ivlev-gdz-11-2001 (546285), страница 18
Текст из файла (страница 18)
+ 1 + sin 2 α ==nαα sin 2αsin 2 α cos 2n α2sin cos222. cosecα + cosec2α+ ... = ctg= −ctgα +11sin 2n α+ ... ++=0.sin 2αsin 2n α cos 2n α3. 3sinβ = sin(α + (α + β)); 3sinβ = sinα cos(α + β) + cosαsin(α + β);3sinβ = sinαcosαcosβ – sin2αsinβ + sin(α + β)cosα;3sinβ = –sinβ + sinβcos2α + sinαcosαcosβ + cosαsin(α + β);2sinβ = cosαsin(α + β), тогда tg(α + β) = 2tgα; cosαsin(α + β) == 2sinαcos(α + β); 2sinαcos(α + β) = –2sin2αsinβ + 2sinαcosαcosβ == –2sinβ + 2sinβcos2α + 2sinαcosαcosβ = –2sinβ + 2cosαsin(α + β) == cosα(sin(α + β)).ПС-71. а)sin x cos x1; 2(sin x + cos x) =. Рас+cos x sin xcos x sin x112≥ 2 .
Рассмотрим, тогда=cos x sin xcos x sin x sin 2 x2(sin x + cos x) =смотримπ⎞⎛2(sin x + cos x) = 2sin ⎜ x + ⎟ .4⎠⎝2(sin x + cos x) ≤ 2 , т.е. уравнение име-ет решения, только если оно совпадает с решением системы:2(sin x + cos x) = 2,2= 2.sin 2 xπ+ 2πnπ4; n, k ∈ Z; x = + 2πn ;π4+ πk4π5π⎧⎧⎧ ⎛π⎪ x = − 4 + 2πn⎪ x = 4 + 2πn⎪sin ⎜ x + ⎟⎞ = 1;;;⎨ ⎝⎨⎨4⎠3ππ⎪⎩sin 2 x = −1⎪ x = + πk⎪x =+ πk44⎩⎩5π⎧⎪ x = − 4 + 2πnπ; тогда x = + 2πn ; n ∈ Z;⎨3π4⎪x =+ πn4⎩⎧ ⎛π⎞⎪Решим систему: ⎨sin ⎜⎝ x + 4 ⎟⎠ = 1 ;⎩⎪sin 2 x = 1⎧ ⎛π⎪sin x + ⎟⎞ = −1;⎨ ⎜⎝4⎠⎩⎪sin 2 x = 1⎧π⎪sin ⎛ x + ⎟⎞ = −1;⎨ ⎜⎝4⎠⎩⎪sin 2 x = −1150⎧⎪x =⎨⎪x =⎩⎛⎝π⎞б) 2sin7x + 3 cos3x + sin3x = 0; sin7x + sin ⎜ 3 x + ⎟ = 0;3⎠π⎞π⎞π⎞π⎛⎛⎛5sin7x + sin ⎜ 3 x + ⎟ = 0; sin ⎜ 5 x + ⎟ cos ⎜ 2 x − ⎟ = 0 ; 5 x + = πn или5⎠6⎠6⎠6⎝⎝⎝π ππ ππ π2 x − ± + πk , n, k ∈ Z; x = − + n или x = + k , n, k ∈ Z.30 53 26 22.
а) cosx – sinx – cos2x > 0; cosx – sinx – (cos2x – sin2x) > 0;(cosx–sinx)–(cosx–sinx)(cosx + sinx) > 0; (cosx – sinx)(1 – cosx – sinx) > 0;x − sin x > 0x − sin x < 0или {1cos;{1cos− (cos− (cos x + sin x) < 0x + sin x) > 0⎧ ⎛ 3ππ⎞⎪⎪ x ∈ ⎜ − 4 + 2πn; 4 + 2πn ⎟⎝⎠;⎨π⎪ x ∈ ⎛⎜ + 2πn; 2π(n + 1) ⎞⎟⎪⎩ ⎝ 2⎠⎧ ⎛π3π⎞⎪⎪ x ∈ ⎜ 4 + 2πn; 4 + 2πn ⎟⎝⎠;⎨π⎪ x ∈ ⎛⎜ 2πn; + 2πn ⎞⎟2⎪⎩ ⎝⎠π⎛ 3π⎞ ⎛π⎞x ∈ ⎜ − + 2πn; 2πn ⎟ ∪ ⎜ + 2πn; + 2πn ⎟ ; n ∈ Z442⎝⎠ ⎝⎠5 − 2sin x ≥ 6sin x − 1 ; ОДЗ: 5 – 2sinx ≥ 0; sinx ≤б)5;6sinx – 1 ≤ 0 или21; 5 – 2sinx ≥ 36sin2x – 12sinx + 1;611⎛⎞x ∈ ⎜ π − arcsin + 2πn; 2π + arcsin + 2πn ⎟ , sinx = t;66⎝⎠5 – 2sinx ≥ (6sinx – 1)2; sinx ≤111 ⎞⎛2⎞⎛⎞ ⎛x ∈ ⎜ π − arcsin + 2πn; arcsin + 2π(n + 1) ⎟ , ⎜ sin x − ⎟⎜ sin x + ⎟ ≤ 0 ;6623⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠π1⎡ 5π⎤тогда sinx ≤ , т.е.
x ∈ ⎢ − + 2πn; + 2π(n + 1) ⎥ , n ∈ Z.62⎣ 6⎦ПС–81. а) 8cos2x – 6cosx + 1 ≥ 0; cosx = t; 8t2 – 6t + 1 ≥ 0;cos x − 5cos x − 1 ≥ 0 ;x ∈ ⎡ − arccos 1 + 2πn; + arccos 1 + 2πn ⎤ ∪⎣⎦664411∪ ⎡arccos+ 2πn; − arccos+ 2π(n + 1) ⎤ , n ∈ Z;()(⎣2)2⎦11π⎡⎤ ⎡π⎤x ∈ ⎢ − arccos + 2πn; + arccos + 2πn ⎥ ∪ ⎢ + 2πn; − + 2π(n + 1) ⎥ , n ∈ Z;442⎣⎦ ⎣3⎦⎧⎧⎪⎧x > 0⎪x > 0⎪x > 0⎪⎛1 ⎞; ⎨x < 1; ⎨ x < 1 ; x ∈ ⎜ ; 1⎟ ;б) ⎨log 1 x > 0⎝8 ⎠xlog1<18⎪⎪x >⎪ 18⎩8⎪log 1 log 1 x > 0 ⎩48⎩151⎪⎧sin 2 x > 0в) ⎨cos x > 0 ;⎪⎩cos x ≠ 1⎧⎪⎪ x ≠ 2πnπ⎛⎞; x ∈ ⎜ 2πn; + 2πn ⎟ , n ∈ Z.⎨ x ∈ πn; π 2 + πn2⎝⎠⎪ππ⎪⎩ x ∈ − 2 + 2πn; 2 + 2πn((3))52.
а) f(–x) = –tg x + sinx = –f(–x) — нечетная;б) f(–x) = lnx +1x −1−( x + 1)= ln= − ln= − f ( x ) —нечетная;−x + 1x −1x +1в) f(–x) = sincosx – cos(–sinx) = f(x) — четная.3. Т.к. функция четная, то на [–∞; 0] возрастает, тогда для всехx ∈ (–∞; –2) f(x) < f(–2) = f(2); x ∈ (–2; 0) f(x) > f(–2) = f(2), тогдаx ∈ (–∞; –2) ∪ (2; +∞).ПС–91.а)б)в)г)д)е)1522.а)б)в)г)ПС–10(1.а) y′=|x| + (| x |)′ = 0; б) y′ = ( x − 1)в) y′ =1xln x′( x ) = x1ln xln x15′′) ⋅2(e ) = x2ln x eln 2 xln x +115( x −1)ln 2 x=15ln 2 = 15( x − 1)14 ⋅ 2( x −1) ln 2 ;2ln xxln x +1xln x;2.3. Т.к.
линейная комбинация решений является решением, то1y − 4 y — решение, что проверяется подстановкой.23 1153ПС–11123+−<0;x+2 x+3 x+4( x + 3)( x + 4) + 2( x + 2)( x + 4) − 3( x + 3)( x + 2)<0;( x + 2)( x + 3)( x + 4)1. а)222x + 3 x + 4 x + 12 + 2 x + 4 x + 8 x + 16 − 3x − 9 x − 6 x − 18<0;( x + 2)( x + 3)( x + 4)4 x + 10<0;( x + 2)( x + 3)( x + 4)–+–+–4+–2,5–3x–2x ∈ (–4; –3) ∪ (–2,5; –2);б) 4x2+12x 1 + x –27(1+x) < 0;4x2 + 18x 1 + x − (6 x 1 + x + 27(1 + x)) < 0 ;2x(2x + 9 1 + x )–3 1 + x (2x+9 1 + x )<0;(2x+9 1 + x )(2x–3 1 + x )<0;Решим уравнение: (2x + 9 1 + x )(2x – 3 1 + x ) = 0; 4 81 x 2 = 1 + x или4 x 2 = 1 + x ; 4x2 – 81x – 1 = 0 или 4x2 – 9x – 9 = 0; x = 81 ± 6571 ;98( x + 3 4 ) ( x − 3) = 0 ; ОДЗ: x > –1.⎛ 81 − 9 97 ⎞x ∈ ⎜⎜; 3 ⎟⎟ ;8⎝⎠(tgx + 1)(tgx − 1)tgxв)(3 − tgx)(3 + tgx–+3−4)≤0;+− 381 − 65718+––1–+81 + 657183+–0+1–3tgx ∈ ( − 3 ; –1] ∪ [0; 1] ∪ ( 3 ; +∞);πππ⎛ π⎤ ⎡⎤ ⎛π⎞x ∈ ⎜ − + πn; − + πn ⎥ ∪ ⎢ πn; + πn ⎥ ∪ ⎜ + πn; + πn ⎟ , n ∈ Z.442⎝ 3⎦ ⎣⎦ ⎝3⎠2.
Пусть прямая y = ax + b касается f(x) в точке x0.f(x0) = x02 – 2x0 – 3 = ax0 + b; f′(x0) = 2x0 – 2 = a; т.к. прямая проходитчерез M, то –4 = b – a; 4 = a – b;⎧ x 2 − 2 x − 3 = ax + b00⎪ 0;⎨ 2 x0 − 2 = a⎪a − b = 0⎩⎧a = 2 x − 20⎪, x01 = +1; a1 = 0; b1 = –4; x02=–3; a2=–8; b2=–12, тогда⎨b = 2 x0 − 6⎪( x + 3)( x − 1) = 00⎩ 0искомые касательные: y = –4; y = –8x – 12.154ПС–12f′(x) =1.=(4ln x ⋅1 3+ ) x − (2ln 2 x + 3ln x)x x=x24ln x + 3 − 2ln 2 x − 3ln xx2=ln x − 2ln 2 x + 3x2;11f(x) = 0 при x = ; x = e e ; тогда xmin = ; xmax = e e , т.к. убывает наee1⎡⎤⎛ 1⎤⎜ 0; ⎥ и ⎡⎣ e e; +∞ ; возрастает на ⎢ ; e e ⎥ .⎝ e⎦⎣e⎦2.)f′(x) =222 x( x − 1) − ( x + 5) ⋅ 2 x2( x − 1)2=−12 x2( x − 1)2;83f′(x) = 0 при x = 0; y = ax + b; f(2) = − ;825y≤− a+.33ПС–131.
f′(x) = sin2x + cos2x; f′(x) = 0 при xπ⎛ π⎞⎛ π⎞⎛π⎞⎛π⎞= − + πn ; тогда из значений f ⎜ − ⎟ , f ⎜ − ⎟ , f ⎜ ⎟ , f ⎜ ⎟ наи4⎝ 2⎠⎝ 4⎠⎝3⎠⎝4⎠1− 23+ 31− 23+ 3≤f≤, наибольшее, т.е..меньшее22223V2. h =πr2; S = πrl = πr r 2 + h 2 = π r 4 +f′(r) = 0 при V2 =29V 22 2πr4π 2hhr , откуда 2 = 2 ; = 2 .r18r1. g′ = exsinx + excosx; f′ = excosx – exsinx;−4g′ − f ′= ex cosx = f, т.е.2g− fe x (sin x − cos x)+C =+C .221 −43032. а) ∫ (4 − 3x)3 dx = − ∫ (4 − 3x) 2 d (4 − 3 x) = −1320⎝218V ⎞;3 ⎟πr ⎟⎠2ПС–14F(x) =⎛; f′(r) = π ⎜⎜ 4r 3 −4;15155πб) ∫ sin x sin 2 xdx =−π1 π1 1 πcos( − x) dx − ⋅ ∫ cos3 xd (3 x) = 0 .∫2 −π3 2 −πaaaaa−a−a0003.
∫ f ( x)dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x)dx = ∫ f (− x) dx − ∫ f ( x)dx = 0 .4. Найдем точки пересечения линий x=2, x=–1, x=–2, т.к. x>–1, S=S1–S2;22181S1= ∫ (− x 2 +4 x +4)dx =(− x3 +2 x 2 +4 x) = − +8+8 − − 2+4= –3+16+2=15;333−1−121S2 = ∫ x3 = x 44−12−1= 4−113= 3 ; S = 11 .444ПС–151.
2log x2−x2. а) 2−| x| =меньшеlog 2x12 2121= 2e 2ln log x21− xe 2ln log 2x(= 2log x2−xlog 2x)e12=0;(| x + 1| + | x − 1|) . При | x | > 1 левая часть ≤ 1 , правая21при |x | ≤ 1, 2–|x| =−11. Решим его: 2−| x| ==2 2;22| x | = 1 2 ; x = ± 1 2 . Ответ: ± 1 2 .б) 2x + log3x = 9 при x = 3 получаем корень уравнения, т.к. 2x = log3x —монотонная функция, то x = 3 — единственный корень.3.
log⎧ x ≠ πn,⎪cos 2 x > sin x,sinx>1;⎨sin x > 0,2cos x⎪⎩cos x ≠ 0,x ∈ (2πn; arcsin 5 − 1 +2πn) ∪ ( π; − arcsin 5 − 1 +2πn) , n∈Z.22ПС–16⎧x ≠ 1⎪10 − 9lg x ≥ 0 21. а) log5lg x = log5(10 – 9lgx); ⎨lg x = t; t +9t–10=0; D=121 ⇒ t1=1,⎪2tt=−109⎩2t2=–10 — не подходит. Поскольку: t=lgx=1, то x=10. Ответ: x=10.б) 3x2 – 2x + 15 + 3x2 – 2x + 8 + 2 (3x 2 − 2 x + 15)(3 x 2 − 2 x + 8) = 49;6x2 – 4x + 26 = 3x2 – 2x + 13 = − (3 x 2 − 2 x + 8) 2 − 492 ;⎧3 x 2 − 2 x + 8 ≥ 0;⎨ 222⎩(3 x − 2 x + 13) = 3 x − 2 x + 8x = − 13 .156⎛1⎞2. ⎜ ⎟⎝2⎠sin 2 x3sin 2 x1⎛ 1 ⎞1− cos 2 x 1<⎜ ⎟≤ ; 3>≥ . Решим первое неравенст21 − cos 2 x 2⎝2⎠sin 2 xsin 2 x1⎛π⎞= ctgx; x ∈ ⎜ + πn; π(n + 1) ⎟ ;во:= ctgx ≥ ;3>1 − cos 2 x2⎝6⎠ 1 − cos 2 xπππx ∈ πn;+ πn ; x ∈+ πn;+ πn .363()()3x − 2 y1= t ; t + = 2 ; t2 + 1 = 2t; t2 – 2t + 1 = 0; t = ±1, тогда2xt3x − 2 y3x − 2 y2= 1 ; x=2y; 4y –18== ±1 .
Рассмотрим первый вариант:2x2x3x − 2 y= −1 . Ответ: (6; 3) (3; 15).= 8y2 – 18y, получим x и y (3; 6);2x3.ПС–171. y′ = –2 ⋅ 3–2xln3; y′ = –2yln3, тогда y′ + 2ln3y = 0.2. f′(x) = –e–x + 1 при x > 0; f′(x) > 0, т.е. f(x) > f(0) для всех x > 0, т.е.e–x > 1 – x.3. F′(x) = –e–x(–P3(x) – P3′(x) – P3′′(x) – P3′′′(x)) + e–x(–P3′(x) – P3′′(x) –– P3′′′(x) – P3IV (x)); PIV = 0, т.к. многочлен степени не выше 3, тогдаF′(x) = f(x).ПС–18ln g ( x)ln h( x)h′( x) −g ′( x)ln h( x)h( x )g ( x)1. f(x) =; f′(x) =.ln g ( x)ln 2 g ( x)2. Рассмотрим f(x) = eln xx; f′(x) =1 − ln xx2eln xx; f′(x) = 0 при x = e, тогдаf′ > 0 на (0; e); f ∈ (0; f(e)]; f′(x) < 0; x > e; f ∈ (0; f(e)].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
