ivlev-gdz-11-2001 (546285)
Текст из файла
А.А. Сапожников, Ф.Ф. Тихонинк учебному пособию «Б.М. Ивлев, С.М. Саакян,С.И. Шварцбурд. Дидактические материалыпо алгебре и началам анализа для 11 класса.— 5-е изд.— М.: Просвещение, 2001 г.»САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТАВариант 1С–11. а) F '(x)=(x3–2x+1)'=3x2–2=f(x), для всех х∈(–∞;∞), так что F(x) является Первообразной для f(x) на промежутке (–∞;∞);б) F '(x)=(2sin2x–2)'=2cos2x⋅(2x)'=4cos2x=f(x), для всех x ∈(–∞;∞), такчто F(x) является первообразной для f(x) на промежутке (–∞;∞).62. а) f(x)=x5, F(x)= x 6 – Первообразной для f(x) на R;б) ϕ(x)=–3,5, F(x)=–3,5x – Первообразной для ϕ(x) на R.С–21. Для f(x)=х2 все первообразные имеют3вид F(x)= x 3 +С, а так как точкаМ(–1;2) принадлежит графику F(x), то2=( −1)3 +С, то есть С=2+ 1 = 7 .3333Значит F(x)= x 3 + 7 3 .2.
Для f(x)=sinx все первообразные имеют вид F(x)=–cosx+C, так чтодве различные, например, F1(x)=–cosx и F2(x)=1–cosx. График F1(x):С–3a) Для f(x)=2sinx+3cosx первообразные имеют вид F(x)=3sinx–2cosx+C;б) Для f(x)=3+x2xпри х∈(0;+∞) Первообразной имеет вид3F(x)=6 x + x 3 +C.C–41. Заштрихованная фигура – прямоугольный треугольник с катетами хи 2х, так что S(x)= 1 2 ⋅x⋅2x=x2. Далее S'(x)=(x2)=2x=f(x), что и требовалось доказать.2.Первообразной для y=sinx является, например,F(x)=–cosx.
Тогда по формуле S=F(b)–F(a) искомаяS=–cos 2π 3 –(–cos0)= 1 2 +1= 3 2 .функцияплощадьC–55a) ∫ 4dx =F(5)–F(2), где F(x) – Первообразной для f(x)=4, то есть25F(x)=4x, например. Так, что ∫ 4dx = 4 ⋅ 5 − 4 ⋅ 2 = 12 ;22π2⎛π⎞⎝ ⎠б) ∫ sin dx = F ⎜ ⎟ − F ( 0 ) , где F(x) – одна из первообразных для20π2π2f(x)=sinx, например, F(x)=–cosx. Так что ∫ sin dx =– cos +cos0=1.0C–6а) Первообразной для y=x2, при x∈(1;3) является, например, F(x)=Тогда S=x3.333 13 262− ==8 ;3 333⎛ π π⎞⎝⎠б) Первообразной для y=2cosx, при x∈ ⎜ − ; ⎟ является, например,2 2⎛π⎞⎝ ⎠⎛ π⎞⎝⎠F(x)=2sinx.
Тогда S= 2 ⋅ sin ⎜ ⎟ − 2sin ⎜ − ⎟ =4.22C–7Обозначим S(t) – путь. Тогда S'(t)=V(t)=10–0,2t, так чтоS(x)=–0,1t2+10t+C. За время от 3 до 10 с точка пройдет путьS=S(10)–S(3)=–0,1⋅100+100+C+0,1⋅9–10⋅3–C=60,9 (м).C–81()⎛⎝21⎞⎠021а) S= ∫ 2 x − 2 x 2 dx = ⎜ x 2 − x3 ⎟ = 1 − = ;33 30π4π20π4ππб) S= ∫ sin xdx + ∫ cos xdx = ( − cos x ) 04 + smx π2 3 −422+1+1−= 2 − 2.22C–911. a) ∫ ( x + 1)5( x + 1)6dx =602πx⎛⎝x⎞б) ∫ cos dx = ⎜ 6sin ⎟66π1=026 1− = 10,5 ;6 62π⎠π= 6sinππ− 6sin = 3 3 − 3362. Площадь поперечного сечения S(x)=π⋅(3x+1)2.
Тогда объём111⎛ ( 3 x + 1)3 ⎞⎛ 43 1 ⎞2⎟ = π ⋅ ⎜ − ⎟ = 7π.V = ∫ S ( x ) dx = π ⋅ ∫ ( 3 x + 1) dx = π ⋅ ⎜⎜ 9 9⎟⎜⎟900⎝⎠⎝⎠03C–109 − 4 5 ≥ 0.1. Не верно, так как 2– 5 <0, а2. а)46443= 11 = 11 ; б)383,7 ≈ 9,1488; б)3. а)4.( −11)425 ⋅ 135 = 3 52 ⋅ 5 ⋅ 27 = 3 53 ⋅ 33 = 3 153 = 15 .21 ≈ 2,7589 .80 < 6 81 = 6 92 = 3 9. Так что680 < 3 9.C–111. a 2 = − ( − a ) 2 = −( − a )2 ⋅ 2 = −2a 2 , где а<0.2.
а) x3+18=0, x3=–18, x= 3 −18 = − 3 18 ;( x)4б)24шения;4+ 44 x − 5 = 0 ,x = t , t2+4t–5=0, t=–5 и t=1:x = −5 – нет ре-x = 1 , x=1. Ответ: х=1.( 4 − 7 )( 4 + 7 ) =4− 7 ⋅ 4+ 7 =3. a)442 −( 7)2= 9 =3;б) а+ 4 a 4 = a + a = 2a , где а>0.C–125 + x −1 = 3 ; 5 + x −1 = 9 ;1.⎧3333x − 1 = 4 ; x–1=16; x=17.⎧⎪2 x = 4 ⎪ x = 2 ⎧ x = 8,; ⎨; ⎨⎪⎩ x + y = 3 ⎪⎩2 3 y = 2 ⎪⎩ 3 y = 1 ⎩ y = 1.⎪ x − y =12. ⎨⎧33; ⎨C–1353⋅1.
а) 8 3 = 2(в) 9 + 73= ⎛⎜ 92 −⎝(1353= 25 = 32 ; б)) (⋅ 9 − 73)113( 9)3922 9⋅2= 33) (()(= 33 = 27 ;= 9 + 73 9 − 731))13=13⋅2 373 ⎞⎟ = 8 3 = 2 3 = 2 .⎠626 2> , то 213 > 2 7 , поскольку 2>1.13 7333u + 2 ⋅ ⎛⎜u + 23u +8⎝==2. Так как3.2u 3 − 23 u + 41= 3 u + 2 = u3 + 2 .4( )( u) − 2⋅32(3u + 22) ( u ) − 2⋅ u + 2( u) − 2⋅ u + 233223322⎞⎟⎠=C–141. См. график.2. а) 2() : 222 +1 23+ 2 2 − 2 2⎛( 6)⎝=2(2+ 2) : 222 +12=3=2 =8;2б) ⎜22⎞⎟⎠2( 6)=2⋅ 2=( 6)2= 6.3. f(x)=3x–2. 3x>0, так что f(x)>–2.Ответ: (–2;∞).C–151.
а) 3х–4=1; x–4=0; x=4;⎛1⎞⎝ ⎠б) 27 −3 x = ⎜ ⎟2x−4; 27 − 3 x = 24 − x ; 7–3x=4–x; 2x=3; x=1,5.x2. a) 54 x− 7 > 1 ; 4x–7>0; x>1,75; б) 0,7 x < 2−22 ⎛7⎞ ⎛7⎞; ⎜ ⎟ < ⎜ ⎟ ; x>–2.49 ⎝ 10 ⎠ ⎝ 10 ⎠C–161. a) 2x+2+2x=5; 4⋅2x+2x=5; 2x=1; x=0;б) 9x–6⋅3x–27=0; 3x=t; t2–6⋅t–27=0; t1=–3, t2=9; 3x=–3, 3x=9; x=2.⎛1⎞x⎛1⎞x⎛1⎞x⎛1⎞x2. ⎜ ⎟ − 3 ⎜ ⎟ + 2 > 0; ⎜ ⎟ = t ; t 2 − 3t + 2 > 0; t<1 и t>2; ⎜ ⎟ < 1 и⎝2⎠⎝2⎠⎝4⎠⎝2⎠x⎛1⎞⎜ ⎟ > 2; x>0 и x<–1; x∈(–∞;–1)∪(0;∞).⎝2⎠C–17()231. lg 7 a 3 ⋅ 3 b 2 = lg 7 + lg a3 + lg 3 b 2 = lg 7 + 3lg a + lg b .2.
a) log3684–log3614=log36б)(1184= log 62 6 = log 6 6 = ;1422)32lg 27 + lg12 lg 3 + lg 2 ⋅ 33lg 3 + 2lg 2 + lg 3 2 ( lg 2 + 2lg 3)==== 2.lg 2 + 2lg 3lg 2 + 2lg 3lg 2 + 2lg 3lg 2 + 2lg 33. log1,32,6=ln 2,6≈ 3,6419 .ln1,3C–181. log 2 3 = − log 1 3 = log 121< log 1 , так как 1 > 1 , но 1 < 1 . Так15235232что log 2 3 < log 1 1 5 .252. y = log 1 (3 x + 4 ) ; 3x+4>0; x>–131.33.C–191. а) log2(x2–3x+10)=3; x2–3x+10=8; x2–3x+2=0; x1=1, x2=2;⎧2 x = 2⎧3x − 5 = x − 3 ⎪2⎪⎪; ⎨ x > 1 , решений нет.б) log3(3x–5)=log3(x–3); ⎨3x − 5 > 03⎪x − 3 > 0⎪⎩⎪⎩ x > 3⎧2 x + 3 > x − 1 ⎧ x > −4⎪⎪; ⎨ x > −1,5 ; x>1;⎪x −1 > 0⎪x > 1⎩⎩2. a) log5(2x+3)>log5(x–1); ⎨2 x + 3 > 0⎧2 x − 5 > 4 ⎧ x > 4,5;⎨; x>4,5.⎩2 x − 5 > 0 ⎩ x > 2,5б) log 1 (2 x − 5) < −2; log 1 (2 x − 5) < log 1 4; ⎨222C–201.
a) log23x–log3x=2; log3x=t; t2–t–2=0; t1=–1, t2=2; log3x=–1 и log3x=2;13x1= , x2=9;(в ответе задачника опечатка);б)6t − 42424+= 1 ; lgx=t+1;+=1; 2= 1 ; 6t=t2; t1=0,lg x − 3 lg x + 1t−2 t+2t −4t2=6; lgx=1 и lgx=7; x1=10, x2=10000000.2. а) lg2x+3lgx<4; lgx=t; t2+3t–4<0; –4<t<1; –4<lgx<1; 0,0001<x<10;б) 4x–1>7; x–1>log47; x>log47+1; x>log428.C–21⎧⎪ x = 8 − y,⎧ x + y = 8,⎧ x = 8 − y,a) ⎨;; ⎨;⎨2⎩log12 x + log12 y = 1 ⎩log12 ((8 − y ) y ) = 1 ⎪⎩8 y − y = 126⎧⎪ x = 8 − y,⎧ x = 6, ⎧ x2 = 2,; ⎨ 1и ⎨⎨ 2⎪⎩ y − 8 y + 12 = 0 ⎩ y1 = 2⎩ y 2 = 6.⎧⎛ 1 ⎞ x⎪⎜ ⎟ + 3 y = 7,⎪⎝ 2 ⎠;б) ⎨2x⎪⎛ 1 ⎞2y⎪⎜ 2 ⎟ + 3 = 25⎩⎝ ⎠⎧⎪a = 7 − b,;⎨ 2⎪⎩b − 7b + 12 = 0⎧a1 = 4,⎨⎩b1 = 3⎧⎛ 1 ⎞ x⎧⎪a = 7 − b,⎪a + b = 7,⎪=a;⎧;;⎨⎜⎝ 2 ⎟⎠⎨⎨ 2⎪⎩a + b 2 = 25 ⎪⎩(7 − b )2 + b 2 = 25⎪3 y = b⎩⎧иx⎧a2 = 3; ⎪⎛⎜ 1 ⎞⎟ = 4,; ⎨⎝ 2 ⎠⎨⎩b2 = 4 ⎪ y⎩3 = 3и⎧⎛ 1 ⎞ x⎪⎜ ⎟ = 3,;⎨⎝ 2 ⎠⎪ y⎩3 = 4⎧ x1 = −2, ⎧ x2 = − log 2 3,и ⎨ y = log 4.⎨3⎩ 2⎩ y1 = 1C–221.
a) f(x)=4–3x; g(x)=4− x– обратная. D(g)=E(g)=R;3б) f(x)= 1 − x 2 , x≥0; g(x)= 1 − x 2 – обратная.D(g)=E(g)=[0;1].2. f(g(–1))=–1; g(–1)=–1; f(g(2))=2;2g(2)= ; f(g(3))=3; g(3)=1.34D(g)=[–2;4]; E(g)=[–2; ]:3C–231. а) f(x)=e–5x, f'(x)=(e –5x)'=e –5x⋅(–5x)'=–5e–5x;б) f(x)=x⋅2x, f'(x)=(x)'⋅2x+(2x)'⋅x=2x+2x⋅ln2⋅x=2x(1+xln2).2. f(x)=e–x, x0=1. Уравнение касательной: y–f(x0)=f'(x0)⋅(x–x0);(y–e–1)=–e–1(x–1); y= 2 e − x e3. f(x) = x⋅e2x; f'(x)=e2x+2xe2x=e2x(1+2x), f'(x)=0 при x=–0,5.f'(x)>0 при x>–0,5 и f'(x)<0 при x<–0,5, так что f(x) – возрастает приx≥–0,5 и f(x) – убывает при x≤–0,5.334. ∫ e x dx = e x = e3 − e .11C–241. а) f(x)=ln(2x+1), f'(x)=(ln(2x+1))'=(2 x + 1)' =2x + 12;2x + 17f(x)=log3(2x2–3x+1),б)=4x − 3(f'(x)=(log3(2x2–3x+1))'=()22 x − 3x + 1 '1⋅=ln 3 2 x 2 − 3x + 1)ln 3 2 x 2 − 3 x + 13132.
S = ∫ dx = ln x 1 = ln 3 − ln 1 = ln 3 .1x3. f(x)=x2lnx, f'(x)=2x⋅lnx+x=x(2lnx+1), f'(x)=0 при x = eточке x01−=e 2(= 3 x2.3.33 −13 125,151∫x03− x−+ x−12, так что вфункция f(x) достигает своего минимума f(x0)= −C–251.f(x)= x−3(f '( x ) = x,3 −1)3−x− 3)=/3x3 −1+ 3x− 3 −11.2e=≈ 5,002 .⎛ 1dx = ⎜⎜x⎝ 3 +13 +1 ⎞⎟113 −1⎟ = 3 +1 = 2 .⎠0C–261. y=3e–2x, y'=3⋅(e–2x)'=3⋅e–2x(–2x)'=–2⋅3e–2x=–2y, что и требовалось доказать.2. f'(x)=3f(x), значит f(x)=c⋅e3x, но так как f(0)=3, то 3=c⋅e3⋅0, то есть с=3и f(x)=3e3x.3. x(t)=3cos(2t–π), x'(t)=–6sin(2t–ππ)=–4x(t).
То444есть искомое уравнение x''=–4x.Вариант 2С–11. а) F '(x)=(x4–3x2+7)'=4x3–6x=f(x), для всех х∈(–∞;∞), так что F(x) является Первообразной для f(x) на промежутке (–∞;∞);б) F '(x) = (cos(2x – 4))' = –sin(2x – 4)⋅(2x – 4)' = –2sin(2x – 4), для всехx ∈(–∞;∞), так что F(x) является Первообразной для f(x) на промежутке (–∞;∞).2. а) f(x)=–x4, F(x)=), x''(t)=–12cos(2t–− x5– первообразной для f(x) на R;5б) f(x)=6,4, F(x)=6,4x – первообразной для f(x) на R.8С–241. Для f(x)=х3 все первообразные имеют вид F(x)= x 4 +С, а так какточка М(1;–1) принадлежит графику5F(x), то –1= 1 4 +С, то есть С= − и41x4–1 .442. Для f(x)=cosx все первообразныеимеют вид F(x)=sinx+C, так что дверазличные первообразные, например,F1(x)=sinx и F2(x)=sinx+1.График F1(x):С–3a) Для f(x)=3sinx–2cosx Первообразной имеет вид:F(x)=–3cosx–2sinx+C;–x при х∈(0;∞) Первообразной имеет вид:б) Для f(x)= 4F(x)=x2F(x)=8 x – x 2 + C.C–41.
Заштрихованная фигура – прямоугольный треугольник с катетами хи 3х, так что S(x)= 1 2 ⋅x⋅3x= 3 2 x2. Далее, S'(x)=( 3 2 x2)'=3x, что и тре-бовалось доказать.2.Первообразной для y=cosx является, например, F(x)=sinx. Тогда поформуле S=F(b)–F(a) искомая площадь S=sin π 2 –sin − π 6 =()=1–(– 1 2 )=1,5.C–53a)∫ 2dx =F(3)–F(1),где F(x) – одна из первообразных для f(x)=2, на-13пример, F(x)=2x. Тогда ∫ 2dx =2⋅3–2⋅1=4;1π2( )б) ∫ cos xdx = F π 2 − F ( 0 ) , где F(x) – одна из первообразных для0π2f(x)=cosx, например, F(x)=sinx.
Так что ∫ cos dx = sin π 2 – sin0=1.09C–6а) Первообразной для y=x3, при x∈[1;3] является, например, F(x)=3тогда S= ∫ x3dx =14x431=4x4,443 1− = 20.4 4( ) ( )S=2S = 2 ⋅ ( 2sin π 2 − 2sin 0 ) =4,б) Первообразной для y=2cosx, при x∈ 0; π 2 и x∈ π 2 ; π является, например, F(x)=2sinx. Тогда1где S1 —фигура, ограниченная линиями y=2cosx, y=0, 0≤x≤ π 2 .C–7Пусть S(t) – путь точки. Тогда S'(t)=V(t)=3+0,2t.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
