ivlev-gdz-11-2001 (546285), страница 15
Текст из файла (страница 15)
а)119ПС-7⎧ ⎡ x = πn⎪⎢π 2π⎧⎪ ⎡ tgx = 0π⎪ x=± +n1. а) cos3x tgx = 0. ⎨ ⎢⎣cos3 x = 0 ; ⎨ ⎢⎣6 3 , x=πn; x= ± + πn, n ∈ Z;6≠cosx0π⎪⎪⎩⎪⎩ x ≠ 2 + πn⎛ 1⎞б) 1 – 2sin2x+3sinx= –1; t = sinx; |t | ≤ 1;2t2 – 3t – 2 = 0; ⎜ t + ⎟ (t – 2) = 0,⎝ 2⎠1πт.к. | t | ≤ 1; t = sinx = − ; x = (–1)n+1 + πn, n ∈ Z.2612π1⎛ 2π⎞222. а) cos x + > sin x; cos2x > − ; 2x ∈ ⎜ − + 2πn;+ 2πn ⎟ ,3322⎝⎠⎛ π⎝ 3x ∈ ⎜ − + πn;π⎞+ πn ⎟ , n ∈ Z;3⎠⎧ ⎛π⎞⎪ tg ⎜ x − 4 ⎟ ≥ 3⎝⎠⎪π⎞⎪ ⎛б) ⎨sin ⎜ x − ⎟ ≠ 0 ;4⎠⎪ ⎝⎪cos ⎛ x − π ⎞ ≠ 0⎟⎪⎩ ⎜⎝4⎠⎧π⎪ x ≠ + πk , k ∈ Z4⎪⎪3π3π⎡ 7π⎞+ πm, m, n ∈ Z, x ∈ ⎢ + πn;+ πn ⎟ .⎨x ≠44⎣ 12⎠⎪⎪⎛ x − π ⎞ ∈ ⎡ π + πn; π + πn ⎞⎟⎟⎪⎩⎜⎝4 ⎠ ⎣⎢ 32⎠ПС-8{⎧5 − x > 01.
а) ⎨ 2; x<5, x ∈ (–∞; –3] ∪ [3; 5);⎩ x + 2 x − 3 ≥ 0 ( x + 3)( x − 1) ≥ 0б) 2sinx – 1 ≥0; sinx ≥5π1⎡π⎤, x ∈ ⎢ + 2πn;+ 2πn ⎥ ;62⎣6⎦⎧⎪ctgx > 0⎧sin x > 0⎪⎪⎩cos x > 0⎪ x ≠ π + πn4⎩в) ⎨ctgx ≠ 1 ; ⎨cos x ≠ 0() (2. а) f(–x) = (x2 + 1)(–x3 – x4) — ни четная, ни нечетнаяб) f(–x) = cosx2 + sin| x | = f(x) — четнаяв) f(–x) = –3x4sinx cosx = –f(x) — нечетная3.120); x ∈ 2πn; π 4 + 2πn ∪ π 4 + 2πn; π 2 + 2πn .ПС-9а)б)в)г)ПС-101. а) y′ = 5 3 xв) y′ =− 8x +268x3; б) y′ = 0,5x + (x + 1)0,5xln 0,5;( x ln x)′(1 − x ) − x ln x( −2 x)2 2(1 − x )2=3 −1=22(ln x + 1)(1 − x ) − 2 x ln x2 2(1 − x )=21 + x ln x − x + ln x2 2.(1 − x )2xx12x2. f′(x) = − cos sin = − sin .333333.
y′′ = –9y; y = C1cos3x + C2sin3x; y(0) = C1 = 0; y′(0) = 3C2 = –2;2y = − sin3x.3ПС-111. а) x ∈ (–2; –1] ∪ {–3}+б) x ∈ [1; +∞)–2–x( x − 1)( x − 3)x3 − 4 x 2 + 3x<0< 0;2( x − 2)( x − 3)x − 5x + 6x ∈ (–∞; 0) ∪ (1; 2)–+01+2+–1+–1+–3в)–+–32+31212. f(x) =x4+ x2; f′(x) =24 + x − 2x2=2 2(4 + x )4− x2при x = 0 f(0) =2 2(4 + x )1, тогда41y = x.43. F = ma; m = 2 кг; a = v′ = x′′ = (6t – cost)м/с2; F = 12t – 2cost.ПС-12{11; 2x + 1 >; x ≠ 0,|x|| x | | x | (2 x + 1) > 1 (2).1. f′(x) > g′(x); f′(x) = 2x + 1; g′(x) =Решим неравенство (2) — в ответах ошибка, следует решать так:⎛1⎞⎛1⎞x |(2x + 1) > 1: x > 0; 2x2 + x – 1 >1; ⎜ x − ⎟ (x + 1)> 0, x ∈ ⎜ ; +∞ ⎟ ,2⎠⎝⎝2⎠⎛1⎞x < 0: –2x2 – x – 1 > 0; 2x2 + x + 1 < 0 — решений нет. Ответ: ⎜ ; +∞ ⎟ .⎝2⎠⎛⎝3⎞32.
f′(x) = 4x3 – 6x2 = 4x2 ⎜ x − ⎟ ; f′(x) = 0 при x = 0 и х = .22x(–∞; 0)⎠3(0;)2f′––3Тогда экстремум xmin = ;233[ ; +∞) ; убывает на (−∞; ] .22( 3 ; +∞)2+возрастаетнаПС-131. f′(x)=15x4 – 60x2=15x2(x2 – 4); f′(x)=0 при x = 0, 2, –2, тогда fmax = 193;fmin = –60.⎛2V ⎞2.
V = πr2h; S = πr2 + 2πr ⋅ h = 2π(r2 + rh) = 2π ⎜ r 2 +⎟;πr ⎠⎝⎛⎝S′ = 2π ⎜ 2r −2V ⎞VV3— при таком радиусе⎟ ; S′ = 0; r = 2 ; r π = V; r = 3ππrπr 2 ⎠основания площадь минимальна.ПС-141.1F(x)= ∫ f ( x) = ∫2d (2 x)2cos 2 x1−1∫ (2 x − 3) 2 d (2 x − 3) + 2∫ dx =2= 1 2 tg2 x − 1 3 (2 x − 3)2. F(x) = ∫ f ( x) = ∫1221x 2 dx+32+ 2x + C .12 3 1∫ cos 2πxd (2πx) 3 x + 2π sin 2πx + C ;2πF(1) = 2 3 + C = 3 , тогда F(x) = 2 3 x3 + 1 2π sin 2πx + 2 1 3 .−−π243. а) ∫00б) ∫dxπ⎞cos ⎜ 2 x + ⎟4⎠⎝2⎛=1 ⎛π⎞tg ⎜ 2 x + ⎟2 ⎝4⎠π401⎛ 1⎞= ⎜− 1⎟ ;2⎝ 3 ⎠03dx=−2−2 (5 + 2 x )312 (5 + 2 x)1=1 .5−24.
Найдем точки пересечения –x2 + 3x = 0; x = 0, x = 3.333S = ∫ (− x 2 + 3 x)dx = (− 1 3 x3 + 3 2 x 2 ) = −32 + 3 2 = 9 2 .00ПС-151. log 5 (49log 7 2+ (0,(2))0 ) = log (4 + 1) = 1 .5⎧ x2 + 8⎧x > 1; x > 1 ; x = 4;2. а) ⎪ x − 1 = 8 ; ⎨ 2⎪x − 8 x + 16 = 0 x = 4⎩⎨x −1 > 0⎪ x2 + 8 > 0⎪⎩21⎛⎞82−2 ⎜ log + 4,5 ⎟log x − log xlog x − 922=3 ⎝ x ⎠ =3 2; log22x – 8log2x = 2log2x – 9;б) 3 2{t = log2x; t2 – 10t + 9 = 0; (t – 1)(t – 9) = 0; t = log2x; x = 2, x = 29.3. x2 ⋅ 3x – 3x+1 ≤ 0; 3x(x2 – 3) ≤ 0; x2 – 3 ≤ 0, x ∈ [− 3; 3] .ПС-161. а) 52x–4 ⋅ 5 – 25x–2 = 3; 5x–2 = t; 5t2 – 2t – 3 = 0; (t – 1) (t + 3 5 ) = 0; t = 1;5x–2 = 1; 5x = 52; x = 2;x+3= 3x + 1 ;x −1б){⎧( x + 3) 2 = (3 x + 1)( x − 1) ⎧ x > 1⎪⎪; ⎨ x ≥ − 13;⎨x −1 > 0⎪⎩3x + 1 ≥ 0⎪ x 2 + 6 x + 9 = 3x2 − 2 x − 1⎩⎧x > 1x >1⎨2 x 2 − 8 x − 10 = 0 ; ( x − 5)( x + 1) = 0 , x = 5.⎩⎧ x2 + 2 > 0⎪⎧⎪ x > 77⎧3; ⎨x > 3; x ∈ 7 3 ; +∞ .22x(;)∈−∞+∞x3x90−+>⎪⎩⎩⎪ x + 2 > 3 x − 7 ⎩2.
⎨3x − 7 > 0; ⎨(){+ x + y = −1 ;3. xyxy ( x + y ) = −2123⎧⎪ xy = t ; x + y = r;⎨t + r = −1⎪⎩tr = −2⎧t = xy⎪x + y = r⎨t = −1 − r ;⎪⎩r (1 + r ) = 2⎧r 2 + r − 2 = 0⎪t = −(1 + r );⎨t = xy⎪xyr+=⎩⎧(r + 2)(r − 1) = 0⎪t = −(1 + r ); r1 = 1;⎨t = xy⎪x + y = r⎩t1 = –2; y12 = 1; y11 = –2; x11 = 1; x1,2 = –2; r2 = –2; t2 = 1; y21 = –1; x = –1.Ответ: (–1; –1), (2; –1), (–1; 2).ПС-171. f′(x) = 2 xe x2+1x+ 2 ln 2 .−x2. F(x) =1 33 1−3+C = 3; C = 3+− ;+ e x + C ; F(–1) = −e ln 3ln 3 eln 33− x13+3− +.e ln 3ln 323′⎛ 6lg x 6lg 2 x ⎞ 3lg 2 x + 2 lg3 x+= 0 ; lgx = –1;3. y′= 3lg 2 x + 2lg 3 x e3lg x + 2 lg x = ⎜⎜⎟⎟ e⎝ x ln10 x ln10 ⎠1x = ; lg x = 0; x = 1; xmax= 10–1; xmin= 1.10F(x) = e x −()ПС-181.
а) f′(x) =333(1 − ln 2)+=;б) f′(x) =3x + 1 ln 0,5(3 x + 1) (3x + 1)ln 0,5()2 + 1 ( x − 1)2.2.а) Найдем точки пересечения: y(8 – y) = 7: –y2 + 8y – 7=0; x1 = 1,77rdx= r ln x = 7ln7; S1 = 24; S = 24 – 7ln7.11 xx2 = 7; S = S1 – S2; S2 = ∫б) Найдем точки пересечения: x = 0, x = 1.111 e +1 11 π+1 111π−eS = ∫ x e dx − ∫ x π dx =xx−=−=.1+ e1 + e π + 1 (1 + e)(1 + π)0 π +10003.
y′ = − 13 y ; y = Ce−1 x3; y (−2) = Ce2311= e2 ; C = e3; y=e4 −1 x3 3.Вариант 7ПС-1(1. 4 + 15=)(10 − 644 − 15 ( 10+ 6))(=)4 − 15 =(16 − 15) (10 − 64 − 154(4 − 15)(10+6+2 60)=)=10 − 64 − 15=42 (4 − 15)(4+ 15)=2.2. В первом парке 250 ⋅ 0,24 самосвалов, во втором 150 ⋅ 0,08, тогда вобоих 250 ⋅ 0,24 + 150 ⋅ 0,08.124250 ⋅ 0, 24 + 150 ⋅ 0,08⋅ 100% = 18%.400Тогда процент в обоих равен:ПС-21. Пусть первая сторона равна 3x, вторая 4x и третья 5x.5x –3x =2x = 3,6 см; x = 1,8 см; P = 12 ⋅ x = 12 ⋅ 1,8 см= 36(2 ⋅ 0,3)см =P⎛ P⎞⎛ P⎞⎛ P⎞ 22⎜ − 3x ⎟⎜ − 4 x ⎟⎜ − 5 x ⎟ см = 1944 см .2⎝2⎠⎝ 2⎠⎝ 2⎠= 36 ⋅ 0,6 = 21,6 см; S =1⎧⎪x > 5⎛ 1 10 ⎤1,25x−0,12>0,3x+0,070,95x>0,9; 1,5 x ≤ 5; ⎨ 10 ; x ∈ ⎜ ; ⎥ .2.
1 − x ≥ 0,5 x − 4⎝5 3 ⎦⎪x ≤3⎩{{ПС-32⎛ 1⎜ 34b 2 − a 3⎜a + b + 1⎜a3 − b⎝1.1⎞ ⎛⎞⎟ ⎜ a321 ⎟− 1+ 1⎟:⎜ 2⎟=⎟ ⎜ a 3 − b2 a 3 + b a 3 − b ⎟⎠ ⎝⎠⎛ 1⎛ 1⎞ ⎛ 1 ⎞⎞33⎜⎜⎟ + ⎜ a 3 +b ⎟ ⎟ ⎛a−2a−b⎛⎞⎞2 ⎞ ⎛⎜⎟ ⎜⎟⎟⎜ a − b 2 +4b 2 − a ⎟ ⎜⎝⎠ ⎝⎠ ⎟ = ⎜ 3b ⎟ : ⎜ 3b ⎟ ==⎜:⎜⎟112⎟ ⎜ 2⎟⎟ ⎜⎜ 3⎟ ⎜ 322 ⎟⎜⎟ ⎜33ababa−ba−b−−⎝⎠⎝⎠⎜⎟⎝⎠⎜⎟⎝⎠2323115= b(a 3 + b)=b( a 3 + b)31122.; (y + 1)(y + 2) + y2 – 1 = 2(y + 2); 2y2 + y – 3 = 0;+=y − 1 y + 2 y2 − 1(y + 1,5)(y – 1) = 0, т.к. y – 1 = 0 решением быть не может, то y = –1,5.ПС-41.
y = 5x2 + 26x + 5 ≥ 0; (x + 5) x + 1 5 ≥ 0, x ∈ (–∞; –5] ∪ ⎡ − 1 5 ; +∞ ,⎣())y ≤ 0; x ∈ ⎡⎣ −5; − 1 5 ⎤⎦ .5 ± 33⇒2. 2x2–5x–1=2(x2– 5 2 x– 1 2 ); x2– 5 2 x– 1 2 =0; D= 33 4 ⇒ x1,2=45 + 33 5 − 335 + 33 5 − 33x2– 5 2 x– 1 2 =(x–)()⇒2x2–5x–1=2(x–)().3.()(4)x − 7 +1 x − 7 −14=44x2 − 7 x + x − 7 x + 7 − 7 − x + 7 − 1== x2 − 2 7 x + 6 = 0 .125ПС-51. Sn =a +an12⋅n =2. b3 = b1q; q2 =2a + (n − 1)db3b121212⋅ n ; 3n2 – 7n – 416 = 0; n = 13.;q= ; − ;S=124= 4; S = .31− 123. 0,1(076923 = 0,1 + Sn; Sn — сумма геометрической прогрессии;b1 = 0,0076923; q =b117;S= 1 =; 0,1(076923) = .1 − q 130100000065ПС-61.
а)б)cos α − 2sin 3α − cos5α2sin 3α sin 2α − 2sin 3α= –tg3α.=sin α + 2cos3α − sin 5α −(2cos3α sin 2α + 2cos3α )2. а)б)sin 2αcos(π + α)− cos α 2sin α cos αsin αα⋅=⋅== tg ;α1 + cos 2α cos(π − α ) − 1 − cos α − 1 2cos 2 αcos α + 12cos α cos β − (cos α cos β − sin α sin β) cos(α − β);=cos α cos β + sin α sin β − 2sin α sin βcos(α + β)(− cos 2α − sin 2α)( − sin α − cos α)= –1.cos α + sin 3αПС-71.
а) sin3x ctgx = 0; sin3x = 0; x = ± π 3 n , n ∈ Z; ctgx = 0; x = π 2 + πr,ππ+ πn ; x = ± + πn ;231б) sin4x – sin2x = sinx; 2sinx cos3x = sinx; cos3x = ; sinx = 0;2ππ 23x = ± + 2πk ; x = πn, k, n ∈ Z; x = ± + πk .39 3112. а) –sin3x sin4x + < cos3x cos4x; –(sin3x sin4x + cos3x cos4x) < − ;22π1⎛ π⎞cosx > , x ∈ ⎜ − + 2πn; + 2πn ⎟ ;32⎝ 3⎠r ∈ Z; sinx ≠ 0; x ≠ πm, m ∈ Z, тогда x =⎛π⎞3πππ⎡πππ ⎞; + πn ≤ 5 x + < + πn ; x ∈ ⎢ n;б) tg ⎜ 5 x + ⎟ ≥+ n ⎟ ; n ∈ Z.6⎠ 366 2⎝⎣ 5 15 5 ⎠ПС-8⎧ x2 − 6 x + 8 ≥ 0⎪1.
а) ⎨(4 − x) ≠ 5⎪⎩(4 − x) > 0126⎧⎪( x − 2)( x − 4) ≥ 0; ⎨ x ≠ −1⎪⎩ x < 4, x ∈ (–∞; –1) ∪ (–1; 2];б) 2cosx – 3 ≥ 0; cosx ≥π3⎡ π⎤, x ∈ ⎢ − + 2πn; + 2πn ⎥ , n ∈ Z;62⎣ 6⎦⎧⎪ x ≠ 1⎧⎪ x ≠ 1; ⎨x > 0в) ⎨ x > 0⎩⎪sin x > 0 ⎪⎩ x ∈ (2πn; π + 2πn), x ∈ (0; 1) ∪ (1; π) ∪(2πn; π+2πn), n ∈ N.2. а) f(–x) = (–x5 + 1)(–x + x2) — ни четная, ни нечетная;б) f(–x) = sin4x + cos2x = f(x) — четная;в) f(–x) = |–x |sin3x = f(x) — четная.3.
а) T =2π 22= π ; б) sin (x + T) = sinx при T = π; в) T = π.ω 3ПС-91.2.а)б)в)ПС-10(1. а) y′ = 4 2 x3 − 2 2 xб) y′ =2 −1)x +1 +(2x4 − 2 x2 x +12);exxxxx = xe ln x − e = e ( x ln x − 1) ;22x ln xx ln 2 xln xe x ln x −12x2tg xx111x4 .sincosx–+⋅=22 2cos 2 x4 cos 2 x 444в) y′ = cos x − sin + 2tg ⋅1272. f′(x) = 307(2x3 + 3x2)306(2x3 + 3x2)′ = 307(2x3 + 3x2)306 ⋅ (6x2 + 6x) == 1842(x2 + x)(2x3 + 3x2)306.3. y =C1cosy′(0) =C22−Cxxx Cx+ C2sin ; y′ = 1 sin + 2 cos ; y(0) = C1 = 2;2222 22= 1, тогда y = 2cosxx+ 2sin .22ПС-111. а) x ∈ (0; 2] ∪ {3};–+–01–41+–б) x ∈ [2; +∞) ∪ {1};в)x2x1x2x1−+ >0;>− ;x + 1 x + 3 4 x + 1 ( x + 3) 4––1(++32–+–3+32+1−3–3)22−( x − 3) x + 14( x + 3 x − 2 x − 2 x) + ( x + 1)( x + 3)3 >0;>0;4( x + 1)( x + 3)( x + 1) x + 3)()x ∈ (–3; –1) ∪ − 1 3 ; 3 .5y = –10x + b; нахо35785⎛5⎞дим b, подставив x1= –1 и x2= и y1=f(–1); y2= f ⎜ ⎟ ; b1= –1; b2 =;3327⎝ ⎠785.y = –10x – 1; y = –10x +272 12 13.
F = ma; a = v′ = x′′ = 4 – 3 + 2 м/с2; F =(4 – 3 + 2 )H.tttt2. f′(x)=4x–6x2= –10; 6x2 – 4x – 10 = 0; при x = –1;ПС-121.1282. f′(x) = 15x4 – 15x2; f′(x) = 0 при x = 0;x = ±1.–1; 00; 1 1; +∞x–∞; –1f(x)+––+xmin = –1; xmax = 1 — экстремумы; возрастает на(–∞; –1) ∪ (1; +∞); убывает на (–1; 0) ∪ (0; 1).ПС-131.
f′(x)=12x3 – 24x2 + 12x; f′(x) = 0; x3 – 2x2 + x = 0; x(x – 1)2 = 0; f(0) = 5;f(1) = 6; fmin = 5; наибольшего значения нет.13h 2 πh2= 3π(1 − ); V′ = 0 или2. r2 + h2 = 32 = 9; V = πh(9 – h2); V′ =3π–333h= 3;r= 6.ПС-143x 2x−3= f .xx13 412 +1x2. F ( x) = ∫ f ( x)dx =− x −+C .4x+22 +11. f = F′(x); F′(x) = 1 –π3⎛π⎝3. а) ∫ ⎜ cos=33x3x ⎞+ sin ⎟ dx =22 ⎠π32 ⎛ 3x3x ⎞2⎜ sin − cos ⎟ = ;3⎝22 ⎠3π6644002127б) ∫ x 2 xdx = ∫ x 2 dx = x3124222564= (43 ⋅ 2) = ⋅ 128 == 36 .777704.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
