ivlev-gdz-11-2001 (546285), страница 17
Текст из файла (страница 17)
3(x2 – 3) ⎜ x 2 − ⎟ = 3 x + 3 x − 3 ⎜ x +3⎠2. D=b2+8b2=9b2; x1,2 =b ± 3b4b 21 ⎞⎛1 ⎞⎟⎜ x −⎟.3 ⎠⎝3⎠111⎛ 1 1⎞<;< 1 при | b | > 1.= ⎜− ; ⎟ ;bb⎝ 2b b ⎠ 2b3. x2 + x – 1 = 0 — корни существуют, т.к. D = 5 > 0; применим теоремуВиета. x1 + x2 = –1; x1x2 = –1; x12 + 2x1x + x22 = 1; x12 + x22 = 3; x14 ++ 2x12x22 + x24 = 9; x14 + x24 = 7. Ответ: 7.ПС-51. Sn =a +a1152⋅ n = a ⋅ 15 .⎧a3 + a9 = 6⎪135 ;⎨⎪⎩a3 − a9 = 168135⎧915159⎪a3 = 16a; a3 = ; a9 = ; a3 = ; a9 = ;⎨944442⎪16a − 96a + 135 = 09⎩ 9139a9 – a3 = 6d =6611410или − , тогда d = ± ; a8 = a9 – d =или, тогда44444S15 = 52,5 или 37,5.2.
1+11+ ... + 11 ... 1 = 1991 + 10 ⋅ 1990 + ... + 101990 =142431991101992 − 10 − 9 ⋅ 199192.p3. 1 + 2 ⋅ 21 + 3 ⋅ 22 + 4 ⋅ 23 + ...+ p ⋅ 2p–1 = ∑ n 2n −1 = 1 + (p – 1) ⋅ 2p.n =1ПС-61.а) 2sin8α + 2sin6αcos2α + 2sin4αcos4α + 2sin4αcos2α + 2sin6αcos4α ++ 2sin2αcos6α + 2sin4αcos4α + 2sin2αcos6α + 2cos8α – sin8α – cos8α ==sin8α+4sin6αcos2α+6sin4αcos4α+4sin2αcos6α+cos8α=(sin2α+cos2α)4 = 1.8π 10π 12π 14πsin sinsinsin15151515 = 1 ; т.к. 8π = π − 7 π и т.д.б)7357π ⎞πππ1515⎛27 ⎜ sin sin sin sin ⎟ 215151515⎝⎠sinα = sin(π – α).8sin 2 α − 2 + 2 − 8sin 2 α + 4sin 4 α3 − 4cos 2α + cos 4α= tg4α;= tg4α.2.3 + 4cos 2α + cos 4α4cos 4 α3. γ = π – (α + β); tgα + tgβ + tg(π – (α + β)) = tgαtgβtg(π – (α + β));tgα + tgβtgα + tgβ – tg (α + β) = –tgαtgβtg (α + β); tgα + tgβ –=1 − tgαtgβ⎛ tgα + tgβ ⎞ − tg 2αtgβ − tg 2βtgα −(tg 2αtgβ + tg 2β tgα)=.⎟1 ;1 − tgαtgβ1 − tgαtgβ⎝ 1 − tgαtgβ ⎠= –tgαtgβ ⎜ПС-7⎛1⎞31⎞⎛cos x ⎟⎟ sin4x = 1; sin ⎜ x + ⎟1 sin4x = 1, т.к.
|sinx| ≤ 1, то1. а) ⎜⎜ sin x +3⎠22⎝⎝⎠⎧sin 4 x = 1⎪⎧sin 4 x = −1,⎪либо ⎨sin ⎛ x + π ⎞ = 1 либо ⎨sin ⎛ x + π ⎞ = −11.⎟⎟⎪ ⎜⎪ ⎜33⎠⎠⎩ ⎝⎩ ⎝ππ3ππ⎧⎧⎪x = 8 + 2 n⎪x = 6 + 2 nлибо– решений нет;⎨⎨7ππ⎪ x = + 2πn⎪x =+ 2πn66⎩⎩xx2x4xx8xx8xxб) 8sin cos cos cos = sin ; sin = sin ; sin − sin = 0 ;5555555557x9x7x9x10π5π 10= 0 ; sin=0;x=n;x=+ πk , n, k∈Z;2sin sin= 0 ; sin101010107991402. а) 2tg2x ≤ 3tgx;4tgx4 − tg 2 x– 3tgx ≤ 0;2tgx(1 + tg x)21 − tg x2≤ 0 ; tg x + 1 > 0 дляtgxвсех x, тогда неравенство имеет вид:1 − tg 2 xy≤ 0 .
Воспользуемся методом(1 + y )(1 − y )интервалов: y ∈ (–1; 0] ∪ (1; +∞); y = tgx;–+π⎛ π⎤ ⎛π⎞x ∈ ⎜ − + πn; πn ⎥ ∪ ⎜ + πn; + πn ⎟ , n ∈ Z.442⎝⎦ ⎝⎠≤ 0 ; tgx = y;–1+034π2π⎛ 4π⎞⎡π⎤sin ⎜ cos( πx) ⎟ ≥cos πn ∈ ⎢ + 2πn;;+ 2πn ⎥ ,33332⎝⎠⎣⎦⎡1 3 1 3 ⎤cos πx ∈ ⎢ + n; + n ⎥ , n, r, m ∈ Z;⎣4 2 2 2 ⎦б)–1yn ∈ Z,⎧πx ∈ [ π + 2πn; 5π + 2πn]33⎪и πx = π + 2πk; x = 1 + 2πk, то⎨⎪πx ∈ [arccos(− 1 ) + 2πn; arccos 1 + 2πn]44⎩1arccosarccos 14 + 2n; − 1 + 2n] ∪ [ 1 + 2n;4 + 2n] ∪ {1 + 2k}.гда x ∈ [−33ππПС-81. а) –6sin2x + 5sinx – 1 ≥ 0; sinx = t; –6t2 + 5t – 1 ≥ 0; 6t2 – 5t + 1 ≤ 0;t − 1 t − 1 ≤ 0 ; t ∈[ 1 ; 1 ] ,3 232()()x ∈ ⎡ arcsin 1 + 2πn; π + 2πn ⎤ ∪ ⎡5π + 2πn; − arcsin 1 + π + 2πn ⎤ ;363⎣⎦ ⎣ 6⎦⎧x > 0⎪б) y = log2log4log8x; ⎨log8 x > 0⎧x > 0⎪; ⎨x > 1⎪log log x > 0 ⎪⎩log8 x > 1⎩ 4 8⎪⎧sin x > 0в) y = logsinxcos2x; ⎨sin x ≠ 1 ;⎪⎩cos 2 x > 0; x > 8;⎧⎪⎪ x ∈ ( 2πn; π + 2πn ); n, k, m ∈ Z,⎨ x ≠ π 2 + 2πm⎪π + πk ; π + πkx∈−⎪⎩44()π⎛⎞ ⎛ 3π⎞x ∈ ⎜ 2πn; + 2πn ⎟ ∪ ⎜ + 2πn; π + 2πn ⎟ .4⎝⎠ ⎝ 4⎠2.
а) f(–x) = cos2x – tgx4 – f(x) — четная;()б) f(–x) = ln − x + x 2 − 1 — ни четная, ни нечетная;в) f(–x) = –tg ctgx+ ctg tgx — нечетная.1413. т.к. функция нечетная, f(0) = 0 и она возрастает на (–∞; +∞), тогда|f(x)| ≥ f(3); x ∈ (–∞; –3] ∪ [3; +∞).ПС-91.а)б)в)г)д)е)2.а)б)142г)в)ПС-101x1. а) f′(x) = 2 x sin +x2111⎞⎛cos = x ⎜ 2sin + cos ⎟ ; f′(0) = 0;xxxx⎠⎝42⎞⎛5 ⎜ x 3 + ⎟ ( 3 x 3 −1 − 2 x −2 )5( 3x 3 −1 − 2 x −2 )x⎠б) y′=;= ⎝=( x 3 + 2 x −1 )ln10( ln10 ) ( x 3 +2 x −1 )5( ln10 ) ( x 3 +2 x −1 )5(( x +2 x ) )′3( )x−1 5( )xв) y′ = x 2 ln x 2 ⋅ 1 2 = 1 2 x 2 ln x 2 .2.3.
Подставим и увидим, что из равенств y1′′ = –2y1, y2′′ = –2y2 следует,что 3y1′′ +1 ⎞1⎛y2′′ = −2 ⎜ 3 y1 + y2 ⎟ .4 ⎠4⎝ПС-111. а) x4 + 3x3 + 2x2 + 3x + 1 < 0; (x2 + 1)2 + 3x(x2 + 1) < 0; (x2 + 1)(x2 + 1) ++ 3x(x2 + 1) < 0; (x2+1) (x2+1+3x) < 0. Поскольку всегда x2+1 > 0, то:3± 5x2+3x+1 < 0; x2+3x+1=04; D=5 ⇒ x1,2= −⇒ x2 + 3x + 1 =2⎛⎛ −3 − 5 −3 + 5 ⎞−3 + 5 ⎞ 23 + 5 ⎞⎛;= ⎜⎜ x +⎟⎟ ;⎟⎜⎟⎟ ; x +3x+1 < 0 при х ∈ ⎜⎜⎟⎜ x −2222⎝⎠⎝⎠⎝⎠1434 x 2 − 12 x 1 − x − 27(1 − x) < 0 .б)24 x − 12 x 1 − x − 27(1 − x) = 0 ;()Решимуравнение:24 x − 18 x 1 − x + 6 x 1 − x − 27(1 − x) = 0 ;()2x 2x − 9 1 − x + 3 1 − x 2x − 9 1 − x = 0 ;(2x + 3)()1 − x 2 x − 9 1 − x = 0 ; 2 x + 3 1 − x = 0 или 2 x − 9 1 − x = 0 ;⎧⎪ x < 1⎨ 1− x = − 2 x ;⎪⎩39⎧⎪ x < 1⎧x > 0 x < 1⎧⎪x=1− x ; ⎪⎨1 − x = 4 x 2 ; x = –3; ⎨⎨ x 2 = 81 (1 − x ) ;2⎪⎪x<⎪⎩194⎩⎩⎧⎛9 97 − 81 ⎞⎪ x = 9 97 − 81.
Решим неравенство. x ∈ ⎜⎜ −3;⎟⎟ ;⎨88⎪⎩ x < 1⎝⎠2tg x − 3в)2tgx(1 − tg x)((tgx + 3)(tgx − 3)≥0;tgx(1 − tgx)(1 + tgx)≥0;)(tgx ∈ −∞; − 3 ∪ (−1; 0) ∪ 1;()–+3 ;− 3(–+–1–+310tgx) (x ∈ − π 2 + πn; − π 3 + πn ⎤⎦ ∪ − π 4 + πn; πn ∪ π 4 + πn; π 3 + πn ⎤⎦ .2. Заметим, что y = 1; минимум f(x), тогда y = 1 — первая касательная,{4a + b ; тогда y=12x – 47x2 – 2x + 2 = 1; (x – 1)2 = 0; x = 1, y = ax + b: 11 ==a+b— вторая касательная.ПС-121. f ′( x)==xex(3x 2 − 2 x)e- x +e- x ( x3 − x 2 )e-2 xxe=e−x−x⎛ (3 x − 2)+( x 2 − x) ⎞⎜⎜⎟⎟ =−xe⎝⎠(х2+2х–2)1; f′(x) = 0 при x = 0 и при x12 =x–∞; –1 – 3––1 – 3 ; 0+−2 ± 12;20; –1 + 3––1 + 3 ; +∞+f′xmin = –1 ± 3 xmax = 0; убывает на (–∞; –1 – 3 ] ∪ [0; 3 – 1]; возрастает на [–1 – 3 ; 0] ∪ [ 3 – 1; +∞).2.
f′(x) =1( x + 1)2+1( x − 1)2=2( x + 1) − ( x − 1)2( x + 1) ( x − 1)22=4x+–xmin = 0; xmax = ±1;x–∞; –1f144–1–1; 0=0;( x + 1) 2 ( x − 1)20; 1–0+11; +∞уравнение касательной имеет вид:y = f′(x0)(x – x0) + f(x0);89y = − ( x + 2) −2822;=− x−399ПС-13121. f′(x)= –sinx –sin2x=0; sinx(1–2cosx)=0; sinx = 0 и cosx = − ; x ∈ [0; π];2π311; f(0) = ; f(π) = –1 + = − ; f322233ся в пределах от − до .422V2V22; S′(r) = 4πr = 22. S = 2πr + 2πrh = 2πr +rrhоткуда 2r = h, т.е.
= 2 .rx = 0, π; x =⎛ 2π ⎞ 3⎜ ⎟ = ; f(x) изменяет⎝ 3 ⎠ 4; S′(r) = 0 при 4πr3 = 2V,ПС-141. –h′ = –excosx + exsinx; f′ = excosx + exsinx; сложим эти неравенства:f ′ − h′f −he x sin x − e x cos xexsinx =, т.е. F(x) =+C =+C .2222. а)14⎛∫ ⎜1 +−2 ⎝2214x ⎞3⎛ x ⎞3 ⎛⎟ dx = ∫ ⎜ + 1⎟ d ⎜ 1 +2⎠⎠ ⎝−2 ⎝ 2π5 14x ⎞ 3 ⋅ 2 ⎛ x ⎞3⎟=⎜ + 1⎟5 ⎝2 ⎠2⎠=6 5 6 5 192⋅8 = ⋅ 2 =;5 3 55−2π11⎛1⎞б) ∫ cos x cos 2 xdx = ∫ (cos3x + cos x) dx = ⎜ sin 3 x + sin x ⎟223⎝⎠−π−ππ1= 0=0.2−π3. Тк. f — четная, то f(–x) = f(x);000aa−a−a−a00∫ f ( x)dx = ∫ f (− x)dx = ∫ f (t )d (−t ) = ∫ f (t )dt = − a ∫ f ( x)dx .4.
Найдем точки пересечения линий y=x2 и y = 4x – 4, y = 4x – 4 и y = 0;221x –4x + 4 = 0; x = 2 и x= 1; тогда S = S1 + S2; S1 = ∫ x dx = x33022=8;30145221183S2 = ∫ (4 x − 4)dx = (2 x 2 − 4 x) = 2 , тогда S = + 2 =142=4 .33ПС-151. alog log Nbblogb a2. log10 x +=alog a logb N= log N .blog x10log1010+log x10log 3 1010+ ... +log x10101010log=11;2log10x(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10) =арифметическая прогрессия, то11; т.к.
1, 2, 3, ... —21111⋅ 10log x = , т.е. x = 10 10 .1022б) 3x + log2x = 10; заметим, что при x = 2 равенство выполняется, нослева функция монотонна, тогда других корней нет. Ответ: x = 2.⎛⎝2⎞3. 3lg x + 2 = t ; t < 3t2 – 2; 3t2 – t – 2 > 0; (t – 1) ⎜ t + ⎟ > 0;3⎠2⎡lg x2⎡ lg x+ 2⎢3 < −2⎞13<−⎛lg xt ∈ ⎜ −∞; − ⎟ ∪ (1; +∞) ; ⎢3 ; ⎢ lg x 1 27 ; 3 > ; lgx > –2;lg+2⎢39⎝⎠⎢3 >>1⎣39⎣x > 10–2 = 0,01; x ∈ (0,01; +∞).ПС-161.
а) 2lg(lgx) = lg(3 – 2lgx);⎧⎪lg 2 x = 3 − 2lg x⎪;⎨lg x > 03⎪lgx≠⎪⎩2б)33⎧⎪⎪ x ≠ 10 2;⎨x > 1⎪lg 2 x + 2lg x − 3 = 0⎪⎩2⎞⎧ ⎛⎛ 2⎞⎪ x ∈ ⎜1; 10 3 ⎟ ∪ ⎜10 3 ; +∞ ⎟⎟ ⎜⎟ ; x = 10;⎨ ⎜⎠ ⎝⎠⎪ ⎝(lgx3)(lgx1)0+−=⎩x+7 − x+3 =0;⎧( x + 7) 2 = ( x + 3)3 ⎧( x − 1)( x 2 + 9 x + 22) = 0; ⎨.⎨ x > −3⎩⎩ x > −3Ответ: x = 1.⎛2⎞2. ⎜ ⎟⎝5⎠log0,252( x − 5 x + 3)−1≤ 2,5 =5 ⎛2⎞= ⎜ ⎟ ; –log0,25(x2 – 5x + 8) ≤ 1;2 ⎝5⎠log ( x 2 − 5 x + 8) ≥ −1 = log 4 ;14142log14x − 5x + 8≥0;4x2 − 5x + 8≤1;4x2 – 5x+4 ≤ 0; (x – 4)(x – 1) ≤ 0; x ∈ [1; 4]; ОДЗ: x2 – 5x+8 > 0 для всех x.Ответ: [1; 4].146⎧ x > 0, y > 0⎪4 x + y = t⎪3.
⎨ 4 xy + 21 = r ;⎪t 2 + r 2 = 13⎪t + r = 5⎩⎧t = 5 − r;22⎨⎩25 − 10r + r + r = 13r2 – 5r + 6 = 0; (r – 3)(r – 2) = 0; r1 = 3; t1 = 2; r2 = 3; t2 = 3;а) r = 3, t = 2;{xxy++y21= 16= 81 ; {xy(16= 16−−y)y= 60 ;(10, 6) = (x, y) = (6,10);{⎧ x = 16 − y⎨ y 2 − 16 y + 60 = 0 ;⎩{(xy=−1610)(− yy − 6) = 0 ;{= 24 ; xy = −5 ; не может быть, т.к. xy > 0.б) r = 3, t = 3; xxy++y21= 16 x + y = 61Ответ: (10; 6) и (6; 10).ПС-171. y′ = 4xln4; y′ = yln4.⎛2. f′ = (fln(x)(–x))′ = (eh′xlng(x))′ = ⎜ h′ ln g +⎝()h ⎞ hg′ ⎟ f .g ⎠()3. F′(x) = ex R4 − P4′ + P4′′ − P4′′′+ P4iv + e x P4′ − P4′′ + P4′′′+ P4iv + P4v =xvx= e ( P4 + P4 )=e P4 ;т.к. P4v= 0, т.к. многочлен не больше IV-ой степени.ПС-181. f(0) = 0; f′ = 1 –1; при x > 0 f′ положительная, т.е.
f — возрастает,1+ xиз этого следует, что f > 0 при x > 0; x – ln(1 + x) > 0; x > ln(1 + x).122. F′(x) = ln2 ⋅ lnx + ln 2 x +1 n +1x +C.n +13. x(t) = Cx(t), тогда x = C1eCt, найдем константы C1 и C.1t⎧⎪45 = С у 3С ⎧⎪С e3С = 4545CtC3311;;C=,тогдаe=2;e=2.⎨1⎨6С3C2⎪⎩e = 2⎪⎩90 = С1 уtОтвет: x(t ) = 22,5 ⋅ 2 3 .Вариант 10ПС-11. Возведем обе части в квадрат:8 + 2 10 + 2 5 − 2 64 − 4(10 + 2 5) + 8 − 2 10 + 2 5 = 20 − 4 5 ;16 − 4 6 − 2 5 = 4(5 − 5) ; 4 − 6 − 2 5 = 5 − 5 ;−6 − 2 5 = 1 − 2 5 + 5 = 6 − 2 5 .1472.
Пусть в день x ⋅ 100%, тогда (1 – x)4 — за 4 дня.(1–x)4=0,512(1–x); (1 – x)3 = 0,512; 1 – x = 0,8; x = 0,2, тогда в день 20%.23.(t − 3)(t + 2) − (t + 3) t − 4(t + 3)(t − 2) − (t − 3) t 2 − 4=−=−(t + 2(t − 3) t + 2 − (t + 3)t−2t − 2((t − 3) t + 2 − (t + 3) t − 2)=t+2при t = 5,2 выражение равно –1,5.t−2ПС-21. Рассмотрим теорему синусов, тогда стороны пропорциональны 12,35, 37, пусть 1 — х см, S =3P⎛P⎞⎛ P⎞⎛ P⎞⎜ − a ⎟⎜ − b ⎟⎜ − c ⎟ ; P =a+b+c= (12+35+37)x (см)=84 см.2⎝222⎠⎝⎠⎝⎠S=2.3abc 12 − 35 ⋅ 37 − x (см )2== 210 (см ) ;4R4 ⋅ 18,5 (см)⎧ x 2 + x + 1 > −2 − 9 x − 2 x 2;⎨| x |< 4⎩⎧1⎪( x + 3) ⎛⎜ x + ⎞⎟ > 0;⎨3⎠⎝⎪⎩| x |< 4⎧3x 2 + 10 x + 3 > 0;⎨| x |< 4⎩⎛ 1 ⎞x ∈ (−4; −3) ∪ ⎜ − ; 4 ⎟ .⎝ 3 ⎠ПС-31112a 3 c − 3b 21.13212+=13 212 2132(c + 3)(a + b )13 413a 3 + b 2 c2=12(c − 3)(a + b )11211241a c − 3b c − 3a c + 9b + 3a 3 c + b 2 c + 9a 3 + 3b 2 c2132122=(c + 3)(c − 3)(a + b )=13 4114(c − 9)(a2.1y2 − 1+2y2 + 2−1a c + 9b 2 + 9a 3 + b 2 c 42y4 − 1=0;131+ b2 )2=c4 + 9c4 − 92.42( y + 2)( y + 1) + 2( y − 1) − 2( y + 2)22( y − 1)( y + 1)=0;⎛ 4⎞(t − 1) ⎜ t + ⎟⎝ 3 ⎠ = 0 ; t − 1 = 0 ; 1 = 0 — реше=0;y2 = t; 2222t +1t −1(t + 1)(t − 1)t −123t + t − 4ний нет.148ПС-41.
Сделаем замену: t=x2 ⇒ 2t2+5t+2=2(t2+ 5 2 t+1); t2+ 5 2 t+1=0;2591−4=⇒ t1= − ; t2=2. Таким образом: 2x4 + 5x2 + 2 =44211⎛⎞2= 2(t + 5 2 t+1)= =2 ⎜ t + ⎟ ( t + 2 ) = 2( x 2 + )( x 2 + 2) = (2 x 2 + 1)( x 2 + 2) .2⎝ 2⎠b ± 5b 31= ; − ; т.к.2. 2b2x2 – bx – 3 = 0; D = b2 + 24 b2 = 25b2; x1,2 =2b2b4bD=13 13< ⋅ , то все корни меньше 1 по модулю при b ≥ .b2 b23.
x2 – 2x – 2 = 0; D = 4 + 8 = 12 > 0 — корни существуют. Рассмотримтеорему Виета: x1 + x2 = 2; x12 + 2x1x2 + x22 = 4; x1x2 = –2; x12 + x22 = 8;x14 + 2x12x22 + x24 = 64; x14 + x24 = 56.ПС-51. a3 ⋅ a6 = 406;a −69a= 2 ; (a1+2d)(–a1+5d) = 406; a1 + 8d – 6 = 2a1 + 6d;4a1–2d = –6; a1 = 2d – 6, тогда (4d–6)(7d–6)=406; 28d2–42d–24d+36=406;⎛18,5 ⎞7928d2 – 66d – 370 = 0; (d – 5) ⎜ d +⎟ = 0 ; a1,1 = 4; a1,2 = − ; d1,1 = 5;7 ⎠7⎝d1,2 =37, т.к.
a4 и a9 — целые, то ответ: a1 = 4, d = 5.14⎛⎞2. 3 + 33 + ... + 33... 3 = 3 ⎜ 1 + 11+ ... +1111{⎟ = 3(1992 + 10 ⋅ 1991+ ...) =142431992 ⎠⎝1992= 3⋅101993 − 10 − 9 ⋅ 1991921p.⎛1⎞⎝ ⎠3. 1 + 2 ⋅ + ... = ∑ n ⎜ ⎟33n =1n −1=9 9 + 6p.−4 n ⋅ 3pПС-6αα⋅ sin nn22 = sin α ;1. а)αα2sin n21+ n sin n22− sin 47° − sin 61° + sin11° + sin 23° −2(sin 54° cos 7°) + 2(sin18° cos 7°)=б)=cos 7°cos 7°2cos α⋅ ... ⋅ cos= 2(sin18° – sin54°) = –1.149αn− ctg2 α .2111αn++ ... +− ctg + ctg2 α =nsin α sin 2α2sin 2 α2α1 − 2cosn2 + 1 + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
