ivlev-gdz-11-2001 (546285), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Общий вид первообразных для h(x)==1–4x: H(x)=x–2x2+C, а так как точкаМ(–1;9) принадлежит графику Н(х), то9=–1–2+С, то есть С=12 и Н(х)=x–2x2+12.2. а) F ( x ) =131( 6x − 2) 6x − 2 + C ;9б) F ( x ) = sin 3 x − ctgx + C .38С–3x32xx23а) F ( x ) = − cos + sin + C ; б) F ( x ) = − −2x2−2+C .xС–40а) S = ∫−1−0ππ3⎛ x4 ⎞1−− x dx = ⎜ − ⎟ = ; б) S = ∫ cos 0,5 xdx = 2sin 0,5 −π3 =–1+2=1.⎜ 4 ⎟−π⎝⎠ −1 4( )3С–54а) ∫14xdx = 2 x = 4 − 2 = 2 ; б)1x2π32π11∫ sin xdx = − cos x π3 = 2 + 2 = 1 ;π330(⎛x)⎞6в) ∫ x5 − 3 x 2 dx = ⎜⎜ − x3 ⎟⎟−2⎝ 6⎠0=−−264562− 8 = − = −18 .633С–61x22а)S= ∫ xdx + ∫ (2 − x 2 )dx =201=21⎛12 21x3 ⎞−2+ =+ ⎜ 2x − ⎟ = + 2 2 −⎜⎟2333⎝⎠104 21−1 ;36π3б) S = ∫0π212cos xππdx + ∫ 8cos xdx = tgx 03 + 8sin x π2 = x + 8 − 4 3 = 8 − 3 3 .π33С–7Если S(t) – координата в момент t, то S'(t)=V(t), так что21S ( t ) = t t + sin πt + C ,3π21S ( t ) = t t + sin πt + 3 .3πатаккакS(0)=3,тоС=3иС–81.
S =π6 12 x∫0π41 ⎞6x⎛dx + ∫ ⎜ −2 +dx =2 ⎟ππsin x ⎠π⎝6+π2 60π+ ( −2 x − ctgx ) π4 =6π π− −1+6 2π+ 3 = 3 −1 .3390⎛3⎞⎛ (4 x + 1)4 1⎞ 0 1 625(4 x + 1)624+ cos πx ⎟ dx = ⎜+ sin πx ⎟ =−=−= −13 .⎟⎜⎟134824848481⎝⎠⎝⎠2. ∫ ⎜⎜С–921.a) Площадь сечения S(x)=πx4, так что V= ∫ πx 4 dx =0б)Площадь⎛πxV = ∫ π ( 4 − x ) dx = ⎜ 4πx −⎜20⎝F=k∆x,2.A=22=032π= 6, 4π ;5S(x)=4π–π( x ) =π(4–x);2сечения4πx55такчто4⎞⎟⎟ = 16π − 8π = 8π .⎠0такk=чтоF4 H 1H.==∆x 4см 1смДалее,k (∆x) 2 1H 4см 2 0,0004м 2 ⋅ H=⋅== 0,02 H ⋅ м = 0,02 Дж .21см 20,02мС–101. Верно, так как 8 − 4 3 > 0 и (8 − 4 3)2 =64–64 3 +16 ⋅ 3 =112–64 3 .62.
a)1753 3 : 7 9 = 36+54222⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞б) ⎜⎜ 53 − 3 ⎟⎟ : ⎜ 5 −⎟=5⎠5⎝⎝⎠3. a)320,39 ≈ 2,732 ; б)63 = 33 = 6 27 , a4.2: 37 = 37 : 37 = 1 ;33():56 − 15352 − 1 124 4== 6, 2 .:55 5 53 + 4 3 ≈ 2,7583 .28 = 6 28 , так что3 < 3 28 .С–111.64b 2 = b 6 4 = −b 3 2 , так как b<0.2. a) x6–2x3–15=0; x3=t; t2–2t–15=0; t1=–3, t2=5; x3=–3 и x3=5; x1= − 3 3 ,x2= 3 5 .2x − 4 4 x = 5 ; 4 x = t ; t –4t–5=0; t1=–1, t2=5; 4 x = −1 и 4 x = 5 ;б)x=625.3. a)б)53)({4a 5 + a 4 = a + a = 0, если a ≤ 0,2a, если a ≥ 0.C–121. 8 + x ⋅ 8 − x = x ;40()9 − 17 ⋅ 3 9 + 17 = 3 9 − 17 9 + 17 = 3 81 − 17 = 3 64 = 4 ;⎧ x ≥ 0,⎪8 + x ≥ 0,;⎨8 − x ≥ 0,⎪2⎩ 64 − x = x⎧ x ≥ 0,⎪ x ≥ −8,⎧0 ≤ x ≤ 8, 0 ≤ x ≤ 8,; ⎨ 2;; x= 4 2 .⎨ x ≤ 8,x = ± 32⎩ x = 32⎪22⎩64 − x = x{⎧ 6 x + 6 y = 3, ⎧ 6 x = a,; ⎨6;⎩ x + y =9 ⎩ y =b⎧⎪a + b = 3⎧ a = 3 − b,⎨( a + b ) a 2 − ab + b 2 = 9 ; ⎨a 2 − ab + b 2 = 3 ;⎩⎩⎪⎧a = 2, ⎧ x = 1,⎧a = 1,⎧ a = 3 − b,⎨b 2 − 3b + 2 = 0 ; ⎨b1 = 2 и ⎨b2 = 1 ; ⎨ y1 = 64⎩⎩ 2⎩ 1⎩12. ⎨(⎧a = 3 − b,⎨ 3 − b 2 − 3 − b b + b2 = 3 ;) ()⎩()⎧ x = 64,и ⎨ y2 = 1.⎩ 2C–131.a)2( 8 3 + ( 19 )32−122+ 125 3 ))11 ⎞3 ⎛1⎞⎛б) ⎜12 − 19 2 ⎟ : ⎜ 12 + 19 2 ⎟⎜⎟ ⎜⎟⎝⎠ ⎝⎠( )32.( 9)39−54−54=31 ⋅ 9−3>8v + 13.(2 ⋅ −534(23)(3−138v − 1=13)1 ⎛ 2⎞237− +⎜ − ⎟−1 −3⋅9 = 3 2 ⎝ 3⎠ = 3 6 ,3(23)(3такчто)−v +1 4 v 2 − 2 3 v +13234 v − 2 v +14 v 2 + 2v + 1) =2 v +1 − 2 v +1=2.32)(, так как −10 12 > − 7 6 и 3>1.v − 1 4 v 2 + 2 3 v +13(1=(4+27+5) 2 = 36 =6;= 3 12 − 19 12 + 19 = 3 144 − 19 = 3 125 =5.) = 3−1012 , a−234v − 2 3 v + 1–212= ( 3 8) 2+ ( 9) 3+ ( 6 1252 )34 v +2 v +133C–141.
См. график.4(2.a) 3)2 ⋅ 9−3 +1б) (( 1 2) 2 )2343 + 2 3 +1− 2 3= 344= 3 =3;2= (1 ) = 1 .243. y = 2 x − 4 ; E(y)=[0;∞); D(y)=[2;∞), так как2x–4≥0 при x≥2.41C–151. a) 3x+4⋅3x+1=13; 3x+12⋅3x=13; 3x=1; x=0;⎛ 5π ⎞б) ⎜ sin ⎟6 ⎠⎝⎛1⎞⎝ ⎠3 x− 4x −1⎛1⎞= 8; ⎜ ⎟⎝2⎠⎛1⎞+⎜ ⎟⎝5⎠2. a) ⎜ ⎟52x +13 x− 432⎛1⎞=2 ; ⎜ ⎟⎝2⎠⎛1⎞≤ 26 ; 25 ⎜ ⎟⎝5⎠x +13x−4⎛1⎞+⎜ ⎟⎝5⎠x +1⎛1⎞=⎜ ⎟⎝2⎠−3232; 3x − 4 = − ; x =⎛1⎞≤ 26 ; ⎜ ⎟⎝5⎠5.6x+1≤ 1; x+1≥0; x≥–1;2б) 3x > 98 ; 3x > 316 ; x2>16; x∈(–∞;–4]∪[4;∞).C–1621.
a) 27x −223 x −2= 811 ; 34= 3 ; x2 − 2 =410210; x2 = и x2 = ; x = ±и33332;3x=±2 x 2 + 3 x −1⎛1⎞⎛1⎞б) ⎜ ⎟= 4 x −3 ; ⎜ ⎟⎝2⎠⎝2⎠x1=1, x2= –3,5.⎛1⎞2 x 2 + 3 x −1⎛1⎞=⎜ ⎟⎝2⎠6− 2 x; 2x2+3x–1=6–2x; 2x2+5x–7=0;x2. ⎜ ⎟ − 31− x + 6 < 0 ; 3–2x–3⋅3–x+6<0; 3–x=t; t2–3t+6<0; D<0, решений нет.⎝9⎠C–171. a) log318 − log 4 = 2log 3 2 − log 4 = log 18 − log 4 = log 9 . Ве333333 2роятно в условиях опечатка, нужно:log 18 − log 4 = 2log 18 − log 4 = log 324 − log 4 = log3333333324= log 81 =4;34333 ⎛⎞⎞⎛ log 27 + 2log 2 ⎞ ⎜ log 27 ⋅ 26 ⎟ ⎛⎜⎟33666⎟ =⎜б) ⎜3 ⋅ 4 ⎟ = − log 3 =⎟ = ⎜ log3 41⎜ log 3 0, 25 + log 1 ⎟ ⎜1⎟6 3⎠⎜ log 6 3 0, 25 ⎟⎟ ⎜⎝ 3 3 0,25⎝ 6⎠3⎝⎠=(3343)3. Вероятно в условиях опечатка, нужно:33⎛⎞ ⎛36 ⎞3 3⎜ log 6 27 + 2log 2 2 ⎟ ⎜ log 6 27 ⋅ 2 ⎟ ⎛ log 6 12 ⎞ ⎛ 3log 6 12 ⎞3⎟ =⎜⎟ =(–3) = –27.⎟ =⎜⎜⎟ =⎜111⎜⎟⎜⎟−log12−log1266⎠⎠ ⎝⎜⎜ log 6 0, 24 + log 6 ⎟⎟ ⎜⎜ log 6 ⋅ ⎟⎟ ⎝4 3 ⎠3⎠ ⎝⎝⎛ 3 2 1 5 −1 − 1 − 1 ⎞⎜ 5 a ⋅ b3 ⋅ x3 ⋅ 3 ⋅ y 2 ⋅ z 3 ⎟ =log=55⎜⎟3 y z3⎝⎠5111= 3 − log 3 + 2log a +log b +log x − log y − log z .553 53 52 53 532.42log125a 2 bx53.
a) log3 7log3 11log 113log 3 7= log 7 ⋅ log 11 , a log 11333= log 11 ⋅ log 7 , так что33log3 77= 11;б) log 2 5 + log 2 3 = log 2 15 < log 2 16 = 4 , то есть log25+ log23 < 4.C–181. a) log34>0, так как log34>log31=0;б) log 1 0,9 > 0 ,3так как log 1 0,9 > log 1 1 = 0 .32. y =23xlog2(x2−4)2, x –4 > 0 и x2–4 ≠ 1 при2x > 4, x ≠ 5, так чтоD ( y ) = (−∞; 5) ∪ ( − 5; −2) ∪ (2; 5) ∪∪ ( 5; ∞) .3. См. график.С–191. a)log ( x 2 − 3 x) = 4 ;22x 2 − 3x = ( 2)4 ; x –3x–4=0; x1=–1, x2=4;lg(2x+1)=0,5lg(1–3x); 2lg(2x+1)=lg(1–3x); lg(2x+1)2=lg(1–3x);⎧x < 1 ,⎧1 − 3 x > 0,⎧⎪ x ∈ − 1 ; 1 ,3⎪⎪2 3; ⎨x > − 12 , ; ⎨; x=0.⎨2 x + 1 > 0,2x = 0 и x = −74⎩⎪4 x + 4 x + 1 = 1 − 3 x ⎪⎪4 x 2 + 7 x = 0 ⎩⎪⎩(2.a) 3log 21 x − 2log 2 x ≤ 5 ;)3log 2 x − 2log x ≤ 5 ;223t2–2t–5≤0;log2x=t;255⎡1⎤−1 ≤ t ≤ ; −1 ≤ log x ≤ ; x ∈ ⎢ ;2 3 4 ⎥ ;233⎣2⎦б){{{⎧ x ≥ 0,xx≥0x≤0, и 0x <≤ 0,≥ 0 ; lg x + 1 > 0 , и lg x + 1 < 0 ; ⎨;x +1<1( )( )lg ( x + 1)⎩x + 1 > 1x∈(–1;0) ∪ (0;+∞)C–201.
a) 3log 21 x + 2log 2 x = 5 ; 3log 22 x + 2log 2 x − 5 = 0 ; log2x=t; 3t2+2t–5=0;2155t1=1, t2= − ; log2x=1 и log2x= − ; x1=2, x2= 3 ;332 443б)23+=2;lg x + 1 lg x + 22 ( t + 0,5 ) + 3 ( t − 0,5 )t 2 − 0, 251.x2=10 10lgx=t–1,5;22+=2;t − 0,5 t + 0,5= 2 ; 2t2–5t=0; t1=0, t2=2,5; lgx=1 и lgx=–1,5; x1=10,2. a) lg2x–2lgx>2; lgx=t; t2–2t–2>0; t<1– 3 и t>1+ 3 ; lgx<1– 3 иlgx>1+ 3 ; 0<x< 101− 3 и x> 101+ 3 ;б) 152x+3⋅15x>10; 15x=t; t2+3t–10>0; t<–5 и t>2; 15x<–5 и 15x>2; x>log152.C–21a){(⎧⎪log 3 x + log 3 y = 2 + log 3 2,;⎨log ( x + y ) = 2⎪⎩ 3{xyx==918,− y ;⎧log 3 xy = log 3 18,;⎨x + y = 9⎩9 − y ) y = 18, ⎧ y 2 − 9 y + 18 = 0, ⎧ x1 = 6, ⎧ x2 = 3,; ⎨⎨ y = 3 и ⎨ y = 6;x =9− y⎩x = 9 − y⎩ 1⎩ 2⎧⎪4cos x + ( 1 )sin y = 3,⎧⎪ 4cos x = a,a + b = 3, ;б) ⎨ cos x 1 2sin y; ⎨ 1 sin y;ab = 2b=()4()2⋅=⎪⎪⎩⎩ 22{{({⎧b = 3 − a,⎨a 2 − 3a + 2 = 0 ;⎩⎧a1 = 1,⎧a = 2, cos x = 0, ⎧cos x = 1 ,2⎨b = 2 и ⎨b2 = 1 ; sin y = −1 и ⎨⎩sin y = 0;⎩1⎩1π⎧⎪ x1 = 2 + πk ,и⎨π⎪ y = − + 2πn2⎩ 1π⎧⎪ x2 = ± + 2πk , k ∈ Ζ,⎨3⎪⎩ y2 = πn, n ∈ Ζ.С–221.
a) f ( x ) =b = 3 − a,a 3 − a ) = 2;1 − f ( x)1− x1− x; f(x)+x⋅f(x)=1–x; x =, то есть y =– обf ( x) + 1x +11+ xратная к f(x). D(y)=(–∞;–1)∪(–1;∞); E(y)=D(f)=(–∞;–1)∪(–1;∞);б) f ( x ) = 2 − x 2 , x≤0; x = − 2 − f 2 ( x ) , такчтоy = − 2 − x2 –обратнаядляf(x).D(y)=E(f)=[0; 2 ]; E(y)=D(f)=[– 2 ;0].2. f(g(–1))=–1, f(g(1))=1, f(g(3))=3, так чтоg(–1)=–2, g(1)=2, g(3)=0;D(g)=E(f)=[–1,5;0]∪(0,5;4],E(g)=D(g)=D(f)=[–3;–1,5]∪[–1;3).С–231.
а) f'(x)=(3e3+2x)'=3e3+2x⋅(3+2x)'=6e3+2x;44б) f'(x)=(140,2–5x)'=lg14⋅140,2–5x⋅(0,2–5x)'=–5⋅140,2–5x⋅ln14.2. Уравнение касательной в точке x0: f(x)–f(x0)=f'(x0)(x–x0). Для f(x)=e1+xи x0=–1: f(–1)=1; f'(x)=e1+x, f'(–1)=1. Искомое уравнение y–1=x+1, y=x+2.3.f'(x)=(x+1)'ex–1+(ex–1)'(x+1)=ex+1(1+x+1)=ex+1(x+2); f'(x)=0 при x=–2,f'(x)>0 при x>–2, f'(x)<0 при x<–2.
Так что f(x)–убывает на (–∞;–2] и f(x)возрастает на [–2;∞).1(() )11−1 3()4. ∫ 33 x +1 ln 3 dx = ∫ d 33 x +1 =−1C–24( (1.a) f'(x)= ln 2 − 1 3 x))/133 x +13( 2 − 13 x )==−134 3−226−= 26 .3327/1;x−6=2− 1 x3/1⎛ x3 − 2 ⎞3x2 +⎜⎟⎛⎞x3⎛⎞xx⎝⎠.=б) f ' ( x ) = ⎜ log 4 ⎜ x − 2 ⎟ ⎟ =x ⎠⎠33⎛⎞⎛⎞⎝⎝ln 4 ⋅ ⎜ x − 2 ⎟ ⎜ x − 2 ⎟ ln 4x⎠ ⎝x⎠⎝/2. Уравнение касательной: f(x)–f(x0)=f'(x0)(x–x0).
Для f(x)=log3(2x+1) и( )22, f ' x0 =Искомое уравнение:3ln 3ln 3 ⋅ ( 2 x + 1)x0=1: f(x0)=1, f ' ( x ) =y −1 =3.22x2−+1 .( x − 1) ; y =3ln 33ln 3 3ln 3(f ' ( x ) = lg2( x + 1) ) − ( ln ( x + 1) )//=2ln ( x + 1)ln10 ⋅ ( x + 1)−1. f'(x)=0ln10 ⋅ ( x + 1)при 2lg(x+1)–1=0, x + 1 = 10 , x = 10 − 1 . f'(x)>0 при x > 10 − 1 иf'(x)<0 при x < 10 − 1 ; f(x) – возрастает на ⎣⎡ 10 − 1; ∞( −1;)и убывает на10 − 1⎤⎦ .С–251. f ' ( x ) = (( 1 x ) − 3 ) / + (( 13 /x3 /) ) = (x ) + (x−1,5 /) =3x3 −1− 1,5 x−2,5.2. 4 16,08 − 5 32,15 ≈ 0,0006 .e3. S = ∫ x e dx =1ex e +1ee +1 − 1=.e +1e +11С–261.
f'(x)=(e–0,4x)'= –0,4⋅e–0,4x= –0,4f(x). Так что y'= –0,4y – искомое уравнение.452. Общее решение уравнения f'(x)=f(x)⋅ln3: f(x)=C⋅exln3=c⋅3x, а так какf(1)=9, то 9=C⋅3, C=3, и f(x)=3x+1– искомое решение.⎛1⎝214⎞⎠3. y '' = − y . Общий вид решения: y = C1 ⋅ cos ⎜ x + C2 ⎟ , где C1, C2∈R.Вариант 7С–11.а) является, т.к. F ' ( x ) =()/x − 1+2 =1=f ( x ) , для всех x∈(1;∞);2 x −1б) нет, так как F'(x)=(3x2–1)'=6x≠f(x) для некоторых x∈(–∞;∞).2. а) F'(x)=(2–sin2x+cos2x)'=–2sinxcosx–2sinxcosx=–2sin2x=f(x), для всехx∈(0;2), так что F(x) – первообразная для f(x) на (0;2);б) F'(x)=((x–1)4)'=4(x–1)3=4x3–12x2+12x–4≠f(x), но вероятно в условииопечатка и для f(x)=4x3–12x2+12–4 F(x)– является первообразной на(–∞;∞).С–21.
Общий вид первообразных дляh(x)=sinx: H(x)=–cosx+C, а так какπ⎛π⎞H ⎜ ⎟ = 2 , то 2 = − cos + C ;33⎝ ⎠C=2,5; H(x)=2,5–cosx.2. а)()( 6x − 2) 6x − 1 − 16x − 2==6x − 1 − 16x − 1 + 11= 6 x − 1 − 1 , так что F ( x ) = − x +( 6 x − 1)3 + C ;911б) f(x)=sinxcosxcos2xcos4x; f ( x ) = sin 2 x cos 2 x cos 4 x = sin 4 x cos 4 x =2411= sin 8 x . Так что F ( x ) = − cos x + C864f ( x) =C–32323a) f ( x ) = sin (1,5 x − 1) + x , F ( x ) = − cos (1,5 x − 1) + x x + C ;б) g ( x ) =13cos ( 7 − x )2+x21x3, G ( x ) = tg ( x − 7 ) + + C .236C–413a) ∫ 2 xdx + ∫0461(3⎛x3 ⎞123 − x dx = x + ⎜ 3 x − ⎟ = 1 + 3 − 3 − 3 + = 2 3 − 1 ;⎜⎟033⎠3⎝12)214π34π12б) ∫ ( − sin x ) dx = cos x π3 = − + 1 =π1.2С–5991010102а) ∫ 5 xdx = x x = ⋅ 9 9 − = 86 ; б)133331π4π4 1+2в) ∫ cos xdx = ∫00π3∫0dxcos 2 xπ= tgx 03 = 3 ;πcos 2 xπ 1⎛ x sin 2 x ⎞ 4dx = ⎜ +⎟ = + .24 ⎠08 4⎝2C–63(⎛)x3 ⎞311a) S = ∫ 4 x − 3 − x 2 dx = ⎜⎜ 2 x 2 − 3 x − ⎟⎟ = 18 − 9 − 9 − 2 + 3 + = 1 ;3⎠331⎝1π6π4π60sin 2 xб) ∫ sin xdx + ∫ cos 2 xdx = − cos +2π06С–7ПустьS(t)–уравнениеπ6=−пути,313 6−3 3+1+ −=.22 44тогдаS'(t)=V(t)и324∫ (10t − 0,008t ) dt = ( 5t − 0,002t ) 10 = 2000 –20201010S ( 20 ) − S (10 ) = ∫ V ( t ) dt =π420– 500 – 320 + 20 = 1200 (м).
Далее, a(t) = V'(t) = 10 – 0,024t2 и a(20)== 10 – 9,6 = 0,4 (м/с2).С–81234012⎛⎛x2 ⎞ 2x ⎞2πxS= ∫ (1 + x ) dx + ∫ (1 − x ) dx + ∫ cosdx = ⎜ x + ⎟ + ⎜⎜ x − ⎟⎟ +⎜⎟2 ⎠2 ⎠310−1⎝⎝0−101.2+102. ∫532πxsin2π32x2x −13412121218= 1− + − −dx = 2 x 2 − 1103 3 3 7 3(2 − 3).+= +4 π 2π 84π=6−4= 2.5С-91. Это тело вращения с площадью поперечного сечения S(x)=π(4+4z2).1Так что V = π ⋅ ∫0(1⎛4 z3 ⎞⎛4 + 4 z dz = π ⎜ 4 z +⎟ = π⎜ 4 +⎜3 ⎟⎠⎝⎝02)4⎞1⎟= 5 π.33⎠472. Разобем трапецию на полоски длиной ∆x=h.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
