ivlev-gdz-11-2001 (546285), страница 16
Текст из файла (страница 16)
S = S1 – S2; найдем точки пересечения линий; 4 + 3x – x2 = x + 1;x2 – 2x – 3 = 0; x = –1; 3.3⎛ 1⎝ 322⎞ 3= 16 ; S2 = 6; S = 10 .33⎠ −132S1 = ∫ ( x 2 + 3 x + 4)dx = ⎜ − x3 + x 2 + 4 x ⎟−1ПС-151. 36log 561− lg 2+ 10log 362−39=62 log 56+1010lg 21− 92log 369= 25 + 5 – 6 = 24.2. а) lg22(x – 0,5) = lg(x – 0,5) + lg2 = lg2(x – 0,5); lg2(x – 0,5) = 0; x = 1;1lg2(x – 0,5) = 1; x = 5 ;212923log x − log xб) 533=122−2= 5 ; log3 x – 3log3x + 2 = 0; log3x = z; z – 3z + 2 = 0;25(z – 1)(z – 2) = 0; x1 = 3; x2 = 9.23. 3x –x–3 ≥ 33; x2 – x – 3 ≥ 3; x2 – x – 6 ≥ 0; (x + 2)(x – 3) ≥ 0, x ∈ (–∞; –2] ∪∪ [3; +∞).ПС-161.а) 2x+1 + 21–x=5; 2x=t; 2t +()2= 5; t ≠ 0; 2t2 + 2 – 5t = 0; (t – 2) t − 1 2 = 0,tтогда x1 = 1; x2 = –1;б) 3 x + 4 + x − 4 = 2 x ;⎧3x + 4 + 2 3 x + 4 x − 4 = 4 x⎪3x + 4 ≥ 0;⎨x − 4 ≥ 0⎪⎩x ≥ 0⎧⎧⎪ x > 4⎨ ⎡3 x + 4 = x − 4 ; x = 4.
Ответ: x = 4.⎩⎪ ⎣⎢ x = 4{(( xx −+ 1)(3)(xx −−5)1) >< 00 ; x ∈ (–1; 1) ∪ (3; 5).22. log8(x2–4x+3)<1; ⎨ x 2 − 4 x + 3 < 8⎩x − 4x + 3 > 03. x2y = t; xy2 = m;30 ; t − 30 + m ; t = 75 . Ответ: (5; 3).{tt −+ mm == 120{t = 75 m = 45ПС-17В учебнике опечатка, следует писать так.1.
f(x) = (sinx)cosx = ecosx ln sinx; f′(x) = (cosx ln sinx)′ecosx ln sinx =⎛⎝= ⎜ − sin x ln sin x +⎛ cos 2 x⎞cos xcos xcos x⎞⋅ cos x ⎟ ( sin x )=⎜− sin x ln cos x ⎟ ( sin x ).⎜⎟sin xsinx⎠⎝⎠22. F(x) = ∫ (2 x − 1)e x − x dx = ∫ e x2−x2d ( x − x) = e2x −x+C .3. f′(x) = ex – 1; f′(x) = 0 при x = 0; (–∞; 0] — убывает; [0; +∞) — возрастает; т.к. в x = 0 f(x) = 0, а f(x) возрастает на [0; +∞), то f(x) > 0 наx–∞; 00; +∞[0; +∞), т.е. ex – x – 1 > 0, т.е.
ex > x + 1.f′–+ПС-18121 1d (2 x) =2 2x1. F(x) = ∫ f ( x)dx = ∫ x ⋅ x 2 dx − ∫ x 2 dx + ∫ e2 x d (2 x) + ∫⎛1 2x 11 ⎜= e + ln x +−x222 + 1 ⎜⎜⎝1302 +1+⎞112+1x2 +2 ⎟⎟+C.⎟⎠2. а)б)3. y = C1e −2x.Вариант 8ПС-11.3 − 5 (3 + 5)( 10 − 2) ==4⋅83 − 5 ( 10 + 2)=32(3 − 5)(12 + 2 20)=32=8.2⋅22. В первой стопке 150 ⋅ 0,32 тетрадей в клетку, во второй 210 ⋅ 0,2, то150 ⋅ 0,32 + 210 ⋅ 0, 2гда процент от общей массы равен:⋅ 100% = 25%.360ПС-21. Пусть первая сторона 3x, вторая 4x, третья 5x, тогда 7x–5x=2x==3,4 см; x = 1,2 см, тогда P = 12x = 14,4 см;S = P 2 ( P 2 − 3 x)( P 2 − 4 x)( P 2 − 5 x) = 8,64 см2.1⎞⎡3, 4 x − x − 0,6 < 0,6 x2. 16,5; 1,8 x < 0,6 ; x ∈ ⎢ −3; ⎟ .+ 2,5(2 x − 2, 4) ≥ 1,5 x 6,5 x ≥ −19,53⎠⎣{{ПС-31.3⎛4a 2 − 4 b 2⎜ 3 b − 2a +3⎜2a + b⎝11⎛⎞ ⎜ 2a − 2(b 3 + 2a ) + 2a − b 3⎟:⎜2⎟ ⎜3⎠b− 4a 2⎝2⎛ 2⎜ b 3 − 4a 2 + 4a 2 − 4b 3=⎜2a + 3 b⎜⎝2.⎞⎟⎟=⎟⎠1⎞ ⎛⎞1⎟ ⎜ −3b 3 ⎟ 33⎟:⎜ 2⎟ = b (b − 2 a ) .⎟ ⎜ b 3 − 4a 2 ⎟⎠ ⎝⎠22212( y − 1) − 2(2 − y ) − (2 − y )( y − 1)− 2−=0;=0;22 − y y −1 y +1(2 − y )( y − 1)131( y + 1)( y − 4 )3= 0 .
Ответ: y = 4 .3(2 − y )( y + 1)( y − 1)ПС-41. y = 6x2 + 37x + 6 ≥ 0; 6(x + 6) x + 1 6 ≥ 0; x ∈ (–∞; –6] ∪ ⎡ − 1 6 ; +∞ ;⎣())y ≤ 0; x ∈ ⎡ −6; − 1 6 ⎤ .⎣⎦2. D = 16 + 2 ⋅ 3 ⋅ 4 = 40; x1,2 =⎛= 3 ⎜⎜ x −⎝(4 ± 40, тогда 3x 2 − 4 x − 2 =64 + 40 ⎞⎛4 − 40 ⎞⎟⎜⎟⎟ .⎟⎜ x −66⎠⎝⎠)()3. x − 6 + 2 x − 6 − 2 = x 2 − 2 6 x + 2 = 0 .ПС-5a +a11.Sn=n2⋅n =2a + (n − 1)d12⋅ n ; d=a2–a1=–4, тогда n2d+(2a1–d)n–2Sn=0.4n2 – 100n + 600 = 0; (n – 10)(n – 15) = 0. Ответ: n = 10 или 15.192. b1= –9; b5 = − ; b5=b1q4; q4 =S2 =11−9 ⋅ 3; q = ± ; S1 == –4,5 ⋅ 3 = –13,5;81323−9 ⋅ 3= −6 .443.
0,2(153846) = 0,2 + Sn; Sn — сумма геометрической прогрессии;b1 = 0,0153846; q = 1000000–1; S =b11− q=114, тогда 0,2(153846) = .6565ПС-61. а)22sin α (cos α − sin α) + cos α + sin α cos α(cos α + sin α) 1= sin 2α ;=cos α + sin α21 + ctgαsin αб) –cosx2α – sin4α – cos2α sin2α = –cos2α – sin4α – (1 – sin2α)sin2α = –1.2.
а)⎛ cos 2 2α − sin 2 2α ⎞2sin 4α ⎜⎜⎟⎟2sin 4α 1 − tg 2αcos 2 2α⎝⎠==2⎞2⎛π+α1tg21 + ctg ⎜ + 2α ⎟⎝2⎠(= sin 8α ⋅б))21cos 2 2α sin 2 α + cos 2 α2cos3α cos α + 5cos3α= ctg3α2sin 3α cos α + 5sin 3α132cos 2 2α= sin8α.ПС-7cos 2 x − sin 4 xcos 2 x(1 − 2sin 2 x)= 0 ; sin2x – 1 ≠ 0; cos2x = 0;=0;sin 2 x − 1sin 2 x − 11π ππ−πsin2x = ; sin2x ≠ 1; x = + k ; 2x = (–1)m + πm; x ≠+ πn;24 264ππππ3πx = (–1)m + m , n, r, m ∈ Z, тогда x = (–1)m + m ; x = + πr;12212241. а)б) 3 sin2x–6cos2x= –3; 3 sin2x–3(cos2x+1)= –3; 3 sin2x – 3cos2x = 0,т.к. cos2x = 0 не подходит, то можно разделить выражение на него;π π+ n , n ∈ ∧.6 21112.
а) cos2x – < sin2(x + π); cos2x – sin2x < ; cos2x < ;2225π5π⎛π⎞⎛π⎞2x ∈ ⎜ + 2πn;+ πn ⎟ ;+ 2πn ⎟ ; x ∈ ⎜ + πn;36⎝6⎠⎝3⎠tg2x = 3 ; x =13;<π⎞3⎛ctg ⎜ x + ⎟4⎠⎝π⎛ π⎞x ∈ ⎜ − + πn; + πn ⎟ .4⎝ 12⎠б)ПС-8π⎞⎛3 < ctg ⎜ x + ⎟ ;4⎠⎝(x+π ⎛ π⎞∈ ⎜ + πn; πn ⎟ ;4 ⎝ 6⎠))⎧( x + 1) x − 1 ≥ 0 ⎧ x ∈ (−∞; −1] ∪ ⎡ 1 ; +∞3⎣ 3⎪⎪; ⎨ x ∈ (−∞; 2);⎨ x ≠ −8⎪x < 2⎪ x ≠ −8⎩⎩1⎡⎞x ∈ (–∞; –8) ∪ (–8; –1] ∪ ⎢ ; 2 ⎟ ;⎣3 ⎠⎧3x 2 + 2 x − 1 ≥ 0⎪1. а) ⎨log(2 − x) − 1 ≠ 0 ;⎪⎩2 − x > 0б) sin2x –3π112⎡π⎤≥ 0; sin2x ≥ ; sin x ≥, x ∈ ⎢ + πn;+ πn ⎥ , n ∈ Z;4222⎣4⎦⎧⎧⎪ x ≠ 1⎪x > 0; ⎨x ≠ 1; x ∈ (0; 1) ∪в) y = logxcosx; ⎨ x > 0⎪⎩cos x > 0 ⎪ x ∈ − π + 2πn; π + 2πn22⎩()π⎛ π⎞⎛ π⎞⎜1; ⎟ ∪ ∪ ⎜ − + 2πn; + 2πn ⎟ , n ∈ N;2⎝ 2⎠⎝ 2⎠2.
а) f(–x) = (–x3 – x)(x4 – x2) = –(x3 + x)(x4 – x2) = –f(x) — нечетная;б) f(–x)=− tgx sin | x |cos x2=–f(x) — нечетная; в) f(–x)=|–ctgx|=|ctgx| — четная.1332π 2= π ; б) пусть x > 0, тогда T = 2π, тогда везде T = 2π;ω 53. а) T =в) f(x) = |ctgx|; T = π.ПС-91.
см. график.2. а) x–1 ≠ 0; x ∈ (–∞; 1) ∪ (1; +∞); областьзначений (–∞; 1) ∪ (1; +∞);2, т.к. пусть f(x) = a;x −122x=1+; f′ = −— функция убывает везде на области опреa −1( x − 1) 2f(x) =1 +деления; экстремумов нет.б) область определения (–∞;+∞); (x2–4)2== f(x), тогда область значений[0; +∞); x=0 — максимум; x=±2 — минимумы, тогда на (–∞; –2) ∪ (0;2) убывает, на (–2; 0) ∪ (2; +∞) — возрастает.1ctg2x; область определения (πn; π+πn), область значений [0;+∞),24π⎛⎞⎛π⎞минимумы в+πn; на ⎜ πn; + πn ⎟ убывает; на ⎜ + πn; π + πn ⎟23⎝⎠⎝2⎠в) f=возрастает.а)ПС-101.+а)б)y′= (5 3 x 4 − 5 3 x3 x5 − 5 x2 x −1exб) y′ =134x3 −1в)) x −1 +3x5 − 5 x2 x −13;− ln xe xe2 x=e x − x ln xe xxe2 x=1 − x ln xxe x;34= 5 3( x − x3 −1) x −1 +2ctg x31x 31x 2x 1в) y′ = 3cos3 x − sin + ctg3cos3xsin=−+=2 x2 x33 sin33 33 sin33xx 2 ctg1= 3cos3 x − sin + ⋅ 2 3 ;33 3 sin x32.
f′(x) = 119(3x2 – 2x3)118(3x2 – 2x3)′ = 119(3x2 – 2x3)118(6x – 6x2) == 714x(3x2 – 2x3)118(1 – x).CC11111y; y=C1cos x +C2sin x ; y′= − 1 sin x + 2 cos x ; y(0)=C1 =3;9333333C1211=+y′(0) = 2 3 = –1, C2 = –3, y = 3cos– 3sin x .2 − t (t − 1)(t + 1) t + 133. y′′=ПС-111. а) x ∈ (–∞; –3] ∪ [–1; 0) ∪ (0; +∞) иx=–2;б) x ∈ (–1; 0);+––3в)–1––1x2x1−− >0;1− x 3 − x 4+––2++10(+0+3)( x + 3) x − 14(3 − x) x − 2 x ⋅ 4 ⋅ (1 − x) − (1 − x)(3 − x)3 >0;>0( x − 3)( x − 1)4(3 − x)(1 − x)()x ∈ (–∞; –3) ∪ 1 3 ; 1 ∪ (3; +∞).++––313–1+32. f′(x)=2(x–1)(x–3)2+2(x–3)(x–1)2=(x –1)(x – 3)(2(x – 3) + 2(x – 1)) = –24; (x –2)(x – 1)(x – 3) = –6; x(x2 – 6x + 11) = 0, т.к.
x2 – 6x + 11 не имеет корней, то x = 0, тогда f(0) = 9, тогда y = –24x + 9.3. F = ma; a = v′ = x′′ = 6t +1t2; F = (30t +5t2)H.ПС-121.1352. f′ = 60x5 – 60x4 – 60x3 + 60x2 = 0;x2(x3–x2–x+1) = 0; f′(x)=0 при x=0 и x = –1.–∞; –1–xf′0; +∞+–1; 0+на (–∞; –1) убывает; на (–1; +∞) возрастает;x = –1 — точка минимума.ПС-13131. f′(x) = 20x4 – 60x3 = 0 при x = 0; x = , тогда fmin и fmax х=0, 1 3 ± 1 , ноfmin не существует. fmax 0 = − 31 .2. V = πr2h = πh(16 – h2); V′(h) = 0 при h = 4нимума, то ответ: h = 43, т.к.
h = 43точка ми-.3ПС-141. F′(x) = f(x); F′ = 1 +1x1323⋅ 3x =x+3= f.x1 d (2 x + 1)=2 (2 x + 1) 2122. F(x) = ∫ f ( x) = ∫ x dx − ∫ sin(2 x + 1)d (2 x + 1) − ∫1x3 +1=π83 +111+ cos(2 x + 1) ++C ;22(2 x + 1)π⎛ cos 4 x 1 ⎞⎛ x sin 4 x ⎞ 8 1 1 ⎛ π π ⎞ 1 π+ ⎟dx = ⎜ +;⎟ = + ⎜ − ⎟= −4⎠8 ⎠ π 4 8 4 ⎝ 8 4 ⎠ 8 32⎝ 2⎝43. а) ∫ ⎜π4884377б) ∫ x 3 xdx = ∫ x 3 dx = x 30080=3 7 3846⋅2 == 54 .7774. S = S1 – S2, найдем точки пересечения: –x2 + 4 = x2 – 2x; 2x2 – 2x–4=0;221x2–x–2=0; (x–2)(x+1)=0; x1=–1, x2=2; S1= ∫ ( − x 2 +4)dx = =( − x3 +4 x) =9;−13−1221S2= ∫ ( x 2 +2 x)dx =( x3 +x 2 ) = 8 3 +4+ 1 3 –1=6; S=S1–S2=3.3−1−1ПС-151. (91361 1log82( − log9 4 + 25 125 )log 44 2)⋅7 7= 317.2.
а)log 22log x+ log x =22101101010; log2x = t; + t = ; 1 + t2 = t ; t2– t +1 = 0;3t333⎛ 1⎞(t – 3) ⎜ t − ⎟ = 0; x1 = 8, x2 = 3 2 .⎝ 3⎠1= 65 ; log5x = t; t2 – 4t – 5 = 0; t1 = 5; t2 = –1; x1 = 55, x2 = .51 –2|x–5|3–|x–5|–33. 4≤ ;2≤ 2 ; 2|x–5| ≥ 3; |x – 5| ≥ ; x ∈ ( −∞; 3,5] ∪ [ 6,5; +∞ ) .28б) 6log52 x − 4 log5 xПС-16⎛1⎞⎝ ⎠1.
а) 5x – ⎜ ⎟5б)x−15x2= 4 ; 5 = t; t – = 4; t – 4t – 5 = 0; t1 = 5, t2 = –1; x = 1;tx + 1 + 4 x + 13 = 3x + 12 ; x + 1 + 2 x + 1 4 x + 13 + 4 x + 13 = 3 x + 12 ;2 x + 1 4 x + 13 = −2 x − 2 ;x + 1 4 x + 13 = −( x + 1) ;x + 1( 4 x + 13 + x + 1) = 0 ; x = –1.2. log0,3(x2 – 5x + 7) > 0; 0 < x2 – 5x + 7 < 1; x2–5x+6 < 0; (x – 3)(x – 2) < 0;x ∈ (2; 3).{{2 2⎧m = 4 ; t = 8 ; ⎧ x3 y 2 = 8 ;3.
⎨( x − y ) x 2 y 2 = 4 ; x3y2 = t; x2y3 = m; tt −+ m = 12 m = 4 ⎨⎩ x 2 y 3 = 4⎩( x + y ) x y = 12{⎧⎪ x = 2x = 2 y x = 2,⎨ 2 y 3 4 ; y = 1 ; y = 1.=xy4⎪⎩ПС-171. f(x) = (cosx)sinx = esinx⎛= ⎜⎜ cos x ln cos x −⎝lncosx; f′(x) = (sinx ln cosx)′esinxlncosxsin x ⎞ sinx ln cosx.⎟ecos x ⎟⎠22. F(x) = ∫ (3x 2 + 1)e x3+xdx = ∫ e3x +x3x3+xd ( x + x) = e+ C.3. f′(x) = 2xln2 – ln2 = (2x – 1)ln2; f′(x) = 0 при x = 0.x<0x>0–+x < 0 — убывает; x > 0 — возрастает, т.к.
в x = 0 f(0) = 0 и f возрастаетна x >0, то f(x) > 0; 2x > 1 + xln2.ПС-18dx1. F(x) = ∫ f ( x) = ∫ x1+ 3 dx + ∫ x 3 dx + 2∫ e0,5 xd (0,5 x) + 2∫ =x=x 3+2x 3 +1++ 2e0,5 x + 2ln x + C + 2lnx + C.3+23 +11372. а)б)4; y = C1e33. y′ =x3.Вариант 9ПС-11.345 + 29 2 − 3 45 − 29 2 = 2 21 .Пусть это не так, например:в куб и получим:т.е.:33345 + 29 2 − 3 45 − 29 2 < 2 2 , возведем45 + 29 2 − 3 45 − 29 2 > 2 2 , но это невозможно,45 + 29 2 − 3 45 − 29 2 = 2 2 .2. Пусть всего жидкости за час вытекает, тогда (1 − x 100) 2 = 0,81 , т.е.x=10%.3.( x + 3)( x − 1) + ( x + 1) ( x + 3)( x − 3)=( x − 3)( x + 1) + ( x − 1) ( x + 3)( x − 3)(x − 3(x+3)=x + 3)x + 3( x − 1) + ( x + 1) x − 3x − 3( x + 1) + ( x − 1)x+3; при x = 5 выражение равно 2.x−3=ПС-2abc==, тогда a, b, c проsin α sin β sin γabc=порциональны числам 5, 12, 13.
Пусть 1-я 5x, 2-я 12x, 3-я 13x. S=4R1. Рассмотрим теорему синусов:=5 ⋅ 12 ⋅ 13 ⋅ x 2 ⋅ 2= 30x2; P=5x+12x+13x=30x, x=1 см; S=30 см; P = 30 см.4 ⋅ 13⎧⎧⎡⎞⎞⎪⎪ ⎛⎧ 22. ⎨2 x + 5 x ≥ 01 ; ⎨ x ⎝⎜ x + 2 ⎠⎟ ≥ 0 ; ⎨ x ∈ ( −∞; 0] ∪ ⎢⎣ − 2 ; +∞ ⎟⎠ ;⎩| x |< 6⎪⎩| x |< 6x ∈ (–6; − 5 2 ] ∪ [ 0; 6 ) .1385⎪⎩| x |< 65ПС-3131 34a 4 + bc 21.32+14(4 + c )(a − b)⎛⎛⎜ ⎜ 4a + bc⎜ ⎜⎝1= 1⎜⎜4( a − b) ⎜⎜⎝14a 4 c 2 − 4b32=14(4 − c )(a − b)323⎞ ⎛ 1 33⎞⎞⎞⎛⎞⎛⎟⎜ 4 − c 2 ⎟ + ⎜ a 4 c 2 − 4b ⎟⎜ 4 + c 2 ⎟ ⎟⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟⎟⎠⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠⎟=316 − c⎟⎟⎟⎠131 31 313⎛⎜ 16a 4 + 4bc 2 − 4a 4 c 2 − bc3 + 4a 4 c 2 − 16b + a 4 c3 − 4bc 2= 1⎜16 − c3(a 4 − b) ⎜⎝11⎛⎞⎜ 16a 4 − bc3 − 16b + a 4 c3 ⎟ 16 + c31(с > 0).= 1⎜⎟=16 − c316 − c3⎜⎟4( a − b) ⎝⎠12.121=+;2 − t (t − 1)(t + 1) t + 1y2=t;⎞⎟⎟=⎟⎠2t − 1 − 2(2 − t ) − (2 − t )(t − 1)=(2 − t )(t − 1)(t + 1)⎛ 3⎞(t + 1) ⎜ t − ⎟22t − t − 3⎝ 2⎠ = 0; t = 3 ; y = ± 3 .==0;22(2 − t )(t − 1)(t + 1)(2 − t )(t − 1)(t + 1)ПС-4⎛⎝(1⎞)() ⎛⎝1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
