ivlev-gdz-11-2001 (546285), страница 9
Текст из файла (страница 9)
f'(x)>0 приxxx1<x<e и f'(x)<0 при 0<x<1 и x>e. Так что f(x) – возрастает при 1≤x≤e иf(x) –убывает при 0<x≤1 и x≥e.C–25x1. y=xx; y = eln x = e x ln x ; y'=(exlnx)'=exlnx⋅(xlnx)'=exlnx(lnx+1)=xx(1+lnx).2. 4 16,08 − 5 32,60 ≈ −0,005 .713. y′=( x 2 − 2 x +1)′ ⋅ x 2 +( x 2 − 2 x +1)( x 2 )′ = 2( x − 1) ⋅ x+ 2( x − 1)2 ⋅ x 2 −1 =1= 2( x − 1) x 2 −1 ( 2 x + x − 1) ; y'=0 при x=0, x=1 и x == 2 − 1. y'>02 +1при 0 < x < 2 − 1 и x>1, y'<0 при22 − 1 < x < 1 . Так что y – возрастаетна [0; 2 − 1] ∪ [1; ∞) и убывает на ⎡⎣ 2 − 1;1⎤⎦ .С–261. Каждый раз, через 3 часа – остается половина вещества.
Значит допустим, через t часов останется 0,25 кг. Тогда 82t3= 0, 25 ; 2t= 32;3t = 5; t=15 (ч).3x2. 3y2y'=y3; (y3)'=y3, так что y3=Cex и y = 3 C1e x , то есть y = Ce 3 (гдеC = 3 C ).13. y''=–0,25y; общее решение y = a cos x 2 + b sin x 2 ; т.к. y ( 0 ) = 3 2 , то33b333x3x, то=, y = cos +, b=sin =a = , т.к. y ' ( 0 ) =2424222 22= 3 ⎛⎜ 3 cos x + 1 sin x ⎞⎟ = 3 cos x − π = 3 cos x + 11π .222⎠2626⎝ 2()()Вариант 10С–11. При x>0 F'(x)=(x4)'=4x3=f(x); при x<0 F'(x)=(–x4)'=(–4x3)=f(x) При x=0:x3 x − 0F ′ ( 0 ) = lim= x 2 x = f ( x ) . Так что при всех F'(x)=f(x), что иx→0xтребовалось доказать./1⋅ 4 x5 − 3x 2 =2.a) Является, т.к. F ' ( x ) = ( 4 x5 − 3 x 2 + 7) / =522 4 x − 3x10 x 4 − 3x== f ( x ) при всех x∈(1;2);4 x5 − 3 x 2б) Нет, так как F(x) и f(x) определены не для всех x∈(–2;–1).C–2x: F ( x ) = x2 + 1 + C , а1. Общий вид первообразной для f ( x ) =2x +1так как M ( 3;3) принадлежит графику F(x), то 3 = 3 + 1 + C , С=1 и(F ( x) = 1 + x + 1 .272)2.
a) Так как f ( x ) = sin 2 x =1 − cos 2 x, то2F ( x ) = x − sin 2 x + C ;24б) F ( x ) = x3 + 1 + C.С–3a) f ( x)=22sin ( x +1)+3cos(3 − 4 x)+1 , F ( x ) = 2tg(x + 1) − 3 sin(3 − 4 x ) + x + C ;4б) g ( x ) = x cos x − 1 + 2 x ; так как (xsinx)'=sinx+xcosx, то (xsinx+cosx)'== xcosx и F ( x ) = x sin x + cos x − 1 3(1 + 2 x )3 + C.C–4π022π0a) S = ∫ ( x + 2 ) dx + ∫ 2cos xdx = ( x 2 ) ( +2 x ) −2 + 2sin x 02 = −2 + 4 + 2 = 4;−2004б) S = ∫ − xdx + ∫ xdx = − 2 3−902− x330−9+2 3x34= 18 +0161= 23 .33С–53π1.а) ∫π888233π3π8⎛π⎞ 8⎛π⎞⎛π⎞⎛π⎞12sin ⎜ − x ⎟ cos ⎜ − x ⎟ dx = ∫ 6sin ⎜ − 2 x ⎟ dx = 3cos ⎜ − 2 x ⎟ =–3;⎝4⎠π⎝8⎠⎝8⎠⎝4⎠π831138⎛⎞.б) ∫= ⎜− 3⎟ =− + =3253 15 795⎝ 2x − 1 ⎠ 22 (2 x − 1)6 x dx−12. ∫−Adxx2−1 = −11x−1−1 = 1−−A11 1 1−1 = =;< 0,1 при |A|>10, т.е.
А>10AA A A11< ε при |A| > 1 , т.е.< 0,001 при |A|>1000, т.е. А>1000;(т.к. А>1);εAAА> 1 ε .C–61. 9x2=х–2 при x3–2x2–9=0; т.е. (x3–27)–2(x2–9)=(x–3)(x2+3x+9–2x–6)==(x–3)(x2+x+3)=0 при x=3; и при 2<x<33S = ∫( 922x29x2> x − 2 , так что3− ( x − 2))dx = (− 9 − x+ 2 х) = −3 − 9 + 6 + 9 + 2 − 4 = 1.х2222732. Интеграл равен площади фигуры, ограниченной линиями y = 3 − 9 − x 2 и x=3 и x=–3 иy=0. Это прямоугольник со сторонами 3 и 6без полукружности радиуса 3.π ⋅ 32= 18 − 4,5π .Так что S = 6 ⋅ 3 −2С–7По формуле Ньютона F(t)=ma(t). Так что a ( t ) = F ( t ) : m = 6t − 4лее a'(t)=V(t), так что V ( t ) = 3t 2 + 2t2t3.
Да-+ C , а так как V(2)=2, то2 = 12 + 1 + C , так что C = −10 1 ; V ( t ) = 3t 2 + 2 2 − 10 1 ; так как222t88821⎞2 21 ⎞⎛⎛S'(t)=V(t), то: S ( 8 ) − S ( 3) = ∫ V ( t ) dt = ∫ ⎜ 3t 2 + 2 − 10 ⎟dt = ⎜ t 3 − − t ⎟ =t 2 ⎠32t⎝⎠33⎝= 512 − 1 − 84 − 27 + 2 + 63 = 43211 (м).43212С–81. Найдем точки пересечения y4+y2=2, y2=1, y=±1, x=±1. Площадьвнутри параболы равна площади сектора ограниченного y2+x2=2, y=x,y=–x, x≥0 сложенный с площадью фигуры, ограниченной y=x иy = x и с площадью фигуры ограниченной y=–x и y = − x . S =11+∫0()1()x − x dx + ∫ − x + x dx =(01π+ 2∫20()x − x dx =)2π+41⎛2πx2 ⎞+ 2⎜ x x − ⎟ =⎜22 ⎟⎠⎝30= π + 2 2 − 1 = π + 1 .
Площадь вне параболы равна площади23223π +1⎛ π 1 ⎞ 3π 1 S13 = 3π + 2 .− ;= 2круга без S1, то есть S 2 = 2π − ⎜ + ⎟ =9π − 2⎝ 2 3 ⎠ 2 3 S2 3π − 1232.π2⎞4⎛∫ cos ⎜ x − 12 ⎟dx = ∫ ⎜⎜⎝⎠ππ3π⎛2⎜1= ∫⎜ +π⎜ 43⎜⎝74ππ⎛1+2⎜3⎜⎝2π⎞⎞⎛cos ⎜ 2 x − ⎟ ⎟6⎠⎟⎝dx =2⎟⎟⎠π⎞π⎞⎞⎛2⎛cos ⎜ 2 x − ⎟ cos ⎜ 2 x − ⎟ ⎟6⎠6⎠⎟ =⎝⎝dx+24⎟⎟⎠π⎛2⎜π⎞π⎞⎞⎛⎛cos ⎜ 2 x − ⎟cos ⎜ 4 x − ⎟ ⎟163⎠⎟⎝⎠+ +⎝dx =288⎟⎟⎠1= ∫⎜ +⎜π 43⎜⎝π⎛π⎞π⎞⎞ 2⎛⎛⎜ 3 x sin ⎜ 2 x − ⎟ sin ⎜ 4 x − ⎟ ⎟3π 13 π 1 4π − 8 − 36⎠3⎠⎟⎝=⎜ + ⎝= + −− − =.+16 8 64 8 464432⎜ 8⎟⎜⎟π⎝⎠3С–91.
Поперечное сечение многогранника – прямоугольник со сторонамиA−( A − a ) x и B − ( B − b ) x . Т.о.hh⎛( A − a ) x ⎞⎛ B − ( B − b ) x ⎞ .S ( x) = ⎜ A −⎟⎜⎟hh⎝⎠⎝⎠hh⎛⎛ ( A − a ) B ( B − b ) A ⎞ 2 ( A − a )( B − b ) ⎞+V = ∫ S ( x ) dx = ∫ ⎜ AB − x ⎜⎟⎟dx =⎟+ x⎜hhh200⎝⎝⎠⎠h⎛⎛ B ( A − a ) A ( B − b ) ⎞ x 2 ( A − a )( B − b ) x3 ⎞= ⎜⎜ ABx − ⎜+⎟ =⎟ +3 ⎟⎠hhh2⎝⎠ 2⎝0= ABh −hh( ( A − a )( B − b ) ) + 3 ( A − a )( B − b ) =2h6= (6 AB − 3 AB + 3aB − 3 AB + 3 Ab + 2 AB − 2aB − 2 Ab + 2ab) ==h( B ( A + 2 A ) + b ( A + 2a ) ) .62. Площадь части сферы, заключенной между плоскостями, проведенными на глубине x и x+∆x, равна Sx=2πr∆x, давление на эту частьrx2=Px≈xSxρg≈2πrρgx∆x Так что ρ = ∫ 2πrρgxdx = 2πrρg ∫ xdx = 2πrρg200rr0= πr 3ρg , где ρ – плотность воды, g –ускорение свободного падения.С–1033⎛ 2+ 3 ⎞⎛1+ 3 ⎞ 1+ 3 3 + 9 + 3 3 5 + 3 3⎟ ==и ⎜1. Верно, т.к.
⎜⎜ 3 ⎟⎟ =⎜ 3 20 + 12 3 ⎟8⋅28⎝ 2 2 ⎠⎝⎠=()()26 + 15 3 12 3 − 208 + 12 3 + 18 + 3 320 + 12 3 5 + 3 3=.== =1443400⋅−32820 + 12 3752⎛22⎜ a+ a −b − a− a −b⎜⎜22⎝2.⎛2a+ a −b=⎜− 2⋅⎜2⎜⎝⎞⎟ =⎟⎟⎠⎛ a + a 2 − b ⎞⎛ a − a 2 − b ⎞ a − a 2 − b ⎞⎟=⎜⎟⎜⎟+⎟⎜⎟⎜⎟222⎟⎝⎠⎝⎠⎠2=а–23.62a+ a − ba 2 − ( a 2 − b)−=a − b . Т.о. a − b =22a− a −b.2a −b( a − b )( a + b ) ( a − b )( 6 a + 6 b )( 3 a − 3 ab + 3 b )===666a− ba +6 ba+6b= ( a − b )( 3 a + 6 ab + 3 b ) .4.33( 3 10001) − ( 3 10000)10001 − 3 10000 =3=32210001 + 3 10001 ⋅ 10000 + 1000011==<333322223310001 + 10001 ⋅ 10000 + 1000110000 + 10000 ⋅ 9999 + 9999(=331000023) −(3339999)33= 3 10000 − 3 9999 .210000 + 10000 ⋅ 9999 + 9999Т.о.
3 10001 − 3 10000 < 3 10000 − 3 9999 , и 3 10001 + 3 9999 < 2 3 10000 .С–1133 + 8 ⋅ 6 + 3 + 8 ⋅ 3 + 3 + 3 + 8 ⋅ 3 − 3 + 3 + 8 =1.)(= 33 + 8 ⋅ 6 + 3 + 8 ⋅ 9 − 3 + 3 + 8 =()33 + 8 ⋅ 6 + 3 + 8 ⋅ 6 − 3 + 8 = 33 + 8 ⋅ 36 − 3 + 8 == 33 + 8 ⋅ 33 − 8 = 1089 − 8 = 1081 .2.a) x + 1 = 3 3 x + 3 ; ( 3 x + 1)( 3 x 2 − 3 x + 1) = 3( 3 x + 1) ; 3 x = t ; (t+1)(t2–t–2)=0;t1=–1, t2=–1, t3=2; x1=–1, x2=8;б)3(1 + x )2 + 2 3 (1 − x )2делим наt2=2;763(1 − x )2 .32= 3 1 − x x=1 – не является корнем, так что по231+ x⎛1+ x ⎞;⎜⎟ + 2 = 331− x⎝1− x ⎠31+ x= t ; t2–3t+2=0; t1=1,1− x1+ x1+ x7=1и= 8 ; 1+x=1–x и 1+x=8–8x; x=0 и x = .1− x1− x93.
a)a−b1 ⎞⎛ 1:+ 4 ⎟=4 34 244 3 ⎜ 4 a2b⎠⎝a − a b + ab − b=(4a−4b4)(4a+4ba−4b) : ⎛⎜a+4b⎞⎜ 4 ab ⎟⎟ =⎝⎠4(4((4)(b )(a− ba+ ba−4a+ b)a + 4 b ⋅ 4 ab4a+4b) :⎛) ⎜⎝11 ⎞+⎟=a 4b⎠4= 4 ab , (при а>0, b>0,a≠b);(1 +x + 2 x −1 + x − 2 x −1 =б)x −1= 1+ x −1 + 1− x −1 = 1+ x −1 + 1− x −1 =)2(+{)x −1 −12=2, x > 2,.2 x − 1, 1 ≤ x ≤ 2С–1231.9 − x + 3 7 + x = 4;33{ba == 22,; {97 −+ xx == 8,8 ; x=1.⎧ 3⎧⎪ x 2 + x 3 xy 2 = 80, ⎪ x x;⎨223⎪⎩ y + y yx = 5 ⎪ y 3 y⎩2. ⎨( x + y ) = 80,; x( y + x )=5 y32323232⎧a + b = 4,⎨a 3 + b3 = 16 ;⎩7 + x = b, тогда⎧ a = 4 − b,⎨ 4 − b 2 − 4 − b b + b2 = 4 ;) ()⎩(⎧a + b = 4,⎨a 2 − ab + b 2 = 4 ;⎩x±8y; при x=8y:9 − x = a,33⎧ a = 4 − b,⎨3b 2 − 12b + 12 = 0 ;⎩xx= 16 , то есть= ±8;yy64 y 2 + 8 y 3 8 y 3 = 80, y2=1, y=±1,x=±8; при x=–8y:64 y 2 − 8 y 3 −8 y 2 = 80, y2=1, y±1, x m 8.
То есть подходят решения: (8;1);(–8;1); (–8;–1) и (8;–1).С–131.11⎛ 1 1⎜ 5 2 ⋅ 23 + 53 ⋅ 2 2⎜11⎜26 + 56⎝=10+10=20.2.=(ab) (−0,5311⎞ ⎛ 1 1⎟ ⎜ 5 2 ⋅ 2 3 − 53 ⋅ 2 2⎟ +⎜11⎟ ⎜56 − 26⎠ ⎝( a + x )−0,5 ( b + x )−0,5 = (a+ b)−131⎞ ⎛ 1 1 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 1⎞⎟ ⎜ 5 3 ⋅ 2 3 (2 6 +5 6 ) ⎟ ⎜ 5 3 ⋅ 2 3 (5 6 − 2 6 ) ⎟=+⎟ ⎜⎟ ⎜⎟1111⎟ ⎜⎟ ⎜⎟2 6 + 5656 − 26⎠ ⎝⎠ ⎝⎠( a − x )−0,5 ( x − b )−0,5=(ab) (−0,5) (= (a −b) .ab + aa−−0,5ab + bab)−0,5) (−0,53=ab − b)−0,5=−177(a + x)−0,5 (b + x)−0,5 + (a − x) −0,5 ( x − b) −0,5 =Так что(=ab)−0,5 ⎛11⎞+⎜⎟=a− b⎠⎝ a+ b(ab)−0,5 ⎛2 a⎞⎜⎜⎟⎟ , и⎝ a −b⎠(a + x)−0,5 (b + x)−0,5 − ( a − x) −0,5 ( x − b) −0,5 ==(ab)−0,5 ⎛11⎞−⎜⎟=a− b⎠⎝ a+ b(ab)⎛ (a + x) −0,5 ( x + b) −0,5 + (a − x) −0,5 ( x − b)−0,5 ⎞Так что ⎜⎜⎟−0,5−0,5− (a − x)−0,5 ( x − b) −0,5 ⎠⎟⎝ ( a + x ) ( x + b)−0,5 ⎛−2−2 b ⎞⎜⎜⎟⎟ .⎝ a−b ⎠⎛ 2 a ⎞= ⎜⎜⎟⎟⎝ −2 b ⎠−2=b.aС–141.y=log2log241–x=log2((1–x)⋅log24)=log2(2–2x)== 1+log2(1–x).(2.
5 − 2 6)3,31⎛⎞=⎜⎟⎝5+2 6 ⎠=3,3((5 − 2 6) + (5 + 2 6))(5 + 2 6)(= 5+2 6)−3,33,33,3(< 5+ 2 6)=−3,1.То есть (5 − 2 6)3,3 < (5 + 2 6) −3,1 .3. y = 32 x − 3x + 2 + 20 ; 32x–3x+2+20≥0; 3x=t;t2–9t+20≥0; t≤4 и t≥5; 3x≤4 и 3x≥5;D(y)=(–∞; log34]∪[log35;∞), E(y)=[0;∞).C–151. a) 3x2+1б) 4 x − 39⋅4x− 1( 3)x+ 12=3= 12 ⋅ 321+ x= 1x+ 3x− 12x + 3 x −10x −32+1= 3−1− x ; x2+1=–1–x; x2+x+2=0, решений нет;2− 7 ⋅ 22 x −1; 2 ⋅ 4;( 3 4)22. a) 8,6; 3x≤ 1;x− 12x− 12+ 7⋅4x− 12= 3⋅3x+ 12+3x+ 12;= 3 ; x − 1 = 1; x=1,5.42( x − 2)( x + 5)x 2 + 3 x − 10≤ 0;≤ 0; x∈(–∞;–5]∪[2;3);( x − 3)x−3б) x2⋅3x+9>x2+9⋅3x; (x2–9)(1–3x)<0; (x–3)(x+3)(1–3x)<0; x∈(–3;0)∪(3;∞).C–161.
a) 9x+ 12+39x()+26 = 16 3x +3− x ; 3(32x + 2 + 3–2x) + 20 = 16(3x+3–x);3x+3–x=t; 3t2–16t+20=0; t1=2, t2 = 10 3 ; 3x=y; y + 1 y = 2 и y + 1 y = 10 3 ;78y2–2y+1=0 и 3y2–10y+3=0; y=1 и y=3 и y = 13 ; 3x=1, 3x=3 и 3x = 13 ; x1=0,x2=1, x3=–1;( 7 + 48 ) x + ( 7 − 48 ) x = 14;б)( 7 + 48 ) x = y ,( 7 + 48 ) x ⋅ ( 7 − 48 ) x = ( 49 − 48 ) = 1, такxтогда1( 7 − 48 ) x = ;yчтоy + 1 = 14; y2–14y+1=0; y = 7 + 48, y = 7 − 48; x1=2, x2=–2.12y⎛1⎞⎝ ⎠2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
