ivlev-gdz-11-2001 (546285), страница 3
Текст из файла (страница 3)
9|x+1|>3; 9|x+1|>90,5; |x+1|>0,5; x∈(–∞;–1,5)∪(–0,5;∞).2. a) 5x+1–3⋅5x–2=122; 125⋅5x–2–3⋅5x–2=122; 122⋅5x–2=122; 5x–2=1; x–2=0;x=2.б) 9x–2⋅3x=63; 3x=t; t2–2t–63=0; t1=–7, t2=9; 3x=–7 и 3x=9; x=2.C–1711. 2lg5+ lg16=lg25+lg4=lg25⋅4=lg100=2.249 ⋅ 3211;2. log5x=2 log53+ log549– log527; log 5 x = log 5 32327log5x= log521; x=21.10a 3 10.10a⎛ −1 −1 ⎞ ⎛ 1 ⎞11 1lg x = lg ⎜ 10 3 ⋅ a 2 ⎟ = ⎜ − ⎟ lg10 − lg a = − − lg a .⎜⎟ ⎝ 3⎠23 2⎝⎠3. x =C–18a) –2<y<2 при 1 2 < x < 8.20б) При x∈[0,5;8]: yнаим.=0, унаиб.=2.C–191.
а) log 4 1x2+ log4x = −3 ; logx4x2= log 1464; x−32= 16−32; x=16;2б) lg10x⋅lg0,1x=3; (1+lgx)(–1+lgx)=3; lg x–1=3; lgx=±2; x1=100, x2=0,01.2. a) lg2x<lg(x+1);⎧⎪2 x > 0,⎨ x + 1 > 0, ;⎪⎩2 x < x + 1⎧⎪ x > 0,⎨ x > −1, ; x∈(0;1);⎪⎩ x < 1б) lоg2(1–x)<1;{11 −− xx <> 0,2 ; {xx <> 1,−1 ; x∈(–1;1).C–201. log0,5(2x–3)– 1 2 log0,5(2x+3)=0; log0,5(2x–3)= log 0,5 2 x + 3 .⎧2 x − 3 > 0,⎪;⎨2 x + 3 > 0,⎪⎩2 x − 3 = 2 x + 321⎧ x > 1,5,⎪⎧ x > 1,5,;⎨ 2;⎨ x > −1,5,2⎪⎩4 x − 12 x + 9 = 2 x + 3 ⎩2 x − 7 x + 3 = 0⎧ x > 1,5,⎨ x = 3; x = 1 ; x=3.2⎩2. а) log20,1 x≥1; log0,1 x≤–1 и log0,1 x≥1; x∈(0;0,1] ∪ [10;∞);(б) log 3 x − 2)⎧ x 2 − 4 ≥ 0,⎧ 2x 2 − 4 ≤ 0 ; ⎨log; x ≥ 4, ;x − 2 ≤ 0 ⎨⎩0 < x ≤ 9⎩ 3x∈[2;9].C–21⎧log x − log3 y = 1,a) ⎨ 3⎩x − 2 y = 9;⎧ x > 0, y > 0,⎪x;⎨ y = 3,⎪x − 2 y = 9⎩⎧⎪ x > 0, y > 0, x = 27; y=9 ;⎨ x = 3 y,⎪⎩3 y − 2 y = 9{⎧logб) ⎨3( y − x ) = 1, ;x +1y⎩3 ⋅ 2 = 24{⎧ y − x = 3,x = 0,⎨3x +1 ⋅ 2 y = 23 ⋅ 31 ; y = 3.⎩C–22a) y= − 1 3 x+2; y=6–3x– обратная.22б) y=x2–1, x≥0; y = x + 1 – обратная.C–231.
f(x)=e–2xcos3x;f'(x)=–2e –2xcos3x–3sin3xe –2x;f'(0)'= –2.3x2. ∫ 3 dx =ln 3−133x2(−1)(3. S = ∫ e − 1 dx = e x − x0x27180.−=ln 3 3ln 3 ln 3=)20= e2 − 2 − 1 = e 2 − 3 ≈ 4, 4.C–24151. f(x)=10ln x;1 110= ;5 1 x x5f'(x)= 10 ⋅ ⋅⎛5⎞f ' ⎜ ⎟ = 6.⎝3⎠2. ϕ(x) = lnx – x; ϕ'(x) =1− 1 ; ϕ'(x) = 0 при x = 1, ϕ'(x) > 0 при 0 < x < 1,xϕ'(x) < 0 при x > 1. Так что ϕ(x) – возрастает при 0 < x ≤ 1 и ϕ(x) –убывает при x ≥ 1.4⎛4⎞⎠43. ∫ ⎜ − 1⎟ dx = ( 4ln x − x ) 1 = 4ln 4 − 4 − 4ln1 + 1 = 4ln 4 − 3 ≈ 2,55 .x1⎝C–258134 83311. S = ∫ x dx = x 3 = (16 − 1) = 11 .444112.
Уравнение касательной:y=f(x0)=f'(x0)(x– x0); f(x)=x–2, x0=–1, так что f(x0)=1; f'(x0)=–2(–1)–3=2;y–1=2(x+1);искомое уравнение: y=2x+3.23C–261. y=3e–4x, y'=(3e–4x)'=3e–4x(–4x)'=–12e–4x=–4y, что и требовалось доказать.2. y'=–2y. Общий вид решения: y=C⋅e–2x; так как y(0)=e, то e=c⋅e–2⋅(0)=C;так что y=e–2x+1 — искомое решение.Вариант 4С–11. а) F '(x)= ( 6x2− 3) / = −12= f ( x ) для всех x∈(–∞;0), так что F(x) –x3первообразная для f(x) на промежутке (–∞;0).(б) F'(x)= 4 x −1,5 ⋅ x −1) = ( 4x/)−2 /=−8x3= f ( x ) для всех х∈(0;∞), так чтоF(x) – первообразная для f(x) на промежутке (0;∞).2.
а) F '( x) = (3 x − 3ctgx) ' = 3 +12sin xдля всех x∈(0;π), так что F(x)является первообразной для f(x) на (0;π).б) Не является, так как F ( x ) =1515и f ( x ) = − 2 определены не дляxxвсех x∈(–4;4).С–21. Первообразные для f(x)=х–3 имеют видF(x)=–0,5x–2+С,Две различные, например, F1(x)=–0,5x–2 иF2(x)=–0,5x–2+1.2. Общий вид первообразной дляf(x)=cosx: F(x)=sinx+C, а так как точкаА(π;1) принадлежит графику F(x), то1=sinπ+C, и С=1 и F(x)=sinx+1.24С–31.
Общий вид первообразной дляf(x)=2x+4: F(x)=x2+4x+C, а так какточка В(–1;1) принадлежит графикуF(x), то 1=(–1)2–4+С, то есть С=4 иF(x)=x2+4x+4.1x+ cos23x − 12. Для функции f ( x ) =общийвидпервообразных:при2x⎛1 ⎞3 x − 1 + 2sin + C .x ∈ ⎜ ;∞ ⎟ : F ( x) =32⎝3 ⎠C–41. Заштрихованная фигура – трапеция с основаниями 1 и 0,5х+1 ивысотойx.ТакчтоS(x)=21(1 + 0,5 x + 1) ⋅ x = x + 0, 25 x 2 .2ДалееS'(x)=(x+0,25x )'=1+0,5x=f(x).2.
Площадь такой фигуры равна площади фигуры, ограниченнойлиниями y=–2sinx, y=0, π≤x≤2π. Далее, F(x)=2cosx– являетсяпервообразной для y(x)=–2sinx. По формуле S=F(b)–F(a) искомаяплощадь S=2cos2π–2cosπ=4.C–59994xa) ∫ 1,5 dx = ∫ 4 x −0,5dx = 8 x 0,5 = 8 ⋅ 3 − 8 ⋅ 1 = 16 ;11 x1(1())113⎛ ( x + 4 )3 ⎞5 1⎟ = + = 42;⎟33 3⎝⎠ −5б) ∫ x 2 + 8 x + 16 dx = ∫ ( x + 4 ) dx = ⎜⎜−5−5π4в) ∫π62π82sin 2 xdx = ( −4ctg2 x ) π4 = −4 ⋅ 0 + 4 ⋅633=4.33C–6а)1⎛111x3 ⎞S= ∫ (−2 x + 4 − 2 x )dx = 4 ⋅ ∫ (1 − x )dx = 4 ⋅ ⎜ x − ⎟ = 4 ⋅ ⎛⎜1 − + 1 − ⎞⎟ =5 ;⎜⎟3333⎝⎠−1−1⎝⎠ −11212π220π⎛ x2⎞б) S = ∫ ( x + 2 ) dx + ∫ 2cos dx = ⎜⎜ + 2 x ⎟⎟ + ( 2sin x )02 = −2 + 4 + 2 = 4.−20⎝ 2⎠ −2025C–70,5 + 1⋅1=0,75;2а) S=б)1 1 11 1 12 119 1+⋅ +⋅ + ... + ⋅ =2 10 20 10 20 1020 1010 + 19 ) ⋅ 10(1= 0,725 ;=(10 + 11 + 12 + ... + 19 ) =2 ⋅ 200200S≈S10= ⋅∆=|S–S10|=0,025;1n +1 1 n + 2 12n − 2 1 2n − 1 1(n+(n+1)+⋅ +⋅ + ...
+⋅ +⋅ =2n n2n n2n n2n n 2n 21 ( n + 2n − 1) ⋅ n1; lim S = 0,75 .(n+2)+...+(2n–1)) = 2 ⋅= 0,75 −24n n →∞ n2n1 12 nв) Sn= ⋅ +C–8ππ22πа) S= ∫ ( cos x − (−2cos x) ) dx = ∫ 3cos xdx = ( 3sin x ) − π2 = 3 + 3 2 = 4,5 ;−π1−π6(661)3б) S= ∫ − x 2 + 3 − 2 x dx = ⎛⎜ 3 x − x 2 − x 3 ⎞⎟ = 3 − 1 − 1 3 + 9 + 9 − 9 = 10 2 3 .⎝⎠ −3−3C–915⎛ ( 3 − 4 x )5 ⎞1 3⎟ =1.
a) ∫ ( 3 − 4 x ) dx = ⎜+= 12, 2 ;⎜ −20 ⎟20 200⎝⎠013πб) ∫42πsin2(4x −π24)((dx = −8ctg x − π24))3π2π=82. Площадь поперечного сечения равна S(x)=π⋅((x2+1)2–1)=π(x4+2x2).Так что:()1()115313πV = ∫ S ( x ) dx = ∫ π ⋅ x 4 + 2 x 2 dx = π ⋅ ⎛⎜ x + 2 x ⎞⎟ = π ⋅ 1 + 2 =.5353⎝⎠01500C–101. a)б)56(3 − 10)6 + 10 = 3 − 10 + 10 = 10 − 3 + 10 = 2 10 − 3 ;6a 5 − a 6 = a − a = a + a = 2a , если а>0.2.
a) x6–1=0; x6=1; |x|=1; x±1; б) 27x3–1=0; x3= 1 27 ; x= 1 3 .C–111. 3 12 + 4 5 ⋅ 3 12 − 4 5 = 3 (12 + 4 5)(12 − 4 5) = 3 144 − 80 = 3 64 = 4.26()25+ 55+ 525 + 10 5 + 5 30 + 10 5 3 + 5.2.====225 − 525− 55− 5 5+ 552 − 5()()( )63. x <1; |x|<1, –1<x<1.C–12⎧ x ≤ 7,⎪⎧7 − x ≥ 0,⎪1.
3 x 2 +6 x +1=7 − x ; ⎨3x 2 +6 x +1 ≥ 0,⎪3x +6 x +1= ( 7 − x )⎩22; ⎨⎪ x ∈ (−∞; −1 −66] ∪ [ −1 +; ∞),33⎪ 2⎪⎩ x +10 x − 24=0⎧⎡6 ⎤ ⎛6⎤⎪ x ∈ ⎢ −1 +;7 ⎥ ∪ ⎜⎜ −∞; −1 −⎥ x =2, x = –12.2⎨33⎢⎥⎦⎥ 1⎪ x = ⎣−12 и x =⎦2 ⎝⎩2.⎧ x + y = 4,⎧ a = 4 − b,⎧a + b = 4,; x = a, ; ⎨ 2 2;⎨⎨ab3ab1+−=yb=( 4 − b )2 + b2 − 3 ( 4 − b ) ⋅ b = 1x+y−3xy=1⎩⎩⎩⎧a = 1, ⎧a = 3, ⎧ x = 1,⎧ x = 9,⎧ a = 4 − b,⎨b 2 − 4b + 3 = 0 ; ⎨b1 = 3 ; ⎨b2 = 1 ; ⎨ y1 = 9 и ⎨ y2 = 1 .⎩⎩1⎩ 2⎩ 1⎩ 2C–131.532 =5625 = 2 ; 6 8 = 23 = 2 . Так что( )2.3⋅0,0081–0,25+ 116⎛−0,75=3⋅(0,3)4⋅(–0,25)+ 2⎞5( − 4 ) ⋅( − 3 4 )32 = 6 8 .=3⋅(0,3)–1+23=10+8=18.−122⎛ ( a 2 − b 2 ) − ( a − b) ⋅ a ⎞ aa −ba −b ⎟ ⎛ a⎞3.
⎜⎜ 3− 1=⎜:⎟⎟ ⋅ =11 ⎟ ⎜ ⎟⎜a( a + b )⎜⎟ ⎝b⎠⎝⎠ b⎝ a 2 + ab 2=b (a − b)a(a+ ba2 + b2 ⎠)⋅a=b(a− b)(a+ ba+ b)=a− b.C–14a)б)27а) − 2 3 < y < 2при–1<x<1;б) при x∈[–2;2] yнаим=0, а yнаиб.=8.область значений y > –1;C–151. а) 8–х=16; 2–3х=24; –3x=4; x= − 4 3 ;1б) 102x=0,1⋅ 1000 ; 102x= 10 2 ; 2x= 1 2 ; x= 1 4 .2. a) (tg π 3 ) x−1 < 9−0,5 ;б) 90,5 x2−3( 3)x−1<( 3)−2; x–1<–2; x<–1;2< 27 ; 3x − 6 < 33 ; x 2 − 6 < 3 ; x<9; |x|<3; –3<x<3.C–161. 4|x–1| <8; 22|x–1| <23; 2|x–1|<3; |x–1|<1,5; –0,5<x<2,5.2. а) 3x+1–4⋅3x–2=69; 27⋅3x–2–4⋅3x–2=69; 23⋅3x–2=69; 3x–2=3; x–2=1; x=3;б) 4x–3⋅2x=40; 2x=t; t2–3t–40=0; t1=–5, t2=8; 2x=–5 и 2x=8; x=3.C–171.
3lg5+ 1 2 lg 64 = lg(53 ⋅ 64) = lg1000 = lg103 = 3 .52 ⋅ 362. log 7 x = 2log 7 5 + 1 2 log 7 36 − 1 3 log 7 125 ; log 7 x = log 7 3; x=30.1253. lg x = lg3−2−310a 10= lg(a 3 ⋅ 10 2 ) = − 2 lg a − 1,5 .3100aC–18a)–1<y<2 при 1,5<x<5;28б)при x∈[1,5; 9] yнаим=0; yнаиб.=3.C–193 41. а) log 0,5 1 x + 4log 0,5 3 x = −1; log 0,5 x x = log 0,5 2 ; 3 x = 2 ; x=8;б) lg100x⋅lg0,01x=5; (2+lgx)(lgx–2)=5; lg2x–4=5; lg2x=9; lgx=±3; x1=1000и х2=0,001.⎧⎪3x > 0,⎧⎪ x > 0,2.
а) lg(3x)<lg(x+4); ⎨ x + 4 > 0, ; ⎨ x > −4, ; x∈(0;2);⎪⎩3x < x + 4 ⎪⎩ x < 2x > 0, ; x < 1, ; x∈(–1;1).б) log0,5(1–x)>–1; log0,5(1–x)>log0,52; 11 −−x<2x > −1{{C–20⎧⎪5 x − 1 > 0,1. 1 2 log 3 (5x–1)– log 3 (x+1)=0; log 3 5 x − 1 = log 3 (x+1); ⎨ x + 1 > 0,⎪5 x − 1 = ( x + 1)2⎩;⎧ x > 0, 2,⎪; x1=1, x2=2.⎨ x > −1,⎪⎩ x 2 − 3 x + 2 = 02.
a) log20,5x≤1; –1≤log0,5x≤1; 0,5≤x≤2;⎧ x > 0,⎪б) (2 − log 2 x) x 2 − 1 ≥ 0 ; ⎨ x 2 − 1 ≥ 0,⎧ x > 0,⎪; ⎨ x 2 ≥ 1,⎧⎪ x > 0,; ⎨ x ≤ −1 x ≥ 1, x∈[1;4].⎪⎩2 − log 2 x ≥ 0 ⎪⎩log 2 x ≤ 2 ⎪⎩ x ≤ 4C–21⎧log x − log 4 y = 1,a) ⎨ 4;⎩ x − 3 y = 16⎧⎪log x = 1,;⎨ 4 y⎪⎩ x = 16 + 3 y⎧⎪ x = 4 y,⎨ x > 0, y > 0,⎪⎩ 4 y = 16 + 3 y;{xy == 16,64{⎧log ( x − y ) = 1, ⎧ x − y = 23,б) ⎨ x 2 y +1; ⎨ x y +1 3 2 ; xy == 1.⋅=⋅23232372⋅=⎩⎩C–22a) y= –0,5x+2; y=4–2x– обратная;б) y=x2–2; y= x + 2 – обратная.29C–231.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
