ivlev-gdz-11-2001 (546285), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Площадь такойnполоски приближено равна Sx≈lx∆x, где lx– длина верхнего основанияx−c+h. Так что давление воды на эту полоскиn⎛( a − b )( x − c + h ) ⎞ ∆x. Теперь давление на однуравно Px ≈ S x ⋅ xg ≈ ⎜ bx +⎟n⎝⎠полоски lx = b + ( a − b )c⎛( a − b )( x − c + h ) x ⎞ dx = 10 ⎛ 6 x + 4 ( x − 5) x ⎞ gdx =сторону: P = ∫ g ⎜ bx +⎟⎟∫⎜n5c−h ⎝5⎝⎠⎠101⎛ 4 32⎞= g ⎜ x + x ⎟ = 308 ⋅ g .153⎝⎠5С–101. Неверно, так как 5 − 3 3 < 0 , а32. а)131153552 − 30 3 > 0 .13 5 3 ⋅ 5 27 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 3 = 3;⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ 23 − 1 2 − 1 7 ⋅ 2== 3,5 .б) ⎜⎜ 23 − 3 ⎟⎟ : ⎜⎜ 2 −:⎟=2 ⎟⎠22 22 ⎠ ⎝23⎝3.
а) 3 20,991 ≈ 2,7585 ; б) 3 5 + 4 5 ≈ 3, 2053 .134.5112 = 2 6 = 2 30 = 32 30 , а513 = 310 = 27 30 , так что32 >5 3.С–111.3a ≥ aб)3x − 3 6 x = 10;344равносильно а≥|a| и справедливо только при а≥0.4x + 1 + 34 x − 313= 2; 4 4 x = 2 x ; x = 2 4 x ;+4=2;2. а) 4x −1x −1x +1⎧ x ≥ 0,; x=0 и x=16.x = 4 x; ⎨ 2⎩ x = 16 x6x = a, a ≥ 0; a2–3a–10=0; a= –2 и a=5;3.а) 4 − 2 3 + 4 + 2 3 =(1 − 3 )2+(1 + 3 )24(1 − a )(1 + a ) +448С–121.482x + 3x + 3 = 2 x + 1;4442x = 5; x = 56.= 1− 3 + 1+ 3 == 3 − 1 + 3 + 1 = 2 3;б)6a = 1 − a + a = 4 1 = 1.⎧ 2 x + 1 ≥ 0,⎨ x 2 + 3x + 3 = 2 x + 1 2 ;()⎩⎧ x ≥ −0,5,⎨3x 2 + x − 2 = 0 ;⎩⎧⎪ x ≥ −0,5,2⎨ x = −1 и x = 2 ; x = .3⎪⎩33⎧3⎪⎧a − b = 1,⎧32.
⎨ x − y = 1, ; ⎨ 3 x = a, ; ⎨ a − b a 2 + ab + b 2 = 7 ;)x−y=7y=b⎩⎪⎩(⎩⎧a = −1,⎧ a = 1 + b,⎧a = 1 + b,⎨ 1 + b 2 + b 1 + b + b 2 = 7 ; ⎨b 2 + b − 2 = 0 ; ⎨b1 = −2)( )⎩⎩(⎩1()⎧a − b = 1,;2⎨ 2⎩a + ab + b = 7⎧a = 2,и ⎨ 2;b =1⎩ 2⎧ x1 = −1,⎧ x = 8,⎨ y = −8 и ⎨ y2 = 1 ;⎩ 1⎩ 2С–1351131105−1.а) 15−2 ⋅ 45 3 : 75 3 + 2 4 ⋅ 4 8 = 3−2 ⋅ 5−2 ⋅ 3 3 ⋅ 5 3 ⋅ 31= 30 ⋅ 5−3 + 21 = 2;125(б) b 2 b15)(b3 b)1721343⋅5−8313+ 24 ⋅ 24 =1= b 5 ⋅ b10 ⋅ b 7 ⋅ b14 = b1 = 31 = 3 при b=3.2.
а) верно при а≥0; б) верно при всех а.3 ⎞⎛1 33 ⎞⎛1 3⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞⎜ x 2 + y 2 ⎟⎜ x − x 2 y 2 + y 3 ⎟ + ⎜ x 2 − y 2 ⎟⎜ x + x 2 y 2 + y 3 ⎟ =3.⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠39393= x 2 + y 2 + x 2 − y 2 = 2x 2 = 2x x.С–141. См. график.( 13 )2. а)( 13 )б)⎛⎜⎝55= 3− 5 , а так как − 5 > −2, 25, то> 3−2,25 ;( 3)3⎞⎟⎠3=( 3)3⋅ 3=( 3)331,5= 32 = 3 ,такчто числа равны.( )x( )⎛1⎞3. y = 1 − 1 2 ; 1 − ⎜ ⎟ ≥ 0; 1 2⎝2⎠( )как 1 2xxx≤ 1; x≥0, так что D(y)=[0;∞), а так> 0, то у<1 и E(y)=[0;1).C–151.
а) 0,53–2x+3⋅0,251–x=7; 0,5⋅0,52–2x+3⋅0,52–2x=7; 0,52–2x=2; 2–2x=–1; 2x=3;x=1,5;49б) 56 x +3x= 1252 x +1 ; 5412. а) 25 2 x+1−6 x +3x21< 125 3 ; 5 x=5+26 x +34;6x + 3 6x + 3=; (6x+3)(x–4)=0;x1=4,x2=–0,5.x4−2< 5 ; 1 + 2 < −2; 1 < −4; − 1 < x < 0;xx4( 5) + 2 − 7 ⋅(25)( 2 5 ) = t; 5t –7t+2≤0; 2 5 ≤ t ≤ 1; ( 2 5 ) ≤ ( 2 5 ) ≤ ( 2 5 ) ; 0 ≤ x ≤1.x2x5⋅ 2б) 4x⋅5+2⋅25x≤7⋅10x; 5⋅22x+2⋅52x–7⋅2x⋅5x≤0;≤ 0;0x2xC–161.
a) 2⋅3x–6+6⋅90,5x–2=56; 2⋅3x–6+6⋅9⋅3x–6=56; 3x–6=1; x=6;б) 4cos 2 x + 4cos2xt1=–3 и t2=1; 4cos( )2. 4 x + 1 2−1− x= 3; 42 cos2x− 0,52x −1+ 2 ⋅ 4cos2x − 0,5= 3;1 4cos2x − 0,5= t ; t2+2t–3=0;1π2= 1; cos 2 x = ; cos x = ±; x = + πn, n ∈ Ζ.242–8≥0; 4x+2⋅2x–8≥0; 2x=t; t2+2t–8≥0; t≤–4 и t≥2; 2x≥2; x≥1.C–1711111⎛ 3 1−− ⎞2 ⋅ a 3 ⋅ b 3 ⋅ c 2 ⋅ 5−1 ⋅ d 2 ⋅ k 2 ⎟ = 3 + 1 log a +⎜=log77⎜23 7⎟5d 0,5 k⎝⎠+ 1 3 log 7 b + 1 2 log 7 c − log 7 5 − 1 2 log 7 d − 1 2 log 7 k .302. log 30 8 = log30 23 = 3log 30 2 = 3log 30= = 3 log30 30 − log30 3 − log 30 5 =3⋅561. log 77 7 a 3 b 2c3()= 3(1–a–b).3.
a) log 24 − log 9 46 = 2log 3 24 − 1 2 ⋅ 6log3 4 = log33б) 7log11 2−2log11 7С–181.а) log0,34<0,=2log 2 7log11 2так−2log11 7как=2log11 2⋅log 2 70,3<1,1311> 0, так как lg 3 > lg10 = .3312. y =+ 7 − x;log ( x − 3)lg 3 −12⎧⎪ x − 3 > 0,⎨ x − 3 ≠ 1, ;⎪⎩7 − x ≥ 0⎧⎪ x > 3,⎨ x ≠ 4, D(y)=(3;4)∪(4;7].⎪⎩ x ≤ 73.
См. график.50a−24>1;24243log11 7б)= log 9 = 2;= 23log11 7−2log11 7=0.С–191. а) log2x64–log2x8=3; log 2 x 64 8 = 3; 8=(2x)3; 8=8⋅x3; x3=1; x=1;б) xlgx=100x; lgxlgx=lg100x; lg2x–lgx+2=0; lgx=2 и lgx=–1; x1=100, x2=0,1.2. a) lg(x–1)2>0; (x–1)2>1; |x–1|>1; x<0 и x>2;⎧⎪ x − 1 > 0,⎛ 1 ⎞log2(x–1)>log2(2x–3); ⎨2 x − 3 > 0, ;б) log 2 ( x − 1) > log 1 ⎜⎟;⎝ 2x − 3 ⎠⎪⎩ x − 1 > 2 x − 32⎧⎪ x > 1,⎨ x > 1,5, x∈(1,5;2)⎪⎩ x < 2C–201. a) lg2x2–3lgx2=4; lgx2=t; t2–3t–4=0; t1=4, t2=–1; lgx2=4 и lgx2=–1;x2=10000 и x 2 = 110 ; x=±100 и x=± 110 ;б) 4 − lg x = 3 lg x ; lg x = t ; t2+3t–4=0; t1=1 и t2=–4; lg x = 1; lgx=1; x=10.()⎧2 x − 3 > 0,⎪⎧ x > 1,5,⎪ 2; ⎨ x > 6,;⎪⎩2 x − 3 < x 2 − 6 ⎩⎪ x 2 − 2 x − 3 > 02.
a) log 1 ( 2 x − 3) > log 1 x 2 − 6 , ⎨ x 2 − 6 > 0,22⎧ x > 6,⎨ x ∈ −∞; −1 ∪ 3; ∞ ; x ∈ (3;∞);) ( )⎩ (б) 4x–7⋅2x+12>0; 2x=t; t2–7t+12>0; 3<2x<4; log23<x<2.C–21⎧⎪log x + log 3 y = 1 − log3 2⎧⎪log 3 xy = log 3 1,5;a) ⎨ 3⎨log ( x + y ) = log 9 ;+=log2xy()⎪⎩ 3⎪⎩ 33{xyx+=y1,5= 9;⎧⎧9−5 39+5 3, ⎪⎪ y =,⎪⎪ y1 =x = 9 − y,2⎧ x = 9 − y,22; ⎨ 2;и⎨⎨2 ( 9 − y ) ⋅ y = 3 ⎩ 2 y − 18 y + 3 = 0⎪x = 9 + 5 3⎪x = 9 − 5 3 ;⎪⎩ 1⎪⎩ 222{xy⎪⎧3 ⋅ 2 = 576,( y − x ) = 4;⎪⎩2б) ⎨log⎧3x ⋅ 2 y = 576,;⎨y − x = 4⎩{⎧3x ⋅ 2 x + 4 = 32 ⋅ 26 , x = 2,;⎨y = x + 4y = 6.⎩С–221.а) f(x)=3–x3; x = 3 3 − f ( x ) , так что g ( x ) = 3 3 − x – обратная к f(x):D(g)=E(g)=R;б) f ( x) = ( 1 + x 2 ) −3 , x ≥ 0; 1 + x 2 = f ( x )x=f ( x)−23− 1,такчтоg ( x) =−13;131 + x2 = f ( x )x2−1 –−23;обратнаякf(x).D(g)=E(f)=(0;1], E(g)=D(f)=[0;∞).512.
f(g(–1))=–1, f(g(1))=1, f(g(2)), так что g(–1)=1, g(1)=2, g(2)= − 3 ; D(g)=E(f)=[–2;3],E(g)=D(f)=(–2;0]∪[0,5;2].С–231.а) f'(x)=(e2–14x)'=e2–14x⋅(2–14x)'=–14e2–14x;()/0,5 x +1б) f ( x ) = ( 1 2)0,5 x +1 = ln 1 2 ⋅ ( 1 2)0,5 x +1 ⋅ ( 0,5 x + 1) ' = 0,5ln 0,5 ⋅ ( 0,5 ).2. Уравнение касательной к f(x) в точке x0: f(x)–f(x0)=f'(x0)(x–x0), так кактоестьэтапрямаяпараллельнаy=2x+1,тоf'(x0)=2,x0x0x0− x0 /x0− x0 /(e − e ) = 2; (e + e ) = 2 , то есть e + 1 x = 2; e = 1 и x = 0 .0e00 0Далее, f(x0)=e –e =0 и искомое уравенение y=2x.3. f ' ( x ) = (e xх>1,a2( (3−3 x /f'(x)<0xS = ∫ e − 2−e02) = (3 x − 3)exпри)) dx = ∫ ( 2e23x −3 x, f'(x)=0 при х=±1.
f'(x)>0 при x<–1 и–1<x<1.x)(Такчтоx− 2 dx = 2e − 2 x0)20xmin=1,2xmax=–1.2= 2e − 4 − 2 = 2e − 6.C–241.a) f ' ( x ) = (ln( x3 − 2 x 2 + 1)) / =б) f ' ( x ) = (log=2( x3 − 2 x 2 + 1) /=3x2 − 4 x;x3 − 2 x 2 + 1x3 − 2 x 2 + 111−2//3=3 − 2x ) =⋅⋅ (3 3 − 2x ) =ln 2 3 3 − 2 x3 ( 3 − 2 x ) ln 24.3 ( 2 x − 3) ln 27772. x2–8x+7=0 при х=1 и х=7. Так что S = ∫ dx = 7 ln x 1 = 7 ln 7.x13ln 2 x 3 3 2− = lg x − 1 ; f'(x)=0 при lnx±1; x=e иxx x11x=; f ' ( x ) > 0 при 0 < x < e и x>e и f'(x)<0 при 1 e < x < e.
Так чтоexmin=e и xmax = 1 e .3. f'(x)=(ln3x)'–(3lnx)'=()C–251. f ' ( x ) = ( 2 − x ) ⋅ x 3 +(x 3 ) / ( 2 − x ) = − x 3 + 3 x/=x523 −1(− x +2 3 − 3 x) .3 −1(2 − x)=2 32 32 3. f'(x)>0 при x <, f'(x)<0 при x >, так3 +13 +13 +1f'(x)=0 при x =2 32 3] и f(x) – убывает на [;∞).3 +13 +1что f(x) – взрастает на [0;2.664,12 − 6 63,64 ≈ 0,0025.3. Для f(x)= x2+ x−2– первообразная F ( x ) =x2 +1x1− 2+ C.2 +1 1− 2+C–261. Не удовлетворяет, так как f ' ( x ) = (e1− x3 /1x) = − 1 e 3 = 1 f ( x ).332.
Общее решение уравнения f'(x)= ln5f(x) : f(x)=C⋅5x, а так как f(6)=5,то 5=C⋅56, C=5–5 и f(x)=5x–5 – искомое решение.3. Общее решение y = a cos 3 x + b sin 3 x . Так как y(0)=2, то a=2, а(так как y'(0)=6, тоТак= 4cosчто(3()3b = 6, b = 2 3.y =2cos3x − π)( 3x ) + 23 sin 3 x =4 ⎛⎜ 1 cos 3x + 3 sin 3 x ⎞⎟ =2⎝ 2⎠5π5π3x −.
A=4, ω= 3, ϕ=.33) = 4cos ()Вариант 8С–1(1. Является, так как F ' ( x ) = 2 1 + x)/1= f ( x ) на (–1;∞).1+ x=/1 ⎞1⎛3≠ f ( x ) = 4 x3 − 2 x на (0;∞).б) Нет, т.к. F ' ( x ) = ⎜ x 4 −⎟ = 4x +x⎠2x x⎝() (/)//2. a) F ' ( x ) = 2sin 2 x cos 2 x = 1 2 sin 2 2 x = sin 2 x ⋅ ( sin 2 x ) =2sin2xcos2x==sin4x=f(x) на (–3;0). Так что F(x) – первообразная для f(x) на (–3;0);б)F'(x)=((x+2)4)'=4(x+2)3⋅(x+2)'=4(x+2)3=4x3+24x2+48x+32=f(x)на(–∞;∞).
Так что F(x) – первообразная для f(x) на (–∞;∞).C–21. Общий вид первообразной дляh(x)=cosx : H(x)=sinx+C, а так какH (− π ) = 1, то − 1 + C = 1 и С=1,5 и26H(x)=sinx+1,5.53()(3 − 8x ) 8x + 1 − 23 − 8x== 2 − 8 x + 1,8x + 1 − 48x + 1 + 2f ( x) =2.такчто1(8 x + 1) 8 x + 1 + C.12xxx 1xx 11б) f ( x ) = cos x cos cos sin = cos x cos sin = cos x sin x = sin 2 x .244 222 481Так что F ( x ) = − cos 2 x + C.16F ( x) = 2x −C–3a) F ( x ) = − 2 3 sin (1 − 1,5 x ) + 2 3 ( x + 1) x + 1 + C;2x2б) F ( x ) = ctg ( 2 − x ) − + C.56С–42xS = ∫ dx +02a)=52 2x∫ ( 5 − x ) dx = 45223⎛5 58x ⎞− 10 + =+ ⎜ 5x − ⎟ = 1 + 5 5 −⎜⎟333⎝⎠2010 5 − 19;35π65ππ221212б) S = − ∫ cos xdx = − sin x π6 = − + 1 = .С–5412dx = −a) ∫x1 x xπ3620= −6 + 12 = 6; б)0∫π41π3 1 − cos 2 xв) ∫ sin xdx = ∫π342dx2sin xπ= − ctgx π3 = −41+ 1;3π3⎛ x sin 2 x ⎞ 3 πdx = ⎜ −.⎟ = −4 ⎠0 6 8⎝2С–61()⎛ x2а) S = ∫ x + 1 + 2 x 2 dx = ⎜⎜12π6⎝ 2+ x−2x331⎞12 1 1 21=1 ;⎟⎟ = + 1 − − + −2382248⎠ −12π333 3⎛ sin 2 x⎞6б) S = ∫ ( cos 2 x − sin x ) dx = ⎜+ cos x ⎟ =+−1 =− 1.2424⎝⎠0054С–7Пусть S(t) – уравнение координаты точки.
Тогда S'(t)=V(t), так что32S (t ) = t−t+ t + C,а так как S(0)=–1, то С=–1 и3232ttS ( t ) = − + t − 1, a(t)=S''(t)=2t–1.3 2C–801⎛⎛πxx2 ⎞x2 ⎞1. S = ∫ ( 2 + x ) dx + ∫ ( 2 − x ) dx + ∫ 2sin dx = = ⎜⎜ 2 x + ⎟⎟ + ⎜⎜ 2 x − ⎟⎟ –62 ⎠2 ⎠01−2⎝⎝0−20166πx ⎞1 12 6 312 + 6 3⎛ 12− ⎜ cos ⎟ = 4 − 2 + 2 − + += 3,5 +.6 ⎠12 πππ⎝π82x2. ∫2x +13(dx = 2 x 2 + 1)8= 2 ⋅ 3 − 2 ⋅ 2 = 2.3C–91. Площадь сечения данного тела вращения S(z)=π(z2+4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
