ivlev-gdz-11-2001 (546285), страница 4
Текст из файла (страница 4)
f(x)=e–xsin2x; f'(x)=–e–xsin2x+2cos2xe–x; f'(0)=2.22⎛ 5x ⎞25 0, 2 24,82. ∫ 5 x dx = ⎜⎜−=≈ 15, 4 .⎟⎟ =ln5ln5 ln 5 ln 5−1⎝⎠ −10()(3. S = ∫ e − x − 1 dx = −e− x − x−2)0−2= −1 + e 2 − 2 = e 2 − 3 .C–241141/⎛ 3⎞1. f ( x ) = 18 ln ( −4 x ) ; f ' ( x ) =⋅ ( −4 x ) =, f '⎜ − ⎟ = −=− .⋅48368 ( −4 x )8x⎝⎠2. ϕ(x)=x–lnx; ϕ'(x)= 1 −1; ϕ'(x)=0 при x=1; ϕ'(x)>0 при x>1 и ϕ'(x)<0xпри 0<x<1. Так что ϕ(x) – возрастает на [1;∞) и убывает на (0;1].4()(3.S= ∫ 2 x − 1 2 dx = 2ln x − x 21)41= 2ln 4 − 2 − 2ln1 + 1 = 2ln 4 − 1,5 ≈ 1, 27 .2C–258⎛314⎞831. S = ∫ 2 x 3 dx = ⎜ x 3 ⎟ = ⋅ (16 − 1) = 22,5 .⎜2 ⎟21⎝⎠12. Уравнение касательной в точке x0:y–f(x0)=f'(x0)(x–x0).
Для f(x)=x–3: f'(x)=–3x–4и f'(1)=–3. Так что искомое уравнение:y–1=–3(x–1) или y=–3x+4.C–261. y'=(8e–2x)'=8⋅(–2)e–2x=–16e–2x=–2y, что и требовалось доказать.2. y'=–4y. Общий вид решения: y=c⋅e–4x. А так как y(1)=e, то e=c⋅e–4 ис=e5, то есть y=e–4x+5 – искомое решение.Вариант 5С–11. а) F '(x)=(−x)/=−1= f ( x ) для всех х∈(–∞;0), так что F(x) –2 −xпервообразная для f(x) на (–∞;0);30б) F '(x)=(sin2x+1)'=2sinx⋅cosx=sin2x=f(x), для всех x∈(–∞;0), так чтоF(x) – первообразная для f(x) на промежутке (–∞;0).2.
a)является, так как F '(x)=(3x2+cosx+3)'=6x–sinx=f(x) при всехx ∈ (–∞;∞);б) не является, так как F(x)= −1x2и f(x)=1определены не для всехxx∈(–∞;∞).С–21. Первообразная для f(x)=–х+1 имеет видx2F(x)= − + x + C , а так как точка М(–2;–3)2принадлежит графику F(x), то –3= –2–2+С, тоx2искомаяестьС=1иF(x)=1+x– –2первообразная.y2( 7 x + 1) ( 7 x + 1) + C ;211б) F(x)= − cos3 x − tgx + C .32.
a) F(x)=С–3x2x3a) Общий вид первообразной: f(x)= − cos − sin + C ;б) Общий вид первообразной: F ( x ) =112+++ C.x 2x2xC–411⎛x3 ⎞111а) S = ∫ 1 − x 2 dx = ⎜⎜ x − ⎟⎟ = 1 − + 1 − = 1 ;3333−1⎝⎠ −1()π2π⎛ 1⎞2 1 1б) S = ∫ sin 2 xdx = ⎜ − cos x ⎟ = + = 1.⎝ 2⎠0 2 20C–54а) ∫144x16 22⎛2⎞dx = ∫ xdx = ⎜ x x ⎟ = − = 4 ;3333x⎝⎠115π65ππ66б) ∫ cos x = sin x π6 =22⎛ x8⎞1 1− = 0; в) ∫ x 7 − 2 x dx = ⎜ − x 2 ⎟ = 32 − 4 = 28 .⎜ 8⎟2 20⎝⎠()031C–61(1)32a) S = ∫ 2 − x 2 − x dx = ⎜⎛ 2 x − x 3 − x 2 ⎟⎞ = 2 − 1 3 − 1 2 = 1 1 6 ;⎝⎠00π3π1 ⎞⎛3 =4 3− 3=3 3dx8sinxtgx=−б) S = ∫ ⎜ 8cos x −()⎟0cos 2 x ⎠0⎝C–7Обозначим S(t) – уравнение пути, тогда S'(t)=V(t), и искомый путь6622⎛⎝1π6⎞⎠2равен: ∫ V ( t ) dt = ∫ ( 2t − sin π t ) dt = ⎜ t 2 + cos πt ⎟ = 36 +11− 4 − = 32 .ππC–8π40π ⎛02 ⎞x2 ⎞⎛dx + ∫ ( 2+x ) dx = ( 4 x − 2tgx ) 04 + ⎜ 2 x + ⎟ =π–2+4–2=π.1.
S= ∫ ⎜ 4 −2 ⎟⎜2 ⎟⎠cos x ⎠−20⎝⎝−222⎛⎛ 2⎛4xπ x⎞x⎞ 2π x⎞2 2 22. ∫ ⎜ ⎛⎜1 − ⎞⎟ + sin⎟ dx = ⎜ − ⎜1 − ⎟ − cos⎟ = + + =0,4+ .⎜⎟⎜⎟π225225πππ⎠⎝⎠0⎝⎝⎠⎝⎠450C–944⎛ π x2 ⎞1. a) Площадь сечения S(x)=πx; V = ∫ π xdx = ⎜⎜⎟⎟ = 8π ;0⎝ 2 ⎠0б) Площадь сечения S(y)=16π–πy4;22⎛πy 5 ⎞32πV = ∫ 16π − πy 4 = ⎜16πy −= 25,6π .⎟⎟ = 32π −⎜550⎝⎠0(2.A=)Такk ( ∆x )2как2F=k∆x,2 H ⋅ (10 ) см2=2 ⋅ 6 см2=тоk=F2H=.∆x 6 смДалее,0,01 м 2 ⋅ H 11= H ⋅ м = Дж.0,06 м66C–1099 − 10 2 > 0 , a 7 − 5 2 < 0 .1. Не верно, так как2. a)3552 2⋅ 8=151352 ⋅ 2 ⋅ 29 =б) (( 33 + ( )3 ) : ( 3+= 3 − 1 + 13 = 2 13 .3215215 = 2;11 ⎛11 ⎞1)=( 3+) ⎜ ( 3) 2 − 3 ⋅+ ( ) 2 ⎟⎟ : ( 3 +)=33 ⎜⎝33 ⎠333.
а) 3 10,731 ≈ 2, 2057; б)102=4.25 = 10 32 ,52 + 2 ≈ 2,6741 .31 = 10 31 , так что2 > 5 31 .C–111. 4 2a 4 = a 2 = − a 2 , где a < 0.2.a) x6–3x–10=0; x3=t; t2–3t–10=0; t1=–2 и t2=5; x3–2 и x3=5; x1= − 3 2 иx2= 3 5 ;б) x + 3 4 x − 4 = 0 ; 4 x = t ; t2+3t–4=0; t1=1, t2= –4; 4 x = −4 , 4 x = 1 ; x=1.33. а)б)3()()7 − 22 ⋅ 3 7 + 22 = 3 7 − 22 7 + 22 = 3 49 − 22 = 3 27 = 3 ;{a 3 + a 2 = a + a = 2a, если a ≥ 0,0, если a ≤ 0.C–121. 4 + x ⋅ 5 − x =2 2 ;⎧⎪4 + x > 0,;⎨5 − x > 0,⎪⎩(4 + x)(5 − x) = 8⎧ x > −4,x = −3,⎪; −x 4=<4 x и< 5,x = −3 ; x1 = 4.⎨ x < 5,2⎪⎩ x 2 − x − 12 = 0{⎧ 6 x − 6 y = 1,;⎩ x − y =762. ⎨⎧a − b = 1,;⎨ 3 3⎩a − b = 7x = a,;y =b6⎧a − b = 1,⎨a 2 + ab + b 2 = 7 ;⎩⎧a = −1, a = 2, ⎧ 6 x = 2,⎧a = b + 1,;⎨b 2 + b − 2 = 0 ; ⎨b1 = −2, b2 = 1 ; ⎨ 6⎩⎩ y =12⎩1⎧a = b + 1,⎨ b + 1 2 + b + 1 b + b2 = 7 ;) ( )⎩(x = 64,y = 1.{C–132111.
a) (27 3 + 125 3 + 8 3 )1б) (10 + 73 2 )−13−143⋅= (3233⋅+513+213⋅1 1−3 4)= 16−1: (10 − 73) 3 =1212((10 + 73 )(10 − 73 ))=13⋅313( 5)44−13= 2=⎛ 1⎞4⋅⎜ − ⎟⎝ 4⎠= 2−1 = 0,5 ;1(100 − 73)1=31= .3( 5)2.1453−531 ⎛ 5⎞⋅⎜ − ⎟3⎠= 54 ⎝=5−512;42⎞ 1⎛⎜ −1− ⎟⋅3⎠ 45−1 : 3 25 = 5⎝=5−512,такчто−1= 4 5 : 3 25 .33u +83.=23(3u +23)(33u −2 u +4323u −2 u +423u −2 u +4u −8−)− (3u + 2u + 4u −23=132)(3u2 + 23 u + 423u +2 u +4)=3u +2− 3 u +2= 4C–141.
См. график.2. а)3() ⋅ 25−5 +1 25( )⎛б) ⎜ 1 3⎝3⎞⎟⎠3355 + 2 5 +1− 2 5= 5( 3)3= 1=12736= 5 = 25 ;.3. y = 3 x − 9 ; 3x–9≥0; 3x≥9; x≥2; D(y)=[2;∞),E(y)=[0;∞).C–151. а) 2x+2x–3=18; 8⋅2x–3+2x–3=18; 2x–3=2; x–3=1; x=4;π⎞⎛⎝б) ⎜ cos ⎟6⎠⎛1⎞x2 x− 27 ⎛ 3⎞= 1 ; ⎜⎜⎟9 ⎝ 2 ⎟⎠⎛1⎞x−22 x−2⎛1⎞−4⎛ 3⎞= ⎜⎜⎟⎟ ; 2x–2=–4; x=–1.⎝ 2 ⎠x⎛1⎞x⎛1⎞x2. a) ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ > 5 ; ⎜ ⎟ + 4 ⋅ ⎜ ⎟ > 5 ; ⎜ ⎟ > 1 ; x<0;⎝2⎠⎝2⎠⎝2⎠ ⎝2⎠⎝2⎠б) 3|x|+2<27; |x|+2<3; |x|<1; –1<x<1.C–161. а) 8| x2⎛1⎞−1|x= 16 ; 23| x2б) ⎜ ⎟ + 3x + 3 = 12 ;⎝ 3⎠3x =−1|= 24 ;|x2–1|=3x=t;4177; x2 = − и x2 = ; x = ±;33331112+ 27t = 12 ; 27t –12t+1=0; t = , t = ;1t3 2 911и 3x = ; x1= –1 и x2= –2.39⎛1⎞x2. ⎜ ⎟ − 21− x − 8 < 0 ; 2–2x–2⋅2–x–8<0; 2–x=t; t2–2t–8<0; –2<t<4;–2<2–x<4;⎝4⎠–x<2; x>–2.C–171.a) log 12 − log 2 9 = 2log 2 12 − log 2 9 = log 2234122= log 16 = 4;292⎛ lg125 − 2lg 2 ⎞ ⎛ 3lg 5 − 2lg 2 ⎞⎟⎟ =⎜3⎝ lg 4 + lg 0, 2 ⎠ ⎝⎜ 2 3 lg 2 − lg5 ⎟⎠22б) ⎜⎛ ⎛2⎞⎞⎜ −3 ⎜ lg 2 − lg 5 ⎟ ⎟3⎝⎠⎟ = ( −3 ) 2 = 9 .=⎜⎜ 2 lg 2 − lg 5 ⎟3⎜⎟⎝⎠111⎛ 2⎞−312 ⋅ c 4 ⋅ 3−2 ⋅ x 2 ⋅ y −2 ⎟ =⎜ab=⋅⋅log2222⎜⎟9 xy⎝⎠111= 1,5 + log a +log b +log c − 2log 3 − log x − 2log у .22212 24 22 2log 11log 3⎛ log7 11 ⎞⎛ log7 3 ⎞7= 11 7 ;3.
а) log 7 ⎜ 3⎟ = log 7 11 ⋅ log 7 3 = log 7 ⎜11⎟ ,так что 3⎝⎠⎝⎠122.log8 ⋅ a ⋅ bc3log 3 + log 2 = log 3 +б)232log 2 3 + 1 log 2 3 − 2log 3 + 11222==+2=log 3log 3log 32( log=2)3 −1222+ 2 > 2 ; log23+log32>2.log 32C–181.a) log 211< log 1 = 0 ; log<0;225151б) log0,50,75>log0,51=0; log0,50,75>0.2.{y=1− x(log x 2 − 93);x2–9>0,x2–9≠1;x < −3 и x > 3;x ≠ ± 10D(y) = (–∞;– 10 ) ∪ (–10 ;–3) ∪∪ (3; 10 ) ∪ ( 10 ;∞).3. См.
график.C–191.a) log x 2 − 5 x − 3 = 2 ; x2–5x–3=3; x2–5x–6=0; x1=–1, x2=6;3()б) lg(x–1)=0,5lg(1+1,5x); lg(x–1)=lg 1 + 1,5 x ;⎧ x − 1 > 0,⎪⎧ x > 1,1,; ⎨ 2; xx >; x=3,5.⎨1 + 1,5 x > 0,= 0 и x = 3,53,50−=xx2⎩⎪( x − 1) = 1 + 1,5 x⎩⎧ x > 0,5,⎧⎪2 x − 1 > 0,1⎪2. a) log2(2x–1)>log2(3x–4); ⎨3x − 4 > 0,; ⎨ x > 1 13 , ; 1 < x < 3 ;3xx−>−2134⎪⎩ x < 3⎪⎩{35⎧ x ≥ −2,⎧ x + 2 ≥ 0,⎧ x + 2 ≤ 0, ⎪x+2≥0; ⎨или ⎨; ⎨ x > 0, илиб)lg x⎩lg x > 0⎩lg x < 0 ⎪ x > 1⎩⎧ x ≤ −2,⎪⎨ x > 0, ; x∈(1;∞).⎪x < 1⎩C–201.a)2log 2 x − 5log x = 7 ;133log x = 1 , log x = −1133log x = t ;132t2+5t–7=0;72t2= − ;t1=1;17; x1 = , x2 = 27 3 ;32325t − 0,532+= −4 ; lgx=t+2,5;+= −4 ; 2= −4 ;t + 0,5 t − 0,5lg x − 2 lg x − 3t − 0, 2534t2+5t–1,5=0; t1=– , t2=0,25; lgx=1, lgx=2,75; x1=10, x2=10 4 1000 .212 22.
a) lg x +3lgx>1; 4lg2x+3lgx>1; lgx=t; 4t2+3t–1>0; t<–1 и t> ; lgx<–1 и4111и x > 4 10 ; x∈(0; ) ∪ ( 4 10 ;∞);lg x > ; x <41010б)б) 72x–3⋅7x>10; 7x=t; t2–3t–10>0; t<–2 и t>5; 7x<–2 и 7x>5; x>log75.C–21⎪⎧log 2 ( x + y ) = 3, ;⎧ x + y = 8,x + y = 8,1 ; x = 8 − y ,a);⎨log x ⋅ y = 1 ;⎨log x = 1 − log yxy = 15(8 − y ) y = 15⎩ 15⎪⎩15{15{⎧ x1 = 5, ⎧ x2 = 3,⎨ y = 3 и ⎨ y = 5;⎩ 1⎩ 2⎧a = 1,⎧2cos x + 4sin y = 3, ⎧2cos x = a, a = 3 − b,⎧ a = 3 − b,б) ⎨ cos x sin y; ⎨ sin y; 3− b ⋅b = 2 ; ⎨ 2; ⎨b1 = 2 и()320−+=bb⋅=2424=b⎩⎩⎩⎩1cos=0,x⎧cosxcosx⎧a2 = 2,⎧2⎧2⎪= 1, и= 2, ;cos x = 1, ;⎨ sin y⎨sin y = 1 и⎨b = 1 ;⎨ sin ysin y = 0=4241=⎩⎩⎩ 2⎪⎩2π⎧⎧ x = 2πk , k ∈ Ζ,⎪ x1 = 2 + πk ,и ⎨ y2 = πn, n ∈ Ζ.⎨nπ⎪ y = ( −1) + πn ⎩ 26⎩ 1⎧ x = 8 − y,⎨ y 2 − 8 y + 15 = 0 ;⎩{{C–221.a)f ( x) =1+ xx −1–; (1–x)f(x)=1+x; x(1+f(x))=f(x)–1, значит g ( x) =1− xx +1обратная для f(x).
D(g)=(–∞;–1) ∪ (–1;∞), E(g)=(–∞;1) ∪ (1;∞).36f(x)= 3 − x 2 ,б)g ( x) = − 3 − x2—x = − 3 − f 2 ( x) ,f2(x)=3–x2;x≤0;обратнаядлятакчтоf(x);D(g)=[0; 3 ]; E(g)=[– 3 ;0].2. f(g(–2))=–2, f(g(1)) = 1, так что g(–2) = 3,g(0)=0, g(1)=–2;D(g) = E(f) = (–3;–1,5]∪ [–1;2];E(g) = D(f) = [–4;4].C–231.a) f'(x)=(0,27+0,1x)'=0,27+0,1x ⋅ln0,2⋅(7+0,1x)'=0,1ln0,2⋅0,27+0,1x;б) f'(x)= (( 1 3 )2 x +112x+2x+1/= ( 1 ) 2 ⋅ ln 1 ⋅ (2 x + 1 ) / = −2ln 3 ⋅ ( 1 ) 2 .332322. Уравнение касательной к f(x) в точке x0: f(x)–f(x0)=f'(x0)(x–x0);1− x /1−1f ( x ) = e1−1 = 1 ;f '( x ) = (e )= −e = −1 .
Так что искомое0x =10уравнение: y–1=–(x–1); y=–x+2.3. f'(x)=(x–1)'ex+1+(x–1)(ex+1)'=ex+1(1+x–1)=xex+1, f'(x)=0 при x=0; f'(x)>0при x>0, x>0, f'(x)<0 при x<0; так что f(x) – возрастает на [0;∞) иубывает на (–∞;0].1()(1103)1131313164. ∫ 23 x −1 ln 2 dx = ∫ d 23 x −1 = 23 x −1 = 22 − 2−1 = 1 .0C–240(1 − 0, 2 x ) ' =−0, 21;=1 − 0, 2 x x − 512x −2/(x − 2 x )2x x − 12/xб) f '( x)=(log ( x − 2 x )) == 2.= 223ln 3 ⋅ ( x − 2 x ) ( x − 2 x )ln 3 ( x x − 2 x)ln 31.a) f'(x)=(ln(1–0,2x))'=1 − 0, 2 x2. Уравнение касательной к f(x) в точке x0: f(x)–f(x0)=f'(x0)(x–x0);( ) = logf x02(1 + 3) = 2 ;( ) = ( x + 13) ln 2=f' x0x =11.
Так что искомое4ln 21x1уравнение: y − 2 =.+2−( x − 1) ; y =4ln 24ln 24ln 23.( ) logf '( x ) = x2 /22()/x + x ⋅ log x = 2 x log x +212⎛⎛ 2ln 2log 2 x + 1 ⎞x= x⎜⎟⎟ ,⎜ln 2ln 2⎝⎠1 ⎞ln 2⋅⎜ −−⎟1f'(x)=0 при log 2 x = −, x = 2 ln 4 = e ⎝ 2 ln 2 ⎠ = e−0,5 ; f'(x)>0 при x>e–0,5ln 437и f'(x)<0 при 0<x<e–0,5; так что f(x) возрастает на [e–0,5; ∞) и убывает на(0;e–0,5].C–25⎛ ⎛ 1 ⎞−1. f ' ( x ) = ⎜ ⎜ ⎟⎜⎝ x ⎠⎝2/⎞⎟ + x −2 = 2 ⋅ x⎟⎠( )2 −1−3− 2x .2. 3 125,15 − 3 124,85 ≈ 0,004π⎛ x π+1 ⎞ππ+1 − 1.⎟⎟ =π +1⎝ π +1⎠π3. ∫ x π dx = ⎜⎜11C–261.
f'(x)=(e–3x)'=–3e–3x=–3f(x); y'=–3y – искомое уравнение.2. f'(x)=f(x)ln4, общее решение y=C⋅4x, а так как f(1)=2, то 2=С⋅41, C =1212и y = ⋅ 4 x = 22 x −1 – искомое уравнение.⎛1⎝319⎞⎠3. y''= − y . Общий вид решения y = a cos ⎜ + ϕ ⎟ , где а, ϕ ∈ R.Вариант 6С–11. а) F ' ( x ) =(3)/x + x −2 =13+x = f ( x ) для всех x∈(0;∞), так2 x 2что F(x) – первообразная для f(x) на (0;∞);б) F'(x)=(3–cos2x)'=2sinxcosx=sin2x=f(x) для всех x∈(0;∞), так что F(x) –первообразная для f(x) на (0;∞).2. a) Является, т.к.F'(x)=(x2+sinx+5)'=2x+cosx=f(x)длявсехx ∈ (–∞;∞);б) Не является, так как F(x) и f(x) определеныне для всех x ∈ (–∞;∞).С–21.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
