ivlev-gdz-11-2001 (546285), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Найдем экстремумы f(x) отрезка [–1; 2]; f′(x) =ln 3x2–x=3 – 3 , тогда f′(x) = 0 принимает вид 3x = 32–x, т.е. x = 2 – x, т.е. x = 1.Тогда наибольшее и наименьшее значение функции лежит среди точек3−1 + 3332 + 1 106; f(1) =; f(2) ==; тогда в x = –1x= –1, 1, 2; f(–1)=ln 3ln 3ln 3ln 31. f(x) =1627 3наибольшее значение, а в x = 1 наименьшее fmax =; fmin =.ln 3ln 32.
Пусть первое слагаемое x, тогда второе 2x, а третье a и x + 2x + a ==3x+a = 18, тогда a = 18 – 3x, и наибольшее значение f(x) = (18 – 3x)2x2должно иметь максимум в искомом x; f′(x)=–18x2+18⋅2x=18(4x–x2) = 0,тогда x либо 0, либо 2, либо 6, т.к. если x > 6, то x + 2x > 18, x = 0 неможет быть, т.к. f(0) = 0, f(4) = 6 ⋅ 8 ⋅ 4 = 192; f(6) = 0 поэтому искомыеслагаемые: 4, 8, 6.ПС–14′21. f(x) =− 2 sin x = 2 tgx + 2 cos x ⇒ F(x) = 2tgx + 2 cosx + C,2cos x()( )F π 4 = 3 + C = 0, тогда C = –3, тогда F(x) = 2tgx + 2 cosx – 3.112.
а) y = ; y = 0,5; x = 1. Сначала найдем точки пересечения y = сxxлиниями x = 1 и y = 0,5. Это (1; 1) и (2; 0,5). Тогда:21S1= ∫ dx =ln2–ln1=ln2; S=S1–S2 (S2 площадь под y = 0,5); S2 = 0,5, тогда1xS2 = ln2 – 0,5 ≈ 0, 2 ;б) y = x2 – 2x + 4; y = 4. Найдем точки пересечения линий: 4=x2–2x+4;x1 = 0; x2 = 2. Тогда S = S1 – S2, где S1 — площадь под y = 4, а S2 площадь под y = x2 – 2x + 4 на отрезке [0; 2]. S1 = 8;2132838383S2= ∫ ( x 2 − 2 x + 4)dx = ( x3 − x 2 + 4 x) = − 4 + 8 = + 4 ;S = 4 − =00ПС–151. а) 4log 2 6− 0,5 =4log 2 6 22 log 2 6 2log 2 36=== 18 ;222б) log4 log14 196 + log5 5 = log4 2 + log5 5 = 1 2 + 1 2 log5 5 = 1.log 2 122. а) log2(22x + 16x) = 2log4 12 = 2= log2 12.log 2 410441=1 .33Тогда 22x + 24x = 12; z = 22x уравнение принимает вид z + z2 = 12, решаяего, имеем z1 = 3, z2 = –4, т.к.
22x > 0, то решение нашего уравнения является решением 22x = 3, т.е. x = log2 3 .(3 x + 4)( x − 5) + 5 = x .б)Уравнениеравносильносистеме:⎧(3 x + 4)( x − 5) = ( x − 5) ,⎪Решим первое уравнение: ⎡3xx=−5,4 = x − 5, тогда⎨( x − 5) ≥ 0,⎣⎢⎪⎩(3 x + 4) ≥ 0.211и x2 = 5; x2 = 5 подходит, а x1 = − не подходит, т.к.221(x – 5) при x = − < 0. Ответ: x = 5.22x = –1, x1 = −ПС–16⎧x < 3⎧log x < 1,2⎪1. а) log x < 1; ⎨log 3 x > −1. Решим эти неравенства: ⎨1 , т.е.3⎩ 3⎪x > 3⎩⎛1 ⎞x ∈ ⎜ ; 3⎟ ;⎝3 ⎠16≥ 2; 2(log4 x)(2 – log4 x) ≥ 2; z=log4 x, тогда z(2 – z) ≥ 1xрешим это неравенство. Получим, что оно выполняется только приz=1, тогда x = 4.б) log4 x2 ⋅ log4⎧⎧⎪3 y + х = 10;− log3 xy=9⎩⎪3 ⋅ 3yх = 103.
⎨3y −+log;x=2 ⎨⎩3{⎧3 y + х = 10 ⎧10 x = 10; ⎨ y = log (9 x) ; xy == 12 .⎨ yх3=93⎩⎩Ответ: (1; 2).ПС–171. y = 3xe2–x. Найдем экстремумы: y′=3e2–x+3x(–1)e2–x; y′=0=3e2–x–3xe2–x;1–x=0; x = 1. Тогда на (–∞; 1] функция возрастает, а на [1; +∞) убывает; x = 1, y = 3e — максимум.2. Найдем точки пересечения линий (1, e) (0, 1), тогда S = S1 – S2.S1 — площадь под y = e на [0, 1].
S2 — площадь под y = ex на [0, 1].1S1 = e. S2 = ∫ e x dx = e − 1 , тогда S = 1.0ПС–183dx1 3 d (2 x + 3) 111= ∫= ln(2 x + 3) = ln 9 − ln 5 = ln 1,8 ;2 1 2x + 322211 2x + 331. а) ∫10514б) ∫2dx1 14 dx−1=∫ = (ln 7) ⋅ ln xx ln 7 ln 7 2 x142= (ln7)–1(ln14 – ln2) = 126S1 = ∫ dx = 6(ln2 – ln1) = 6ln2;1x2.66S 2 = ∫ dx = 6(ln6 – ln3) = 6ln2, видно,3xчто S1 = S2.1в точке x0 = 3 f′(x0) = 1;3. f′(x) = 2x −1f(3) = 2ln2. Составим уравнение касательной: y = x + (2ln2 – 3).Вариант 4ПС–17 + 3 5 ⋅ 7 − 3 5 = 49 − 9 ⋅ 5 = 2 ;1.
а)б)6+ 2=6− 2(6 + 2 )(6 + 2 ) = 36 + 1236 − 22 +234=38 + 12 2 19 + 6 2=.34172. а) x5 + 243 = 0; x = − 5 243 = −3 ; б) x6 – 64 = 0; x = 6 64 = ±2;в)3x −6 x −2 = 0;6не имеет решения, а6x = z ; z2 – z – 2 = 0; z1 = 2, z2 = –1, т.к.6x = −2x = 2 имеет при x = 64, то ответ: x = 64.ПС–21) ax2 + bx + c = 0, b = a + c, D = b2 – 4ac = (a – c)2, тогдаc−( a + c ) ± ( a − c ); x1 = − , x2 = –1.x1,2 =2aa2) (x2 + x)2 > 4. Тогда x2 + x > 2 или x2 + x < –2. Решим первое неравен−1± 3= –2,1, тогда (x + 2)(x – 1) > 0, т.е.ство: x2 +x – 2 = 0; D = 9, x1,2 =2x ∈ (–∞; –2) ∪ (1; +∞). Второе неравенство имеет пустое решение, т.к.у x2 +x + 2 = 0 D < 0, т.е.
x2 + x + 2 > 0 для всех возможных значений x.Ответ: x ∈ (–∞; –2) ∪ (1; +∞).3) Пусть число единиц x, тогда число десятков x + 2, составим уравнение: (x+10)(x+2)·(2x+2)=252; 2(x+20)(2x+2)=252; 21x2 + 41x + 20 = 126.Решая это уравнение, получим x = 2, тогда искомое число 42.ПС–31.x106x1,8−x1,5−0,2−x−0,59− (0,09)−0,53x 5 − x 2 100− 2 ( x + 3) = 1−= 5 при х = 3.33−−1x 5 −x 2x+23x363 x( x − 4) + ( x + 2)( x + 2) − 36;+== 0,x + 2 x − 4 x2 − 2x − 8x2 − 2x − 82222– 2x – 8 ≠ 0; 3x –12x + x + 4x – 36 = 0; 4x – 8x – 32 = 0; x2 –2x – 8 = 0;2±6= −2, 4 , т.к. x2 –2x – 8 = 0 при x = –2, то этотD = 4 + 32 = 36; x1,2 =2ответ не подходит, при x = 4; x2 –2x – 8 = 0, тогда наше уравнение неимеет решений.ПС–41.
x2 – 4|x| + 3 = 0.4±2= 1; 3 , тоПусть x ≥ 0, тогда x2 – 4x + 3 = 0; D = 16 –12 = 4; x1,2 =2гда, т.к. |x + 1| ≤ 3,5, при x = 1, следовательно, x = 1 является корнем.−4 ± 2= −3; − 1 . Оба корПусть x < 0, тогда x2 + 4x + 3 = 0; D = 4; x1,2 =2ня меньше нуля и удовлетворяют условию |x + 1| ≤ 3,5.Ответ: –3; –1,1.2. Парабола пересекает ось абсцисс в 2–х местах, если D > 0,D = a2 – 36, т.е. a2 > 36, a ∈ (–∞; –6) ∪ (6; +∞), если a = 10, то в интервале (–9; –1) функция отрицательна, а на (–∞; –9)∪(–1; +∞) положительна.ПС-52.( )1. 1 71 ⎞⎛log7 ⎜ 3+1+ +...
⎟3 ⎠⎝1− log ⎛⎜ 3+1+ +... ⎞⎟(7⎝3⎠= 3 + 1 + 1 + ...3)−1= 2 , т.к. 3 + 1 + 1 ...93геометрическая прогрессия со знаменателем 1 3 и первым членом 3,b9ее сумма равна 1 = .1− q 2=7111 ⎞111⎛ 1⎞ ⎛1 1⎞⎛ 1+ ... += ⎜1 − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ... + ⎜ 9 − 10 ⎟ , т.к. n − n = 3 n , то2210 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 4 ⎠2 ⎠222⎝21 1023.гда S = 1 – 10 =102422.3. Для того, чтобы она была арифметической, надо чтобы: sin2x–3sinx== –1 – sin2x; 2sin2x – 3sinx + 1 = 0 (т.к. b2 = b1 + db3 = b1 + 2d, тогдаb2 – b1 = b3 – b2 = d). Решим уравнение: sinx = z; 2z2 – 3z + 1 = 0;3 ±1= 1; 1 , т.к. |z| ≤ 1, то решением нашего урав24нения будет решение: sinx = 1; x = π 2 + 2πk и sinx = 1 2 ;x = (–1)n π 6 + πn , k, n ∈ Z.D = 9 – 8 = 1; z1,2 =107ПС-6⎛⎝π⎞ππ1.sinα – 3 cos α =2sin ⎜ α − ⎟ =2sin α cos − 2sin cos α = sin α − 3 cos α .333Найдем⎠наименьшеезначениеsin α − 3 cos α ,т.к.π⎞π⎞⎛⎛sin α − 3 cos α = 2sin ⎜ α − ⎟ , sin ⎜ α − ⎟ имеет наименьшее значение3⎠3⎠⎝⎝–1, тогда наименьшее значение нашего выражения –2.2.1 − cos 2α − sin 2α2sin α(sin α − cos α)== 2sin α .cos(1,5π + α) − cos αsin α − cos αа) если α = π 4 , то sinα – cosα = 0, т.к.
делить на ноль нельзя, то выражение не имеет смысла;б) если α = 3π 4 , то выражение положительно;в) 2sinα = 2; sinα = 1; α = π 2 .ПС-71. а) 2 – sinx=2cos2x = 2(1 – sin2x), тогда t = sinx; –t = –2t2; t1 = 0; –1 = 2t;t2 =π1, тогда x1 = πn; x2 = (–1)k 6 + πk, k, n ∈ Z;23⎛π⎞б) 2sin ⎜ − x ⎟ − 3 = 0 ; 2cos x − 3 = 0 ; cos x =;22⎝⎠⎧⎪ x = (± π + 2πn)2 n ∈ N6;⎨π 2n=0⎪⎩ x = (± 6 )в) 3 – 2sin(π + 2x) = tgx + ctgx, тогда 3 + 2sin2x =12;=sin x cos x sin 2 x3sin2x + 2sin22x = 2; sin2x = t; 2t2 + 3t –2 = 0; D = 9 + 16 = 25;π−3 ± 511n+ πn , n ∈ Z;= −2; , т.к.
| t | ≤ 1, тогда sin2x= ; 2x = (–1) 6422ππx = (–1)n 12 + 2 n , n ∈ Z.t1,2 =π⎞π⎞π⎞1⎛⎛⎛cos ⎜ 2 x + ⎟ ≥ − ;cos x cos ⎜ x + ⎟ − sin x sin ⎜ x + ⎟ ≥ −0,5 ;4⎠24⎠4⎠⎝⎝⎝2ππ 2π11π5π−+ 2πn ≤ 2 x + ≤+ 2πn ;−+ 2πn ≤ 2 x ≤+ 2πn ;34 312125π11π5π⎛ 11π⎞+ πn;+ πn ⎟ , n ∈ Z.−+ πn ≤ x ≤+ πn , n ∈ Z; x ∈ ⎜ −242424⎝ 24⎠2.108ПС-81. а) любой x из Dy должен удовлетворять неравенствам x + 2 ≥ 0 и9 — x2 > 0, т.е. x ∈ [–2; +∞) и x ∈ (–3; 3), тогда Dy [–2; 3);б) y = 6 1 + 2cos 2 x ; 1 + 2cos2x ≥ 0. Решим это неравенство:1cos2x ≥ − ;22π⎡ 2π⎤+ 2πn;+ 2πn ⎥ ;3⎣ 3⎦ππ⎡⎤x ∈ ⎢ − + πn; + πn ⎥ , n ∈ Z.3⎣ 3⎦2x ∈ ⎢ −2.ПС-9а)б)в)ПС-101. v(t) = s′(t) = 6t – 2πsin(0,5πt) в моментвремени t = 2 с v = 12 м/с.2.
f(x) = –0,5x2 + x + 1,5; f′(x) = –x + 1 в точ3πке x0 = 2 f′(x0) = –1, тогда tgα = –1; α = ;4тогда уравнение касательной y = –x + 3,5.ПС-11⎛π⎞⎝ ⎠1. f′(x) = –3sinx + 4; f′ ⎜ ⎟ = 1, тогда 4 –23sinx ≥ 1, sinx ≤ 1, x — любое число.2. f′(x) =2<33 23 23− 2(2 − 0,5 x) ; f′(2) =− 2(2 – 1)3 =− 2 < 0 , т.к.442 x8.31093.
f′(x) = 8 –f′(x) > g′(x); 8 −4x4x33; g′(x) => 2x −4x34 x5 − 2 x( x 4 + 2)x4{=4 x 5 − 2 x5 − 4 xx4{=2 x5 − 4 xx4;4, Ответ: x ∈ (–∞; 0) ∪ (0; 4).; 8x >≠ 20x ; xx <≠ 0.ПС-126 x 4 (16 − x 2 )6 x 4 (4 − x)(4 + x)≥0;1. а)≤ 0 , т.к. 3x2 + 7 > 0 для любого x,22−3x − 73x + 7то x4(4 – x)(4 + x) ≤ 0 и х = 0; x ∈ (–∞; –4] ∪ log ∪ [4; +∞);2x − 8≤ 01 , т.к. 3sinx + 4 > 0 для всех x, то 2x ≤ 6, т.е. x ≤ 3.б)3sin x + 42.
1) Область определения: x2+2x+3≠0; x ≠ –3; 1; D ∈ (–∞; –3) ∪ (–3; 1)∪ (1; +∞).2) f ′( x) =22(2 x + 2)( x + 2 x + 3) − ( x + 2 x)(2 x + 2)2( x + 2 x + 3)2=3(2 x + 2)2( x + 2 x + 3)2;f ′( x) = 0 при х = –1; f(–1) = –0,5 —точка минимума. На промежуткех ∈ (–∞; –1] функция убывает; нах ∈ [–1; +∞) функция возрастает;f ( x) = 0 при х1 = 0 и х2 = –2.ПС-131. f(x) = 32x + 2 ⋅ 33–x; f′(x) = 2 ⋅ 32x ln3 – 2 ⋅ ln3 ⋅ 33–x. Найдем экстремумыфункции: f′(x) = 0; 32x = 33–x, т.е. 2x = 3 –x; x = 1, тогда наибольшее инаименьшее значение функция принимает в одной из точек x=1, –1, 2.11+ 2 ⋅ 81 = 162 ; f(1) = 9 + 2 ⋅ 9 = 27; f(2) = 31 + 2 ⋅ 3 = 37, т.е.f(–1) =9+29наибольшее значение 162 1 9 , наименьшее значение 27.2. Пусть одно слагаемое x, тогда второе 3x, третье a, тогда 4x + a = 24,т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
