ivlev-gdz-11-2001 (546285), страница 12
Текст из файла (страница 12)
а) у′ = (2x4 – 3 x(3)1⎞2⎛+ ⎜ 27 − ⎟ (x – 3) = 26 x – 55.33⎠⎝′8⎞8⎛3. Скорость V(t) = (x(t))′ = ⎜ 4t 4 − ⎟ = 16t 3 + 2 , при t = 2 получаем,t⎠t⎝8что V(2) = (16 ⋅ 23 + 2 )м/с= (16 ⋅ 8 + 2)м/с = 130 м/с.2ПС–121. f′(x) = (x2 + x)′ = 2x + 1; g′(x) = (lnx)′ =11 2x2 + x − 1≤ 0;; 2x + 1 ≤ ;xxx( x + 1)( x − 0,5)≤ 0 ; x ∈ (–∞; –1] ∪ (0; 0,5], одx–нако, функция g(x) = lnx–++имеет D(x) = (0; +∞), следовательно, x ∈ (0;–100,50,5].2.
f′(x) = (–x3 + 3x + 1)′ = –3x2 + 3; f′(x) = 0 при –3x2 + 3 = 0; x = ±1;x95xf′(x)f(x)(–∞; –1)–xf′(x)f(x)(–1; 1)+–10–1min103max(1; +∞)–ПС–131. f′(x) = (3x3 – x + 1)′ = 9x2 – 1; f′(x) = 0 при 9x2 – 1 = 0; x2 =(f −1f(–2) = –3 ⋅ 8 + 2 + 1 = –21;311; x =± ;93) = −3 ⋅ 1 27 + 13 + 1 = 1 2 9 ;1 17⎛1⎞− + 1 = ; f(3) = 3 ⋅ 27 – 3 + 1 = 79, следовательно:f ⎜ ⎟ = 3⋅27 39⎝3⎠min f ( x) = f(–2) = –21; max f ( x ) = f(3) = 79.[ −2;3][ −2;3]12.
Объем воронки V(R) = πR 2 l 2 − R 2 , где R — радиус основания3′⎛1⎞воронки, а l — ее образующая. V′(R) = ⎜ πR 2 l 2 − R 2 ⎟ =⎝3⎠=31 ⎛R22π ⎜ 2R l − R −223 ⎜⎝l −R⎞223⎟ . V′(R) = 0, при 2R(l – R ) – R = 0;⎟⎠R(2l2 – 3R2) = 0; R = 0 — посторонний корень, т.к. радиус основания2воронки — величина положительная, значит, 2l2 – 3R2 = 0; R = ± l;3R =−l222= 10— посторонний корень, значит, R = lсм.333ПС–141. а) ∫ f ( x)dx = ∫ ( x3 − 2cos x)dx = ∫ x3dx − 2∫ cos xdx =⎛б) ∫ f ( x)dx = ∫ ⎜12⎝ sin xπ ⎞⎞⎛− sin ⎜ 3x − ⎟ ⎟ dx =4 ⎠⎠⎝1π⎞⎛= −ctgx + cos ⎜ 3x − ⎟ + С ;34⎠⎝96∫dxsin 2 x−1 4x − 2sin x + С ;41π⎞ ⎛π⎞⎛∫ sin ⎜ 3 x − 4 ⎟ d ⎜ 3x − 4 ⎟ =3⎝⎠ ⎝⎠222.а) ∫ (5 x 4 + 6 x 2 )dx = ( x5 + 2 x3 ) =25+2⋅23–(–1)5–2(–1)3=32+16+1+2=51;б)−1−1π61∫ cos 3xdx = 3 sin 3x03.
S =π601⎛π⎞ 1= ⎜ sin − sin 0 ⎟ = .3⎝2⎠ 33π43π400∫ sin xdx = − cos x= − cos3π22+ 2.+ cos 0 =+1 =422ПС–151log 2 161211. 9log 3 6 : 2 2= 32 log 3 6 : 2log 2 16 2 = 3log 3 6 : 16 2 = 62 : 4 = 36 : 4 = 9.2. а) lg(2x – 3) = lg(3x – 2);⎧2 x − 3 > 0⎧ x > 1,5⎪⎪; ⎨ x > 2 3 — данная система не имеет решений.⎨3 x − 2 > 0⎪2 x − 3 = 3 x − 2 ⎪⎩ x = −1⎩Ответ: ∅ .б) (0,2)3x–4 = 52–5x; (0,2)3x–4 = (0,2)–(2–5x); 3x – 4 = –2 + 5x; 2x = –2; x = –1.3.
log22x – 2log2x2 > –3; log22x – 4log2x + 3 > 0; log2x=t, тогда t2–4t+3 > 0;(t – 1)(t – 3) > 0; t ∈ (–∞; 1) ∪ (3; ∞);–++если t = 1, то log2x = 1; log2x = log22; x = 2,t13если t = 3, то log2x = 3; log2x = 3log22;log2x = log28; x = 8, значит, x ∈ (0; 2) ∪ (8; ∞).ПС–161.
а) 22x+1 – 5 ⋅ 2x + 2 = 0; 2x = t, тогда 2t2 – 5t + 2 = 0; D = 25 – 16 = 32;5±311t1,2 =; t1=2; 2x=2; x=1 или t2= ; 2x= ; 2x=2–1; x = –1. Ответ: ±1.422б)x + 17 − x + 1 = 2 ;x + 17 = 2 + x + 1 ;⎧ x + 17 ≥ 0⎧⎪ x ≥ −1⎪≥ −1 ; x = 8.; ⎨; xx +⎨x + 1 ≥ 01= 9⎪x3=+1⎪⎩xxx+=++++174411⎩Ответ: x = 8.2. lg(x2 – x + 8) > 1;2–+⎪⎧ x − x + 8 > 0;⎨–1⎪⎩lg( x 2 − x + 8) > lg10x2–x+8 > 0 при любом значении x; x2–x+8 > 10; x2 – x – 2 > 0;(x + 1)(x – 2) > 0;x ∈ (–∞; –1) ∪ (2; +∞).{+2x97⎧ x3 − y 3 = 56⎧ x3 − y 3 = 56⎧x = 2 y⎧x = 2 y ⎧ y = 2⎪3. ⎨;⎨;⎨ 3;⎨ 3;⎨.x3⎩log 2 x − log 2 y = 1 ⎪log 2 y = log 2 2 ⎩8 y − y = 56 ⎩ y = 8 ⎩ x = 4⎩Ответ: (4; 2).ПС–171.
y′ = (e–0,3x + 21–2x)′ = –0,3e–0,3x – 2ln2 ⋅ 21–2x.1⋅ 2 x − 2e− 0,5 x + С .2. ∫ f ( x) dx = ∫ e−0,5 x + 2 x dx =ln 23. f′(x) = (32x–3)′ = 2ln3 ⋅ 32x–3; yкас = f(x0) + f′(x0)(x – x0) = 3 + 6ln3(x – 2).ПС–18′21.а) y′=(ln(2x+1))′ =;б) y′ = (2 x − 1) x 2 = 2 x 2 + 2 (2 x − 1) x 2 −1 .2x + 12. а)())(1 d (2 x − 1)1∫ f ( x)dx = ∫ 2 x − 1 dx = 2 ∫ (2 x − 1) = −2∫ e121− xz1⎛ 1 ⎞xd ⎜ − x ⎟ + ∫ 2 dx = ln 2 x − 1 + Сz2⎝⎠1 (2 x − 3) 6 +1+С .26 +1б) ∫ f ( x)dx = ∫ (2 x − 3) 6 dx = ∫ ( 2 x − 3) d (2 x − 3) = ⋅63. f′(x) = (2 ⋅ 3x)′ = 2 ⋅ ln3 ⋅ 3x = ln3 ⋅ f(x), значит, функция f(x) = 2 ⋅ 3xявляется решением дифференциального уравнения y′ = yln3.Вариант 3ПС–11.
а) 7 + 2 10 ⋅ 7 − 2 10 =()2(7 + 2 10 )(7 − 2 10 ) =49 − 40 = 9 = 3 ;5− 35− 325 − 10 3 + 3 14 − 5 3===.25 − 3115+ 35− 3 5+ 32. а) x5 + 32 = 0; x5 = –32; x5 = (–2)5; x = –2;б) x4 – 81 = 0; x4 = 81; x4 = 34; x = ±3;в) x + 24 x − 3 = 0 ; 4 x = t ,тогда t2 + 2t – 3 = 0; D = 4 + 12 = 42;−2 ± 4t1,2 =; t1 = 1, 4 x = 1; x = 1 или t2 = –3, 4 x = –3 — посторонний2корень. Ответ: 1.ПС–21.⎧ax 2 + bx + c = 0 ⎧a ( x 2 − 1) + b( x − 1) = 0 ⎧a ( x − 1)( x + 1) + b( x − 1) = 0;⎨;⎨;⎨⎩a + b = −c⎩a + b + c = 0⎩a + b = −cб)98()()⎧( x − 1)(ax + a + b) = 0c; x – 1 = 0 или ax – c = 0; x1 = 1 или x2 = .⎨a⎩a + b = −c2.
(x2 + 2x)2 > 9;⎡ x2 + 2 x > 3 ⎡ x2 + 2 x − 3 > 0;⎢, т.к. x2 + 2x + 3 > 0 при любых x, то вто⎢ 2⎢⎣ x + 2 x < −3 ⎢⎣ x 2 + 2 x + 3 < 0рое неравенство не имеет решений, значит, +–+(x + 3)(x – 1) > 0;x–31x ∈ (–∞; –3) ∪ (1; +∞).⎧a + b = 65⎪3. Пусть искомые числа a и b, тогда ⎨;a+b⎪ ab = 2 − 2,5⎩⎧a + b = 65⎧⎪a = −b + 65⎧b 2 − 65b + 900 = 0⎧ab = 900⎪; ⎨; ⎨; ⎨;65⎨⎪⎩ ab = 30⎩a = −b + 65⎩a = −b + 65⎪ ab = 2 − 2,5⎩D = 4225 – 3600 = 252; b1,2 =65 ± 25;2⎧b = 20⎧b = 45или ⎨.⎨⎩a = 45⎩a = 20Ответ: 45; 20.ПС–3⎛4⎞1. ⎜ ⎟⎝9⎠−1,5− 2( x + 5)0 +x0, 4 − 2 x −0,63=5 ;x −1,6 − 2 x − 2,683⎧ 31 + x2 = 5⎧ 27x0, 4 (1 − 2 x −1 )3 ⎪ 88 ⎧ x = ±2⎪=5⎪ − 2 + −1,6⎪; ⎨ x ≠ −5 ; x = –2 — поx (1 − 2 x −1 )8 ; ⎨ x ≠ −5⎨8⎪x ≠ 2⎪x ≠ 2⎪ x ≠ −5⎩⎩⎪⎩сторонний корень, т.к. (–2)0,4 — не существует, следовательно, данноечисловое выражение не может иметь значение, равное 5 3 8 .2.2 x ( x − 4) + ( x − 3) 27 x − 272x7 x − 27x −3=;= 2+;( x − 3)( x − 4)( x − 3)( x − 4)x − 3 x − 4 x − 7 x + 12⎧ 2⎧ 2⎧2 x 2 − 8 x +x 2 − 6 x +9 − 7 x +27 = 0 ⎪3 x − 21x + 36 x = 0 ⎪ x − 7 x + 13 = 0⎪; ⎨x ≠ 3; ⎨x ≠ 3;⎨x ≠ 3⎪⎩ x ≠ 4⎪x ≠ 4⎪x ≠ 4⎩⎩D = 49 – 52 = –3 < 0, следовательно, данное уравнение не имеет корней.99ПС–4⎧ x 2 − 3 | x | +2 = 0 ⎧− 2,5 ≤ x − 1 ≤ 2,51.
⎨; ⎨2, где t = |x|;⎩| x − 1 |≤ 2,5⎩t − 3t + 2 = 0⎧− 1,5 ≤ x ≤ 3,53 ±1; t1 = 2, |x| = 2, x = ±2, но x = –2; D = 9 – 8 = 1; t1,2 =⎨22⎩t − 3t + 2 = 0не удовлетворяет первому неравенству системы; t2 = 1, |x| = 1, x = ±1.Ответ: ±1; 2.2. Парабола y = x2 + ax + 25 пересекает ось абсцисс в двух различныхточках, если уравнение x2 + ax + 25 = 0 имеет +–+два различных корня, т.е.
D > 0; D = a2 – 100;a–10102a – 100 > 0; (a – 10)(a + 10) > 0;a ∈ (–∞; –10) ∪ (10; +∞); при a = получаем D = 1000 – 100 = 302,− 10 10 ± 30; функция y > 0 при x ∈ (–∞; − 5 10 – 15) ∪x1,2 =2∪ ( − 5 10 + 15; +∞) и y < 0 при x ∈ ( − 5 10 – 15; − 5 10 + 15).Ответ: (–∞; –10) ∪ (10; +∞).ПС–51. Последовательность 4, 1, 1 4 ... является геометрической прогрессией с первым членом 4 и знаменателем 1 4 , найдем сумму этой бесконечной геометрической прогрессии: S =0, 21 ⎞⎛log5 ⎜ 4+1+ +... ⎟4 ⎠⎝= 0, 2log1653( 5)= 1log1653⎛ 16 ⎞log5 ⎜ ⎟⎝ 3⎠=5b11− q=416= , значит,31− 14−1=316.2.
bn = 3n – 1 = b1 + (n – 1)d, получаем, что d = 3; b1 – d = –1; b1 – 3 = –1;2b + (20 − 1)d4 + 19 ⋅ 3⋅ 20 =⋅ 20 = 610.b1 = 2. S20 = 122⎧sin x = q ⋅ cos x3. ⎨;⎩1,5 = q ⋅ sin x1,5⎧⎪q =; cosx=t, тогда t2+1,5t– 1 = 0; D = 2,25 + 4 = 2,52;sin x⎨⎪1 − cos 2 x − 1,5 cos x = 0⎩1,5 ± 2,5; t1 = 2, cosx=2 — посторонний корень; t2= –0,5;2πcosx= –0,5; x= ± + 2πk, k ∈ Z.3100t1,2 =ПС–6⎛ 3⎞ππ1⎛π⎞⎛⎞2 cos⎜ + α ⎟ = 2⎜ cos cos α − sin sin α ⎟ = 2 ⎜⎜cos α − sin α ⎟⎟ =266⎝6⎠⎝⎠⎝ 2⎠1.= 3 cos α − sin α .Поскольку 3 cos λ − sin λ = 2cos π 6 + λ()()и −1 ≤ cos π 6 + λ ≤ 1 , то вы-()ражение принимает макимальное значение при cos π 6 + λ = 1 и этозначение равно 2.1 − sin(1,5π + 2α) + sin 2α 1 + cos 2α + sin 2α==2.cos α + sin αcos α + sin α1 + cos 2 α − 1 + 2 sin α cos α 2 cos α(cos α + sin α)=== 2 cos α ;cos α + sin αcos α + sin αа) данное выражение не имеет смысла при cosα = –sinα, например, при3πα=;4б) значение данного выражения отрицательно при cosα < 0, например,при α = π;в) значение данного выражения равно 2 при cosα=1, например, приα=0.ПС–71.
а) 2 – cosx = 2sin2x; 2 –cosx = 2(1 – cos2x); cosx = 2cos2x;cosx cos x − 1 2 =0; cosx=0; x= π 2 +πk, k ∈ Z или cosx = 1 2 ;()πx = ± π 3 + 2πn, n ∈ Z. Ответ: π 2 + πk; ± + 2πk, k ∈ Z.31π2π⎛π⎞⎛π⎞+ x =±+ 2πk ,б) 2 cos⎜ + x ⎟ + 1 = 0 ; cos⎜ + x ⎟ = − ;22223⎝⎠⎝⎠22⎛π⎞⎛ 5π⎞+ 2πk ⎟ , k ∈ Z0;k ∈ Z; x = ⎜ + 2πn ⎟ , n ∈ Z0 или x = ⎜⎝6⎠⎝ 6⎠221 ⎞ ⎛1 ⎞⎛в) ⎜ sin x −⎟ + ⎜ cos x −⎟ =1;sin x ⎠ ⎝cos x ⎠⎝sin x1cos x1sin 2 x − 2++ cos 2 x − 2+−1 = 0 ;2sin x sin xcos x cos 2 xcos 2 x + sin 2 x − 4 sin 2 x cos 2 x11+−4=0;= 0 ; 1 – sin22x = 0;sin 2 x cos 2 xsin 2 x cos 2 xπ πkπ, k ∈ Z.sin2x = ±1; 2x = + πk; x = +24 2101π⎞π⎞π⎞⎛⎛⎛2.
sinx cos ⎜ x − ⎟ + cosx sin ⎜ x − ⎟ ≥ –0,5; sin ⎜ x + x − ⎟ ≥ −0,5 ;4⎠4⎠4⎠⎝⎝⎝ππ 7ππ⎞⎛sin ⎜ 2 x − ⎟ ≥ −0,5 ; − + 2πk ≤ 2 x − ≤+ 2πk ;6464⎠⎝17 ππ17 π⎡π⎤+ πk ≤ x ≤+ πk ; x ∈ ⎢ + πk ;+ πk ⎥ , k ∈ Z.24242424⎣⎦ПС–8⎧4 − x 2 ≥ 01. а) функция y = 4 − x 2 + log3(1 – x) определена при ⎨;⎩1 − x > 0⎧( 2 − x)(2 + x) ≥ 0; x ∈ [–2; 1);⎨⎩x < 1б) функция y = 4 1 − 2 sin x определена при 1 – 2sinx ≥ 0; sinx ≤7ππ+ 2πk ≤ x ≤ + 2πk ;66π⎡ 7π⎤x ∈ ⎢−+ 2πk ; + 2πk ⎥ , k ∈ Z.6⎣ 6⎦2. y = arcsin(sinx); x ∈ [–2π; 0].см. график.−ПС–9а)в)102б)1;2ПС–101. Для нахождения скорости найдем производную s′(t); s′(t) = 6t2 +( )+ 2πcos(0,5πt), тогда v(t)=s′(t)=6t2+2πcos π 2 t и при t0=1 v(t0)=6 см/с.2. Напишем уравнение касательной к f(x) = 0,5x2 + x – 1,5.
Оно имеетвид − x − 7 2 = y , тогда tgα = –1, α = 3π 4 .ПС–111. f(x)= –2sinx+5x; f′(x)= –2cosx+5, тогда f′(π)=7, неравенство f′(x) ≤ f′(π)принимает вид –2cosx + 5 ≤ 7 ⇒ cosx ≥ –1 ⇒ x ∈ (–∞; +∞).2. f(x) = 2 x + (2 – 0,5x)2, тогда по правилу дифференцирования слож1xной функции: f′(x) = 1 + 2 ⋅ (2 – 0,5x)(–0,5) =− 2 + , тогдаx2xf′(2) = 13. f ( x)=2– 1, т.к. 12< 1 ⇒ f′(2) < 0.3 x 2 x3 +2 3x3 − x3 − 2x3 − 1x3 +2; f ′( x)=;− 2 ==2xxxx2x2g(x)=6x+2;x26 x2 − 22== 2 (3x 2 − 1) , тогда неравенство принимает вид:22xxx⎧ x3 − 1 < 3 x 2 − 1⎧ x3 − 3 x 2 < 0⎧ x 2 ( x − 3) < 0, тогда ⎨⇒⎨, т.к.
x2 ≥ 0, то⎨⎩x ≠ 0⎩x ≠ 0⎩x ≠ 0g′ = 6 –{xx <≠ 3,0, тогда x ∈ (–∞; 0) ∪ (0; 3).ПС–123x 4 ( x 2 − 9)≥ 0 , т.к. 2x2 + 11 > 0, то неравенство принимает вид:1. а)2 x 2 + 113x 4 ( x 2 − 3) ≥ 0 , (x–3)(x+3) ≥ 0 и x=0, тогда x∈(–∞; –3] ∪ {0} ∪ [3; +∞);27 − 3x≤ 0 , т.к. 4cosx + 5 > 0, тогда неравенство принимает вид4 cos x + 527 – 3x ≤ 0; 27 ≤ 3x, тогда x ≥ 3.2. f′(x) =((4х–4)(2х2–4х+3)–(4х–4)(2х2–4х)) / 2х2–4х+3; f′(x) = 0 при x = 1;x ∈ (–∞; 1] функция убывает; x ∈ [1;+∞) функция возрастает, при x=1; f(1)= –2; x =1 — точка минимума; f(x) = 0при x = 0 и x = 2.б)103ПС–133x + 32 − x.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
