=–27;б)3( x + 1)2 − 2 3 x 2 − 1 = 33 ( x − 1)2 ; x=1 – не является корнем уравнения,2x +1⎛ x +1⎞⎛ x +1⎞=t;⎜⎟ − 23 ⎜⎟ =3; 3x −1⎝ x −1⎠⎝ x −1⎠x +1x +1t2–2t–3=0; t1=–1 и t2=3;= −1 и= 27 ; x+1=1–x и x+1=27x–27;x −1x −114x1=0 и x2 = .13так что поделим на3( x − 1)2 :3⎛ 4 a 3 − 4 b3⎞⎛ a⎞⎜− 4 a − 4 b ⎟ ⎜⎜ 4 + 1⎟⎟ =⎜ a− b⎟⎝ b⎠⎝⎠3.
a)⎛⎜=⎜⎜⎝(4a−4b(4)(a−4ba + 4 ab + b)(4a+4b))−()⎞⎞⎟ ⎛4 a⋅⎜+ 1⎟⎟ =4a + 4 b ⎟⎟ ⎜⎝ b⎠⎠4a+4b2()444⎛ a + 4 ab + b − a − 2 4 ab − b ⎞ ⎛ 4 a + 4 b ⎞ − ab a + b= ⎜⎜⋅==⎟⎟ ⎜⎜ 4⎟44a+4bb ⎟⎠a +4b ⋅4b⎝⎠ ⎝()4= − a при b>0 и a≠b;б)a2 + a 8 + 2 + a2 − a 8 + 2 =(a + 2 )2+(a − 2 )2=⎧2a, если a ≥ 2,⎪= a + 2 + a − 2 = ⎨2 2, при − 2 < a < 2,⎪−2a, при a ≤ − 2.⎩65C–1231.10 − x − 3 3 − x = 1 ;33− x = b ,10 − x = a , тогда⎧a = 1 + b,⎧a − b = 1,⎧a − b = 1,⎧a = 1 + b,⎨a 3 − b3 = 7 ; ⎨a 2 + ab + b 2 = 7 ; ⎨ 1 + b 2 + b 1 + b + b 2 = 7 ; ⎨b 2 + b − 2 = 7 ;()()⎩⎩⎩⎩⎧a1 = 2,⎨b = 1 и⎩13пусть{{⎧a2 = −1, 10 − x = 8, 10 − x = −1,⎨b = −2 ; 3 − x = 1 и 3 − x = −8 ; x1=2 и x2=11.⎩ 2⎧2.
⎨ x x + 3 y x = 36, ; сложим и вычтем уравнения;⎩ y y + 3 x y = 28((⎧⎧ x x + 3 x y + 3 y x + y y = 64, ⎪; ⎨⎨⎩ x x − 3x y + 3 y x − y y = 8⎪⎩)y)x+ yx−33= 64, ⎧ x + y = 4,;⎨;⎩ x− y =2=8{⎧9,сложим и вычтем уравнения; ⎨ x = 3, ; xy == 1.⎩ y =1C–1333111 ⎞1 ⎞⎛ 1 2 13⎛ 1 2 133322⎜ 2 ⋅3 + 2 ⋅3 ⎟ + ⎜ 2 ⋅3 − 2 ⋅3 ⎟ =1111⎜⎟ ⎜⎟2 6 +3 62 6 −3 6⎝⎠ ⎝⎠1.3311⎛ 13 13 ⎛ 1 6⎛ 13 13 ⎛ 1 66⎞⎞6⎞⎞⎜ 2 ⋅3 ⎜2 + 3 ⎟ ⎟ ⎜ 2 ⋅3 ⎜2 − 3 ⎟ ⎟⎝⎠⎝⎠ ⎟ = 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 3 = 12.⎟ +⎜= ⎜1111⎜⎟⎜⎟66662 +32 −3⎜⎟ ⎜⎟⎝⎠ ⎝⎠222⎛ m2 + n2 ⎞22 ⎛ m + n + 2mn ⎞2 (m + n);⎟⎟ + a = a ⎜⎜⎟⎟ = a2mn2mn⎝ 2mn ⎠⎝⎠2.
x 2 + a 2 = a 2 ⎜⎜⎛ m2 + n2 ⎞⎛ m 2 + n 2 − 2mn ⎞( n − m )2 .x2 − a2 = a2 ⎜+ a2 = a2 ⎜= a2⎟⎟⎜ 2mn ⎟⎜⎟2mn2mn⎝⎠⎝⎠Так как a > 0 и n > m > 0, то(x2− a2)−12Далее(x212 − 2(x + a )662=(x2+ a2)−12=2mn, aa (m + n)2mn.a ( n − m)+ a2)−122(+ x2 − a212 − 2− (x − a )=)−12=2mn ⎛ 11 ⎞2n 2mn+, а⎜⎟=a ⎝ n + m n − m ⎠ a n2 − m2(2mn ⎛ 11 ⎞ −2m 2mn−.⎜⎟=a ⎝ n + m n − m ⎠ a(n2 − m 2 ))11⎛ 2−−⎜ ( x + a2 ) 2 + ( x2 − a2 ) 2Так что ⎜11⎜ ( x2 + a 2 )− 2 − ( x 2 − a 2 )− 2⎝⎞⎟⎟⎟⎠−2⎛ 2n 2mn ⎞⎜⎟22a(n − m ) ⎟=⎜⎜ −2m( 2mn ) ⎟⎜⎜⎟⎟22⎝ a(n − m ) ⎠−222m⎛ m⎞= ⎜− ⎟ = 2 .nn⎝⎠C–141. y=lglg10x+1; y=lg((x+1)lg10)=lg(x+1).(7 − 4 3 )3,82.=( 49 − 48)3,8=(( 7 − 4 3 )( 7 + 4 3 )) =(7 + 4 3 )(= 7+4 3(7 − 4 3 )(7 − 4 3 ) < (7 + 4 3 )3,83,8)−3,8−3,5.3,8Такчто.3.
y = 22 x − 2 x + 3 + 15; 22x–2x+3+15≥0; 2x=t;t2–8t+15≥0; t≤3 и t≥5; 2x≤3 и 2x≥5; D(y)=(–∞;log23]∪[log25;∞).E(y)=[0;∞).C–151. a) 2 x3−11− x⎛1⎞=⎜ ⎟⎝2⎠; 2x3−1= 2 x−1 ; x3 – 1 = x – 1; (x – 1)(x2 + x + 1 – 1) = 0;x(x – 1)(x + 1) = 0; x1 = 0, x2 = 1, x3 = –1;б) 9 x − 24⋅9x−12x+12=2= 18 ⋅ 2x+x−7212;− 32 x −1; 3 ⋅ 32 x −1 + 32 x −1 = 8 ⋅ 2(29)22. a) 2,5x − 9 x +14x −3> 1;x−12x+12+2x+12; 4 ⋅ 32 x −1 = 9 ⋅ 2x+12;= 2 ; x − 1 = 1; x=1,5.92( x − 2 )( x − 7 ) > 0; x∈(2;3)∪(7;∞);x 2 − 9 x + 14> 0;x−3( x − 3)б) x2⋅2x+1>x2+2x; x2(2x–1)–(2x–1)>0; (x2–1)(2x–1)>0; x∈(–1;0)∪(1;∞).C–161.
a) 4x+12+ 24x()+ 14 = 9 2 x + 1 x ; 2⋅(22x+2+2–2x)+10=9(2x+2–x); 2x+2–x=t;22t –9t+10=0; t1=2, t2 = 5 2 ; 2 +2 =2 и 2 x + 2− x = 5 2 ; 2x=y; y2–2y+1=0 и2y2–5y+2=0; y=1, y=2 и y = 1 2 ;x1=0, x2=1, x3=–1.2x–x67(б)(5+2 65−2 6)x) +(x5−2 6)x= 10 ;(пустьx⎛ 5−2 6 ⋅ 5+2 6 ⎞⎟ ==⎜⎜⎟5+2 6⎝⎠(15+2 65+2 6)x=)x=y,1;yy+тогда1= 10;y2y –10y+1=0; y1 = 5 + 2 6 , y2 = 5 − 2 6 ; x1=2, x2=–2.( )cos x− cos xsin x2. 3sin x > 1 3>3; sinx > –|cosx|; sinx + |cosx| > 0;; 35π⎛ π⎞x ∈ ⎜ − + 2πk ;+ 2πk ⎟ , k∈Z.4⎝ 4⎠C–171. lg56=lg7⋅23=lg7+3lg2=3a+b1+2. ( x1+12 log x413log+82x21+12+1) =( x112log xlog 22+2x11+ log x 2+1) 2 = ( x+22 log 2 x1+1) 2 =1= ( x ⋅ 2 + x 2 + 1) 2 = (( x + 1) 2 ) 2 = x + 1.3.
log 2 3 > log 2 2 3 = 1,5 = log3 3 3 > log3 5. То есть log23>log35.C–181. См. график.2. lgtg1°+lgtg2°+…+lgtg88°+lgtg89°==lg(tg1°⋅tg89°)+lg(tg2°·tg88°)+…++lg(tg44°⋅tg46°)+lgtg45°==lg(ctg1°⋅tg1°)+lg(tg2°⋅ctg2°)+…++lg(tg44°⋅ctg44°)+lg1=lg1+lg1+…+lg1==0+0+…+0=0.3. y = lg 2 x − 4lg x + 3; lgx=t; t2–4t+3≥0; t≤1 и t≥3; lgx≤1 и lgx≥3;D(y)=(0;10]∪[1000;∞).C–19⎧{⎪ x + 2 > 0,⎧ x > 0, x ≠ 1, x > 0, x ≠ 1,1.a) logx(x+2)=2; ⎨ x > 0, x ≠ 1,; ⎨ 2; x=2.;x − x − 2 = 0 x = −1 и x = 22⎩⎪⎩x + 2 = xб) log 1 x = x − 4; x=34–x; Заметим, что x – возрастает, а 34–x– убывает,3так что уравнение не может иметь более одного корня.
Заметим также,что x=3 – корень. Так что решение уравнения x=3.68()()2. a) lg ( x − 1) + lg ( x − 3) < lg 3 2 x − 3 ; lg ( ( x − 1)( x − 3) ) < lg 3 2 x − 3 ;⎧ x − 1 > 0,⎪⎪ x − 3 > 0,⎨ 3 x − 3 > 0,⎪ 22x − 4 x + 3 < 3 x − 3;2⎩⎪⎧ x > 1,⎪ x > 3,x > 3,⎨ x > 2,x − 4 )( 2 x − 3) < 0;(⎪ 2⎩2 x − 11x + 12 < 0;{{1,5x ><3,x < 4;x∈(3;4);б) 21− x− x lg x > 0; Область определения x∈(0;1]. Но 2xlgx<0 при x∈(0;1]. Так что 21− x1− x>0, а− x lg x > 0 при всех x∈(0;1].C–201. a) logx+1(x–0,5)=logx–0,5(x+1); log x +1 ( x − 0,5 ) =logx +11;( x − 0,5)logx+1(x–0,5)=1 и logx+1(x–0,5)=–1;⎧⎪ x − 0,5 > 0,⎧⎪ x − 0,5 > 0,⎪⎨ x + 1 > 0, x + 1 ≠ 1, и ⎨ x + 1 > 0, x + 1 ≠ 1,; первая система решения не1⎪⎩ x + 1 = x − 0,5⎪⎪⎩ x − 0,5 = x + 1⎧ x > 0,5,⎧ x > 0,5,⎧ x > 0,5,имеет; ⎨ 2⎨2 x 2 + x − 3 = 0; ⎨ x = 1 и x = − 3 ; x=1;x0,5x0,51;+−=⎩⎩2⎩б)11 2− log x + = − log x .1133 3881) log 1 x ≤ 1 3 , т.е.
1 3 − log 1 x + 1 3 = 2 3 − log 1 x , верно для всех888x≥ 1 ;212)< log x < 2 , т.е. 1 < x < 1 ;133428log18log18x − 1 + 1 = 2 − log x ;13338x = 1 , x = 1 – не входит в ( 1 ; 1 ) ;234 23) log 1 x ≥821 1212, то есть 0 < x ≤ ; log 1 x − + = log 1 x − ; 0 = − – не4333 3388верно.
Значит x ∈ [ 1 2 ; ∞).2. a) log22x+log2x2≤–1; log22x+2log2x≤–1; log2x=t; t2+2t+1≤0; (t+1)2≤0;t=–1; log2x=–1; x=0,5;б) log x 5 x < − log x 5; logx5=y;691 1+ y < − y;2 2⎧ 1 + 1 y ≥ 0,⎪ 2 2⎨ − y ≥ 0,⎪ 1 + 1 y < y2;⎩ 2 2⎧ y ≥ −1,⎪⎨ y ≤ 0,2⎩⎪2 y − y − 1 < 0;⎧ y ≥ −1,1⎪− < y ≤ −1;⎨ y ≤ 0,⎪− 1 < y < 1; 2⎩ 21− < log 5 ≤ −1;x211 111) 0<x<1:>5≥ ;<x< ;x 255x2) x>1:11⎛ 1 1⎤< 5 < – неверно ни при каких x>1. Значит x ∈ ⎜ ; ⎥ .xx⎝ 25 5 ⎦С–21⎧⎪ x 2 = 1 + 6log y,4; решаем второе уравнение: 2x=t; 2t+yt–y2=0;22 x +1x⎪⎩ y = y ⋅ 2 + 2а) ⎨t=− y ± 3yyxx+1; t1=–y, t = , то есть y=–2 или y=2 , но y>0, так что242x +1⎧⎪ y = 2 x +1 ,⎧ y = 2 x +1 ,⎧ x = 1, ⎧ x2 = 4,⎧и; ⎨ 1; ⎨ y2= 2 ,⎨ x 2 = 1 + 3log y ; ⎨ 2y = 1 ⎨ y = 32.=++x13x1xx−−=340()⎪⎩⎩⎩ 1⎩ 2⎩2б)⎧y +1⎪ 2x + 1 2= 9, ; решаем⎨⎪ x + y2 = x + y⎩()второеуравнение;x + y2 = x + y ;x+y2=x2+y2+2xy; x(x+2y–1)=0; x=0 или x=1–2y; при x=0: (20+1)2y+1=9;991–2yy+1y= ; 1 + y = log ; y=2log23–2; при x=1–2y: (2 +1)2 =9; 2 =t;2 22411⎛2⎞2yy+ 2t = 9; 2t –9t+4=0; t1=4; t = ; 2 =4 и 2 = ; y1=2 и⎜ 2 + 1⎟ 2t = 9;2t22⎝t⎠2y +1y2=–1; x1=–3 а x2=3; Но пара (2;–3) не проходит, так как x+y должнобыть больше нуля.
Так что (0;2log32–2) и (3;–1).C–221. а) не обратима, так как y(–1)=y(1)=–2;б) не обратима, так как это непрерывная функция и y(–3)<0 a y(0)>0значит найдется x1<0, что y(x1)=0, ноy(1)=0=y(x1). Значит не обратима;в) Обратима, так как значение y в различныхточках – различны;г) Обратима, так как значение y в различныхточках различны.2. Может: см. график.70С–231. f ′( х) = x′e x2−3 x+ x ⋅ (e x2−3 x222)′ = e x −3 x + x ⋅ (2 x − 3)e x −3 x = e x − 3 x (2х2–3х+1).f'(x)=0 при x=1 и x = 1 2 .
f'(x)>0 при x < 1 2 и x>1, f'(x)<0 при1 < x < 1, так что x = 1, x = 1 .minmax22log(x2)− 4 x +12.y=3 3;y=x2–4x+12x –4x+1>0 (см. график).приln 2 ln 3и. Для функции231ln x−ln x2xx = 2 − ln x .: f '( x ) =f ( x) =xxx x3. Сравнимf'(x)>0 при 0<x<e2. Так что f(x) – возрастаетпри 0<x<e2, так что f(2)<f(3), то естьили ln 23< ln 32, значит 23ln 2 ln 3<, то есть233 ln 2 < 2 ln 3< 3 2.24. f ( x ) = ( 2 x − 1) 2 xС–241. а)2−x. Первообразная F ( x ) =f'(x)=(log32(x3+cosx))'=2log3(x3+cosx)⋅(log3(x3+cosx))'=(2log x3 + cos x3=(3ln 3 x + cos x′())б) f ′ ( x ) = ln sin x 2 =2.3∫02x − x+C .ln 22x2x +1()⋅(()()32′ 2log3 x + cos x 3x − sin xx3 + cos x =;ln 3 ⋅ x3 + cos x)()′(sin x 2 )1 cos x2 = 1 ctg x .= 222sin xsin x22)dx = ln x 2 + 130() (/)/= ln10 − ln1 = ln10 ; f ' ( x ) = 1,5ln 2 x − ln 3 x =3ln x2= 3ln x ⋅ 1 − 3ln x ⋅ 1 =(1 − ln x ) ; f'(x)=0 при x=1 и x=e.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
