ivlev-gdz-11-2001 (546285), страница 10
Текст из файла (страница 10)
2 tgx > ⎜ ⎟2(− ctgxtgx; 2 >2ctgx; tgx>ctgx; ctgx–tgx<0; 2ctg2x<0; ctg2x<0;) ()x ∈ π + πn; π + πn ∪ − π + πk ; πk , n, k∈Z.424C–171. log30 8 =lg8 lg(1000 :125) 3 − lg125 3 − 3a===.lg 30lg(10 ⋅ 3)1 + lg31+ b2.log 2 x 2 + log x ⋅ x32()log x log 2 x +12(+ 1 log 2 x 4 + 22 4)(−3log 0,5 log 2 x)2= 3 1 + 2log 2 x + log 2 x log 2 x + 1 + 1 2 2log 2 x + 2(3log log x2= 3 1 + 2log 2 x + log 22 x + log 2 x + 2log 22 x + log32 x = 3 1 + log 2 x103. 57>310, поэтому 5> 3 7 , так что log 3 5 >=)3==1+log2x.10 10100;> 2 , так как>2.7799Так что log 3 5 > 2 .С–181. y = ln x − 2 − 1 ; y=1–lnx при 0 < x ≤ e y=lnx–1при e < x ≤ e2 , y=3–lnx при e2 < x ≤ e3 и y=lnx–3при x>e3.2. lgtg1°⋅lgtg2°⋅...⋅lgtg88°⋅lgtg89=0, так какlgtg45°=lg1=0.3.y = lg 2 x + 5lg x + 4 ; lg2x+5lgx+4≥0; lgx=t;t2+5t+4≥0; t≤–4 и t≥–1; lgx≤–4 и lgx≥–1; D(y)=(0;10–4]∪[0,1; ∞).С–19⎧{⎪x + 6 > 0⎧ x > 0, x ≠ 1,x > 0, x ≠ 1, x=3;1. а) logx(x+6); ⎨ x > 0, x ≠ 1; ⎨ 22⎩ x − x − 6 = 0; x = −2, x = 3,⎪⎩x + 6 = x79б)log5 x = − log 5; log 5 = y;xx⎧− y ≥ 0,⎪⎨ 12 + 12 y ≥ 0 ;⎪ 1 + 1 y = y22⎩ 2x1 1+ y = −y ;2 2⎧−1 ≤ y ≤ 0,⎧−1 ≤ y ≤ 0,⎨2 y 2 − y − 1 = 0 ; ⎨ y = 1, y = − 1 ; y = − 1 2 .⎩2⎩2.
а) lg(2x–1)+lg(2x–3)>lg(3x–3); lg((2x–1)(2x–3))>lg(3x–3);⎧x > 1 ,2⎪⎨x > 3 2 ,⎪4 x 2 − 11x + 6 > 0,⎪⎩⎧2 x − 1 > 0,⎪⎨2 x − 3 > 0,⎪⎩4 x 2 − 8 x + 3 > 3 x − 3;{(x > 1,5,x − 2 )( 4 x − 3) > 0;⎧ x > 1,5,⎨x < 3 x > 2; x > 24⎩б) 210 − x− ( x − 9 ) lg ( x − 9 ) < 0 ; Область определения: х∈(9; 10], но притаких x (x–9)lg(x–9)< 0, поэтому 2решений нет.С–201.а)(10 − x)− ( x − 9)lg ( x − 9 ) > 0 , так что()0,5lg ( 8 − x ) = lg 1 + x + 5 ; lg 8 − x = lg 1 + x + 5 ; 8 − x = 1 + x + 5;⎧8 − x ≥ 0,⎪8 − x − x + 5 = 1; ⎨ x + 5 ≥ 0,⎪8 − x − 2 ( 8 − x )( 5 + x ) + x + 5 = 1;⎩⎧−5 ≤ x ≤ 8,⎧−5 ≤ x ≤ 8⎨ ( 8 − x )( 5 + x ) = 6 ; ⎨40 + 3 x − x 2 = 36 ;⎩⎩Но х=4 – посторонний корень, т.к.x = −1,⎧−5 ≤ x ≤ 8,1⎨ x 2 − 3 x − 4 = 0,x = 4.⎩28 − 4 − 4+5= − 1 ≠ 1 . Так что х=–1.б) 1 − log 1 x +1 = 2 − log 1 x .99111) log 1 x ≤ 1 , т.е.
x ≥ : 1 − log 1 x + 1 = 2 − log 1 x – верно при всех x ≥ ;99991 < log x < 2 ,2)19тоесть1⎛ 1 1⎞log x = 1, x = , не входит в ⎜ ; ⎟ ;19⎝ 81 9 ⎠980911< x < : log x − 1 + 1 = 2 ⋅ log x;11819991: log x − 1 + 1 = log x − 2 – неверно ни11813) log 1 x ≥ 2 , то есть 0 < x ≤999⎡1 ⎞⎛ 1⎤при каких x ∈ ⎜ 0; ⎥ . Значит решение x ∈ ⎢ ; ∞ ⎟ .⎝ 81 ⎦⎣9 ⎠12.
а) log 24 x + log 4 x > 1,5; log 24 x + log 4 x > 1,5; log 4 x = t ; 2t 2 + t − 3 > 0 ;21(t–1)(2t+3)>0; t<–1,5 и t>1; log4x<–1,5 и log4x>1; 0 < x < и х>4;8( )б) log x 2 x ≤ log x 2 x3 ; 1 + log x 2 ≤ log x 2 + 3; log x 2 = t ; 1 + t ≤ t + 3 ;⎧1 + t ≥ 0,⎪;⎨t + 3 ≥ 0⎪(1 + t )2 ≤ t + 3⎩{⎧t ≥ −1,⎪t ≥ −1,; t − 1 t + 2 ≤ 0 ; t ≥ −1, ; − 1 ≤ t ≤ 1 ;⎨t ≥ −3,−2 ≤ t ≤ 1()( )2⎪⎩t + t − 2 ≤ 0{–1≤logx2≤1.111≥ 2 ≥ x; 0 < x ≤ ; 2) х>1: ≤ 2 ≤ x; x ≥ 2 .x2xРешение: x ∈ (0; 1 2] ∪ [ 2; ∞ ) .1) 0<x<1:С–21⎧⎧ x ≥ 0,⎧ x y 2 −15 y + 56 = 1 ⎪ 2⎪ x ≥ 0,а) ⎨; ⎨ y − 15 y + 56 = 0; ⎨ y = 7, y = 8,12⎩y − x = 5⎪⎩ x = y − 5⎪ x = 2, x = 32⎩ 1⎧ x1 = 2,⎧ x = 3,⎨ y = 7 и ⎨ y2 = 8;⎩ 1⎩ 2⎧⎪ x 2 − y xy = 36,;б) ⎨ 2⎪⎩ y − x xy = 72на первое, получим:⎧⎪ x 2 − xy = 36,б) ⎨ 2;⎪⎩ y − x xy = 72(())⎪⎧ x x x − y y = 36,; поделим второе уравнение⎨⎪⎩ y y y − x x = 72yx= −2 ;((⎧⎪ x x⎨⎪⎩ y y{(())x − y y = 36,y − x x = 72.))⎧⎪ x x x − y y = 36,; так что1) если xy >> 00 , тогда ⎨⎪⎩ y y y − x x = 72может быть, так какx1= − , чего не2yx≥0;y812) если(({xy << 00 , тогда))⎧⎪ − x − x − x − y − y = 36;⎨⎪⎩ − y − y − y − x − x = 72−x 1= , так что−y 2− y = 2 − x ; у=4х; x 2 − 4 x x 4 x = 36 ; х2+8х2=36; х2=4; х=–2; у=–8.3) Случай х=0 или у=0 не являются решениями.
Так что решение:(–2; –8)С–221. а) не обратима, так как у(–1)=у(1)=2;б) так как функция непрерывна и у(0)>0, а у(1)<0, а у(10)>0, то существуют х1∈(0; 1) и х2∈(1; 10), такие что у(х1)=у(х2)=0. Так что функциянеобратима;в) функция возрастает на всей прямой, так как у/=3х2+7>0, так чтопринимает разные значения в разных точках, так что обратима;1г) функция обратима, так как y / => 0 при всех х, значит функ3 23 xция возрастает.С–23( )/1. f / ( x) = ( x ) 1 e⎛1⎞=⎜ ⎟⎝e⎠x2 − x(1 − 2 x22x −x⎛+ x ⎜⎜ 1e⎝( )2x −x/⎞⎟⎟ = 1 e⎠( )2x −x( e)− x ( 2 x − 1) 12x −x=)+ x , f/(x)=0 при х=1 и1 /1; f (x)>0 при − < x < 1 , f/(x)<0 при221и х>1.
Так что xmin= − 1 2 , xmax=1.x<−21lg x +1 − 22. y = 10 ( ( ; y =x + 1 , при х≠–1.100ln eln π3. Сравними. Так как дляeπln x /1 − ln xf(x)=, f ( x) =, то и f/(x)<0 при2xxx=−х>e.Такчтоубываетна[e;∞).Тоестьf(π)<f(e),ln π ln eеπeπ<; e ln π < π ln e, ln π < ln e , так что π <e .πe4.f(x)=(3x2+1)⋅ 4 x3F ( x) =823+x;(4 x3+x /) = (3 x 2 + x) ⋅ ln 4 ⋅ 4 x4x + x+ C – первообразная.ln 43+x,такчтоС–241. а)f / ( x) = (log 2 ( x 2 − sin x)) / = 2log ( x 2 − sin x) ⋅ (log ( x 2 − sin)) / =222=2log ( x − sin x)( x 2 − sin x)ln 2()/б) f / ( x ) = ln cos x 2 =32. ∫23x232⋅ ( x − sin x) =2x −1( ((2 x − cos x) ⋅ 2log ( x 2 − sin x)2( x 2 − sin x)ln 2;sin x/12 = − 1 tg x .⋅ cos x=−22xx2cos2cos22() )(32dx = ln x − 13)= ln 26 − ln 7 = ln226.73ln x(1 + lg x ) ; у/=0 приxх=1 и х= 110 ; у/>0 при 0 < x < 110 и х>1; у/<0 при 110 < x < 1 , так что увозрастает на 0; 110 ⎤ ∪ [1; ∞ ) и убывает на ⎡ 110 ; 1⎤ .⎦⎣⎦3.
y = (1,5lg x) +( lg x) = 3ln x ⋅ 1 x + 3lg 2 x ⋅ 1 x =/2/3= e2 x lnx/(С–251. y =2.5( x)2x()= e x ln x ; y / ( x ) = e x ln x/= e x ln x ( x ln x ) = x x ( ln x + 1) ./32, 20 − 4 15,88 ≈ 0,006 .3. y / ( x ) =(x 2 − 4 x + 4) / x 3 +(x 2 − 4 x + 4)(x 3 ) / = 2( x − 2) x 3 +(x − 2) 2 3 x= ( x − 2) xх=3 −1(2x +)3 ( x − 2) ;(y/ ( x) = 0прих=0,х=2)2 3= 2 3 2 − 3 = 4 3 − 6 ; у/(х)>0 при 0<x<2 и2+ 33 −1=иx > 4 3−6;у/(х)<0 при 2<x < 4 3 − 6 . Так что у – возрастает на [0; 2]∪∪ [ 4 3 − 6; ∞) и убывает на [2; 4 3 − 6 ].C–261.Пусть42t2,5= 0,5; 2черезt2,5= 8;tчасовостанется0,5кг,тогда:t= 3; t = 7,5 ч.2,5x2.
2уу/=у2; (у2)/=у2; так что y 2 = C1e x ; y = Ce 2 (где C = C1 ).3. у//=–3у. Общее решение у=arccos( 3x ) + b sin ( 3x ) . Так как у(0)=–2,то а=–2, а у/(0)=–6, то есть 3b = −6 b = −2 3 . Так что y=–2cos( 3 x)–12π3sm( 3 x))–4cos( 3 x+2 3 sm( 3 x)=4( − cos( 3 x)–lim ).223 x→∞83ПОВТОРИТЕЛЬНЫЕ САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫВариант 1ПС–17−4 31.7+4 3+7+4 37−4 3(7 − 4 3 ) + (7 + 4 3 )(7 + 4 3 )(7 − 4 3 )2=2=49 − 56 3 + 48 + 49 + 56 3 + 48= 194 .49 − 482. Пусть рабочий изготовил x деталей, тогда по плану он должен былизготовить 0,8x деталей, следовательно, рабочий перевыполнил планx − 0,8 xна⋅ 100% = 25%.
Ответ: на 25%.0,8 x=ПС–21. Пусть путь равен S км, тогда поезд тратил S 70 ч на этот путь доувеличения скорости, а стал тратить S 85 ч после увеличения скорости, следовательно, время, затрачиваемое поездом на один и тот жеSS−157085путь, уменьшилось на⋅ 100% =⋅ 100% ≈ 17,65%S8570Ответ: ≈ 17,65%.2. Уравнение прямой имеет вид y = kx + b, у параллельных прямых коэффициенты k при x совпадают, значит, искомая прямая имеет видy = 2x + b. Подставим точку M(5; 1) в это уравнение. 1 = 2⋅5 + b, b = –9,следовательно, искомая прямая: y = 2x – 9.ПС–3a 2 − ac 2 + 2c 2 − 4a 2 − 4a + 41.− 2=224a + 2 a + 2c − ca + ac 2 − 2a − 2c 2(a − 2)(a + 2) − c 2 ( a − 2)( a − 2) 2=−=222(a − c )(a + c ) + 2( a + c ) a ( a + c 2 ) − 2(a + c 2 )=a−2−a+2(a − 2)(a + 2 − c 2 )( a − 2) 2−==022a + c2( a + c )(a + 2 − c ) (a − 2)(a + c 2 )⎧ x( x + 3) + 4( x − 3) − 18 = 0 ⎧ x 2 + 7 x − 30 = 0418x; ⎨+= 2; ⎨;x − 3 x + 3 x − 9 ⎩ x ≠ ±3⎩ x ≠ ±3−7 ± 13; x1 = 3 — посторонний корень; x2 = –10.D = 49+120=132; x1,2 =2Ответ: x = –10.2.84ПС–41.
Найдем точки пересечения данной параболы y = 2x2 – 3x + 1 с осьюабсцисс, для чего решим уравнение: 2x2 – 3x + 1 = 0; D = 9 – 8 = 1;3 ±1x1,2 =; x1 = 1 и x2 = 0,5. Поскольку коэффициенты при x2 в уравне4нии данной параболы положительны, то ветви параболы направленывверх и y ≥ 0 при x ∈ (–∞; 0,5] ∪[1; +∞), а y < 0 при x ∈ (0,5; 1).7±3; x1 = 5 и x2 = 2, значит,2. x2 – 7x + 10 = 0; D = 49 – 40 = 32; x1,2 =22x – 7x + 10 = (x – 5)(x – 2).3. (x+ 0,2)(x + 5)=0; x2 + 5x + 0,2x + 1=0; x2 + 5,2x + 1=0; 5x2 + 26x + 5=0.ПС–51.
an=a1 + (n – 1)d=3,4 + (n – 1) ⋅ 0,9=2,5 + 0,9n; S15 ==2a + (15 − 1) d12⋅ 15 =6,8 + 12,6⋅ 15 = 145,5.2b13,5== 2,1.1− q 1+ 233. Пусть x = 23,(45), тогда 100x = 2345,(45), следовательно, 100x – x =2322= 2345,(45) – 23,(45); 99x = 2322; x =, искомая дробь 2,3(45) =99x232219===2 .10990552. S =ПС–6cos 2 α1cos(2α)+1 − cos α 2cos α − 1 + 1 − cos α= − ctgα== −− sin ( 2α )2 sin α ⋅ cos α2cos(π + 2α)221.а)223π111: − ctgα = − ⋅1 = − .4222⎞⎛πsin ⎜ − α ⎟ cos(π − α )cos α ⋅ (− cos α )⎠⎝2= − tgα .=−б) −⎛ cos α ⎞⎞⎛ 3π2+ α⎟cos 2 α ⋅ ⎜ −cos (π − α )tg⎜⎟⎝ sin α ⎠⎠⎝ 2при α = −2. а)2 sin 2α − sin 4α2 sin 2α − 2 sin 2α cos 2α==sin 4α + 2 sin 2α 2 sin 2α ⋅ cos 2α + 2 sin 2α2 sin 2α (1 − cos 2α) 1 − 1 + 2 sin 2 α= tg 2α ;==2 sin 2α(1 + cos 2α) 1 + 2 cos 2 α − 185б)sin αsin αsin α − sin α ⋅ cos α + sin α + sin α ⋅ cos α+==1 + cos α 1 − cos α(1 + cos α)(1 − cos α )=2 sin α2 sin α2=.=1 − cos 2 α sin 2 α + cos 2 α − cos 2 α sin αПС–71.
а) cos5x = cos3x; cos5x – cos3x = 0; –2sin5 x + 3x5 x − 3xsin= 0;22πn, n ∈ Z или sinx = 0; x = πk,4πn, n ∈ Z;k ∈ Z, объединяя эти решения, получим, что x =422б) tg x – 3tgx + 2 = 0; пусть tgx = t, тогда t – 3t + 2 = 0; D = 9– 8 = 1;3 ±1; t1 = 2, то есть tgx = 2, x = arctg2 + πn, n ∈ Z или t2 = 1, тоt1,2 =2ππесть tgx = 1, x = + πk, k ∈ Z.
Ответ: + πk, k ∈ Z; arctg2 + πn, n ∈ Z.44sin4x ⋅ sinx = 0; sin4x = 0; 4x = πn; x =2. а) sin2x > −3π4ππ2π; − + 2πn < 2 x <+ 2πn ; − + πn < x <+ πn ,23363n ∈ Z. Ответ: x ∈ (− π 6 + πn; 2π 3 + πn) , n ∈ Z.ππ ππ3ππ⎞⎛б) tg ⎜ x − ⎟ > 1 ; + πn < x − < + πn ; + πn < x <+ πn , n ∈ Z.44 2244⎠⎝Ответ: x ∈ (π 2 + πn; 3π 4 + πn) , n ∈ Z.ПС–8⎧5 − x ≥ 0 ⎧ x ≤ 51.а) Функция f(x) = 5 − x + log2x определена при: ⎨; ⎨,⎩x > 0⎩x > 0т.е. при x ∈ (0; 5];б) функция y = sin x определена при sinx ≥ 0, т.е. при x ∈ [2πn;π + 2πn], n ∈ Z.2.
а) f(–x) = (–x)5 – (–x) = –x5 + x = –f(x) — нечетная;б) f(–x) = cos(–x) + cos(–2x) = cosx + cos2x = f(x) — четная;в) f(–x) = tg(–x – 1) ≠ ±f(x) — ни четная, ни нечетная.3. См. график.86ПС–9а)б)f(x) = x2 – 4; D(x) = (–∞; +∞);3; D(x) = (–∞; 0) ∪ (0; +∞);E(y) = [–4; +∞); f(x) убывает приxx∈ (–∞; 0], возрастает приE(y) = (–∞; 0) ∪ (0; +∞); функцияубывает всюду на D(x), экстре- x ∈ [0; +∞); минимум x = 0;y(0) = –4.мумы отсутствуют.в)г)f(x) =f(x) = cosx + 2; D(x) = (–∞; +∞);E(y) = [1; 3]; f(x) убывает приx ∈ (2πn; π + 2πn), n ∈ Z; f(x) возрастает при x ∈ (–π + 2πk; 2πk);k ∈ Z; минимумы x = π + 2πn,n ∈ Z; f(π + 2πn) = 1; максимумыx = 2πk, k ∈ Z; f(2πk) = 3;ПС–101.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
