ivlev-gdz-11-2001 (546285), страница 14
Текст из файла (страница 14)
a = 24 – 4x, тогда (24 – 4x)3x2 = f(x). Эта функция должна иметьнаибольшее значение в x ∈ [0; 6], т.е. если x < 0, то значение отрицательное, что противоречит условию, а если x > 0, то a — отрицательное, что тоже противоречит условию. Исследуем f(x) на максимум:f(x) = –12x3 + 72x2; f′(x) = –36x2 + 144x; –36x2 + 144x = 0 имеет решениеx=0 и x = 4, когда наибольшее значение достигается при x = 0; 4 или 6.f(0) = 0; f(6) = 0; f(4) > 0, т.е. искомые слагаемые — это 4, 12, 8.ПС-141. F(x) = –3ctgx + 2 sin x + C, C=const.110⎛π⎞F ⎜ ⎟ = –2 + C = 0; C = 2, тогда F(x) =–3ctgx + 2 sin x + 2 .⎝4⎠22. а) Найдем точки пересечения линий: = 1 , x = 2; y = 1; x = 1; y = 2.x22Тогда S = S1 –S2; S1 = ∫ dx = 2 ln 2 = ln 4 ; S2 = 1, тогда S = ln4 – 1 ≈ 0,39 .1xб) Найдем точки пересечения линий: 5=x2+4x+5; x=0; x=–4; S = S1 – S2;⎛ − x304x⎞2S1 = 20; S2= ∫ ( x 2 +4 x +5)dx = − ⎜⎜+− 5x ⎟⎟2−4⎝ 3⎠⎛ −43 4 ⋅ 42⎞− ⎜+− 5 ⋅ 4⎟=−4⎜ 3⎟2⎝⎠064 ⎞12⎛ 64 64⎞⎛= − ⎜ − − 20 ⎟ = − ⎜12 − ⎟ = 9 , тогда S = 10 .33 ⎠33⎝ 2⎠⎝ПС-151.
а) 9log3 4−0,5=9log 433=16; б) log 4 2 + log3 3 = 1 .32. а) log3(25x – 2·5x) = 2log15; 25x – 2·5x – 15 = 0, t = 5x; t2 – 2t –15 = 0;t=5 ⇒ x = 1;б) (2x+3)(x–4)=x2+16–8x; 2x2+3x–8x–12=x2+16–8x; x2+3x–28=0; D=121⇒ x1=4; x2= –7 — не подходит; х > 0.Ответ: х = 4.ПС-16191. а) log32 х < 4, log3x < 2 и log3x > –2; х∈ ( ;9) ;б) log3x·log3 x ≤ −2 ; 2log3x(log3x–2) ≤ −2 ; 2 log32 х – 4log3x+2 ≤= 0 ;942t= log3 x; 2t – 4t+2 ≤= 0 , (–1)2 ≤= 0 ; t = 1; x = 3.⎧2 x + y = 5⎧2 x + y = 5⎪⎧5 y = 52. ⎨ x − log y = 4 ; ⎨ 2 x; ⎨ x; xy == 1,2.=24y4y⋅=⎩2⎩⎪y⎩{ПС-171. y = 2xex–1; y′ = 2ex–1 + 2xex–1; y′ = 0 при x = –1 — это экстремум, приx > –1, y′ > 0; при x < –1, y′ <0, т.е. возрастает на (–1; +∞), убывает на(–∞; –1); –1 — точка минимума. y (−1) =−2e2.02. S = S1 – S2; S1 = e; S2 = ∫ e− x dx = e − 1 ; S = 1.−1111ПС-184dx1 4 d (3 x + 4) 11 16= ∫= ln(3x + 4) = ln ;3x+433x+433 1022241.
а) ∫15б) ∫315dx⎛ 1 ⎞=⎜⎟ ln x = 1 .x ln 5 ⎝ ln 5 ⎠3281 x2. S1 = ∫ dx = 8ln 2 ;884xS2 = ∫ dx = 8(ln 8 − ln 4) = 8ln 2 .3. f′(x) =2; f′(1) = 1; f(1) = 2ln2 = ln4;x +1y = x + (ln4 – 1).Вариант 5ПС-11.3352+−=5− 17+ 27 −5(5+ 23) + 5(7− 25) − 2(7+ 52) =02. Пусть вторая имеет длину x см, тогда первая 0,75x см, тогда525 = 1,75x см; x = 300 см, тогда длина первой 225 см.ПС-21. Пусть количество всего раствора 1, тогда воды 0,8, после испаренияосталось 0,6.
Всего раствора 0,8, поэтому концентрация равна:0, 2⋅ 100% = 25%.0,82.y=kx+b, прямая параллельна данной k= –3, т.к. проходит через(3; –1); b = 8, т.е. y = 8 – 3x.ПС-31. В задачнике, вероятно, опечатка, следует писать:1⎛⎞⎛ x2y ⎞ ⎜ x2 + y 2 x2 − y ⎟ x4 + y x4 + y x2 y−−.:=⎜ 2⎟:⎟=⎜ x − y x 2 + y 0,5 ⎟ ⎜yx2 ⎟ x4 − y x2 y x4 − y⎝⎠ ⎜⎝⎠3y58+=.2.3y − 2 3y + 2 9 y2 − 42⎧⎪y ≠ ±⎧9 y 2 − 4 ≠ 0;⎨3 y (3 y + 2) + 5(3 y − 2) = 8 ; ⎨3⎩⎪⎩9 y 2 + 6 y + 15 y − 10 = 8112⎧2⎞⎛⎪⎪( y + 3) ⎜ y − 3 ⎟ = 0⎝⎠; у = –3.
Ответ: у = –3.⎨⎪y ≠ ± 2⎪⎩3ПС-41. y = 6x2 + 5x + 1= ( x + 1 2)( x + 1 3 ) ⋅ 6 = 0 ; x = − 1 2 − 1 3 , тогда y > 0 на1⎞ ⎛ 1⎛⎞⎜ −∞; − ⎟ ∪ ⎜ − ; +∞ ⎟ ; y ≤ 0 на2⎠ ⎝ 3⎝⎠1⎤⎡ 1⎢− 2 ; − 3 ⎥ .⎣⎦2. 2x=t; t2+10t+25=0; D=100–100=0; t1,2= –5⇒t2+10t+25= (t+5)(t+5)==(t+5)2=(2x+5)2.1 ⎞⎛1⎞⎛3. ⎜ x + ⎟⎜ x − ⎟ = 12x2 + x – 1=0.3 ⎠⎝4⎠⎝ПС-51. a3=8; a11=17; a3 = a1 + 2d; a11 = a1 + 10d, тогда a11 – a3 = 8d = 9, d =9;823.4313 17172. S = − ⋅=− ⋅ =− .13 1 − 213 15651713. 0,2(142857) = + S, где S — сумма геометрической прогрессии с50,0142857 14285,7 11b1 = 0,0142857; q =;S===, тогда наше9999910000000999999 7010000000311число равно 5 + 70 = 14 .a4a1 = –2d + a3 = − + 8 =ПС-61.
а)2sin α cos α − cos α2= ctgα; ctg2sin α − sin αsin x cos x sin xб)= sin2x.cos x(−ctgx)(− tgx)π=1+ 2 ;821 − 2cos 2αcos 4αsin 2 2α − cos 2 2α= –ctg4α; tg2α – ctg2α === −21sin 2α cos 2αsin 4αsin 4α2cos 4α= –2ctg4α. Что и требовалось доказать.= −2sin 4α2. а)113cos α1(cos α sin α + cos α )sin α =sin α = (1 + sinα).cos αcos αsin αsin αcos α +б)ПС-71.
а) sin6x + sin2x = sin4x; 2sin4x cos2x = sin4x; (2cos2x – 1)sin4x = 0;sin4x > 0; cos2x = 1 2 ; x1 = πn 4 ; x2 = ± π 6 + πk , k, n ∈ Z;⎧cos x ≠ 0б) 3sin2x + cos2x = 2sin2x; 3sin2x + cos2 x = 4sinx cosx; ⎨ 2;3tg x + 1 = 4tgx⎩4±2⇒t1=1; t2= 1 ; t=tgx ⇒ tgx1=1;t=tgx; 3t –4t+1=0; D=16–12=4; t1,2=36πx1= + πn ; tgx2= 1 3 ; x2=arctg 1 3 +πk, k, n ∈ Z.42111; –sinx > ; sinx < − ;222ππ πn∈Z;+ πn ≤ 3 x − ≤ + πn ;34 27 π + π n ≤ x ≤ π + π n ; n ∈ Z.363432. а) sinx(2cos2x – 1) > 2cos2x sinx +11π⎛ 7π⎞+ 2πn;+ 2πn ⎟ ;x∈⎜6⎝ 6⎠7 π + πn ≤ 3x ≤ 3π + πn ;124ПС-8{⎧ 21. а) ⎨ x − 2 x − 15 ≥ 0 ; (xx<+03)( x − 5) ≥ 0 ; x ∈ (–∞; –3];⎩− x > 0б) tgx – 1 > 0; tgx > 1; x ∈ (π 4 + πn; π 2 + πn) ; n ∈ Z; в) y = logtgx sinx.⎧ x ≠ π + πn4⎧⎪sin x > 0 ⎪⎪⎨ tgx > 0 ; ⎨ x ∈ (πn; π 2 + πn) , x ∈ (2πn; π 4 + 2πn) ∪ (π 4 + 2πn; π 2 + 2πn) .⎪⎩ tgx ≠ 1 ⎪ x ∈ (2πn; π + 2πn)⎪⎩2.
а) f(–x) = (x2 – 1)(–x3 – x) = –f(x) — нечетная;б) f(–x) = lg| x | – log2x4 = f(x) — четная;в) f(–x) = − x − 3 — ни четная, ни нечетная.3.114ПС-9а)б)в)г)ПС-101. а) y′ = (4 x 4 )′ − (2 x 5 )′ + ( 1 x )′ = 16x3 – 2 5x5 −1−1x2;б) y′ = ( x − 1)′ ⋅ 2 x + ( x − 1) ⋅ (2 x )′ = 2x + (x – 1)2xln 2;в) y =(ln x + 1)( x − 1) − x ln x( x − 1)2=x − 1 − ln x( x − 1)2.2.
f′(x) = 2sin3x(cos3x) ⋅ 3 = 3sin6x.3. y = C1sin2t + C2cos2t; y(0) = 0 = C2; y′(0) = 2C1 = 3; C1 =33; y = sin2t.22ПС-111. а)( x − 1)( x − 3)23–2(x + 2 _x ∈ (–∞; –2) ∪ (–2; 1] ∪ [3; +∞).б) x ∈ (3; 6) ∪ (6; +∞).в) x ∈ (–∞; 0) ∪ (2; 3).++≥ 01 ;неопр.+03x+x6–+1+3+––1––12+32. f′(x0) = 3 = 3x2; x = ±1; x = 1; y = 3x + 2; x = –1; y = 3x – 2.1153. F=ma; m=3 кг; a=v′=x′′(t)=(2–4sin2t)м/с2; F = 3 (кг)·2(1–2sin2t) м/с2 == 6(1 – 2sin2t)H.ПС-121. f′(x) = 2x – 1; g′(x) =11; 2x – 1 ≤.| x||x|⎛⎝1⎞а) x > 0; (2x – 1)x ≤ 1; 2x2 – x – 1 ≤ 0; ⎜ x + ⎟ (x – 1) ≤ 0, тогда x ∈ (0; 1];2(б) x < 0; | x |(2x – 1) < 1; x + 1⎛⎝2⎠) (x – 1) ≥ 0; x ∈ ( −∞; − 1 2 ⎤⎦ .1⎤Ответ: x ∈ ⎜ −∞; − ⎥ ∪ (0; 1].2⎦2.
f′(x) = –4x3 + 6x2 = x2(6 – 4x); f′(x) = 0;x2(6 – 4x) = 0; x = 0; x =x33, тогда x = 0 и x =22–112++–экстремумы:, т.е.33(−∞;] — возрастает; [ ; +∞) — убыва22—ет.ПС-1323131f(2) = − , тогда наибольшее 10, наименьшее −4 .33f′(x) = 4x3 – 8x2 = 0; x = 0; x = 2; f(–1) = −4 ; f(3) = 10; f(0) = 1;2. V = πr2h; S = 2πr2 + 2πrh = 2πr2 +VV2V; S′ = 4πr – 2 2 = 0; r = 3.r2πrПС-14⎛ 1⎞⎝⎠111.
F(x) = x − cos5 x + 2 5 − 2 x ⎜ − ⎟ + C = 2 5 − 2 x + x − cos5 x + C .5252. F(x) =F(x) =−π243.а) ∫0116x43+ x − tg2 x + C ; F(0) = –2, тогда C = –2;42x43+ x − tg2 x + (−2) .422dxπ⎞sin ⎜ 2 x + ⎟4⎠⎝2⎛−=π24∫0π−π⎞⎛24d ⎜ 2 x+ ⎟π4⎛⎞⎝⎠ = − ctg 2 x += − 3 +1 =1− 3 .⎜⎟π⎞4⎠2⎛⎝sin ⎜ 2 x + ⎟04⎠⎝22dxб) ∫−3 (3 −x) 22d (− x + 3)−3(3 − x)2= −2 ∫21=2(3 − x)=5.3−34.
y = 6x – x2; y = 0; точки пересечения x = 0, x = 6.6613S = ∫ ( x 2 + 6 x)dx = (− x3 + 3 x 2 ) = –36 ⋅ (2 – 3) = 3600ПС-151. lg 25log5 0,8 + 9log3 0,6 = lg(0,82 + 0,62) = 0.2. а) log2(2x – 1) + log2(x + 5) = log213.1⎧⎧⎪ 2 x − 1 > 0⎪⎪ x > 26 3; ⎨; x= = .⎨x + 5 > 06⎞⎛4 2⎪⎩(2 x − 1)( x + 5) = 13 ⎪( x + 6) ⎜ x − ⎟ = 04⎠⎝⎩⎪()б) (0, 25) x2−4= 2x2+1; 2−2( x2− 4)= 2x2+1; –2x2 + 8 = x2 + 1; –3x2 = –7;7.3x=±3.
lg(x2 – x) ≤ lg(3x – 3).⎧ x2 − x > 0⎪;⎨3x − 3 > 0⎪⎩ x 2 − x ≤ 3 x − 3⎧⎪ x ∈ (−∞; 0) ∪ (1; +∞); x ∈ (1; 3].⎨ x ∈ (1; +∞]⎪⎩ x ∈ [1; 3]ПС-16log 22 x − log 2 x1. а) 3⎛ 1 ⎞=⎜ ⎟⎝ 27 ⎠log 21x; log 22 x − log 2 x = −3log 21; log2x = t; t2 – t = 3t;xt2 – 4t = 0; t = 0; t = 4, т.е. x = 1 и x = 16;б) log 3 (2 x − 5)x−2= x − 2 ; log3(2x – 5) = 1; 2x – 5 = 3; x = 4.22. lg x + lgx –2 ≤ 0; t = lgx; t2 + t – 2 ≤ 0; (t – 1)(t + 2) ≤ 0; t ∈ [–2; 1];⎡ 1⎤; 10 ⎥ .⎣100⎦t = lgx; x ∈ ⎢⎧ 1 13⎪t + t = 6⎧ y x 13⎪⎪y⎪ + =;3.
⎨ x y 6 ; ⎨t =x⎪⎩⎪ x + y = 5⎪ x = (1 + t ) = 5⎪⎩⎧⎪ 2⎪6t − 13t + 6 = 0;⎨ x(1 + t ) = 5y⎪⎪⎩t = x⎧⎛ 3 ⎞⎛ 2 ⎞⎪⎜ t − 2 ⎟⎜ t − 3 ⎟ = 0⎠⎝⎠⎪⎝5⎪;⎨x =⎪ y = 1tx+ t⎪⎪⎩23t = ; x = 3; y = 2. t = ; x = 2; y = 3.11223 12 2117ПС-17221. f′(x) = (x2 – 1)′ex –1 + 2xln2 = 2xex –1 + 2x⋅ln2.2. y(x) = −e− x +y(x) = −e− x +3.
y′= e3ln2xy′(x)2x1212+ C ; y(1) = 2 = − +;+C ; C =2+ −e ln 2e ln 2ln 22x21−+ +2.ln 2 ln 2 e26ln x 6ln x ⎞−⎟ = 0 ; lnx=0; lnx=1; x=1; x=e; xmin=1;xmax=e.xx ⎟⎠0; 11; ee; +∞x − 2 ln3x⎛⎜⎜⎝–+–ПС-181. а) f(x)=ln(3x–1)+log2(3x – 1); f′(x)=б) f′(x) =()3 − 1 ( x + 1)3 −2333 ⎛1 ⎞+=⎜1 +⎟;3x − 1 ln 2(3x − 1) 3 x − 1 ⎝ ln 2 ⎠.551 x2. а) S = S1 – S2 точки пересечения x = 5 и x = 1; S2 = ∫ dx = 5ln 5 ;12S1 =4+ ⋅ 4 ⋅ 4 = 12 ; S = 12 − 5ln 5 .111б) точки пересечения x = 0, x =1; S = S1 – S2; S1= ∫ x dx =x+12022 +1=011115− 2−=; S2 =;S=.2 +15 +12 +15 + 1 ( 2 + 1)( 5 + 1)=3. y′ = –2y; y = Ce–2x; y(1) = e4 =Ce2; C = e6; y = e6–2x.Вариант 6ПС-11.12()2 + 6 − 12()6 + 3 − 12(7− 312) =0.2. Пусть длина первой x см, длина второй 1,18x см, тогда:(x+1,18x) см = 436 см; x = 200 см; длина второй 200 см, первой 236 см.ПС-21.
Пусть всего раствора 100, тогда воды в нем 75, после испарения 50.s(концентрация) =11825 1= , т.е. 33,3...%.75 32. y = ax + b; a = 3; y = 3x + b; –4 = 3 ⋅ 2 + b; b = –10; y = 3x – 10.ПС-3⎛1. ⎜⎜⎜⎝(b + c2)b − c2()b − c2 ⎞ ⎛ b⎟:⎜⎟⎟ ⎜⎜⎠ ⎝c2 b( b + c ) − c ( b − c ) ⎞⎟ = b − c .( b − c )( b + c ) ⎟⎟⎠ c b22222422. 8(2 + 3y) + 3y(2 – 3y) = –8; 16 + 24y + 6y – 9y2 = –8; 9y2 – 30y – 24 = 0;2⎞2⎛⎜ y + ⎟ (y – 4) = 0, т.к. 2 + 3y = 0 при y = − , то ответ: 4.3⎠3⎝ПС-4⎛1 ⎞⎛1⎞⎛ 1 1⎞1. 8x2 – 2x – 1 < 0; ⎜ x + ⎟⎜ x − ⎟ < 0 ; x ∈ ⎜ − ; ⎟ ; 8x2 – 2x – 1 ≥ 0;4 ⎠⎝2⎠⎝⎝ 4 2⎠()x ∈ −∞; − 1 ⎤ ∪ ⎡ 1 ; +∞ .4⎦ ⎣ 222. 9x – 10x + 1 =(9x – 1)(x – 1).⎛⎝1 ⎞⎛1⎞⎠⎝⎠x1= 20 x 2 + x − 1 = 0 .3. ⎜ x + ⎟⎜ x − ⎟ = x 2 + −4520 20ПС-51.
a4=a1+3b; a13 = a1+12b; a13–a4 =9b=–13; b =2. q =b2b1=−−1337, тогда a1=a4–3b = .93b175 1995;S= 1 =− ⋅ =−.1− q17 2612193. 0,4(428571) = 0,4 + S. S — геометрическая прогрессия сb1 = 0,0428571; q =b3131; S= 1 =, тогда 0,4(428571) = .1000000701 − q 70ПС-61. а)2 − 2sin 2 α12 − 2sin 2 α+1 =+ tgα ctgα =21 − cos 2α2sin αsin 2 αпри α =3π;81= 4−2 2 ;2sin α− sin x ⋅ sin x (−ctgx)б)= ctg 2 x .sin x ⋅ sin x ⋅ tgxcos αcos xcos α===1 ;⎛π α⎞ ⎛π α⎞⎛π⎞ cos α2cos ⎜ − ⎟ sin ⎜ − ⎟ sin ⎜ − α ⎟⎝4 2⎠ ⎝4 2⎠⎝2⎠sin α + tgα tgα=+ sinα ctgα = 1 + cosα.б)tgαtgα2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
