mordkovitch-gdz-10-2004 (546280), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Т.к. график симметричен относительно Оу, тангенс угла нмозона касательной Н. у'=-хо,хо=+1;г= — хо+3= +3=35'В(035)' 1 з 1 2 2 !70 Глава 4. Г(роиаводная ,Гз,б,Гз,,Гз о,ГЗ,ГЗ,ГЗ,,ГЗ б) у'= — х;у=- хохт — хо о + = — хох+ — хо+ —; 3 3 3 6 6 3 6 6 ' Гз ., Гз 1. у'= — хо =1!860; — хо =йзГЗ;хо =~3' 3 3 г ЗзГЗ зГЗ г 5зГЗ г 5зГЗ у = -кзх+ — + — = -нзх+ —; у = чзх+ —; 3 6 3 3 Гз .,Гз,Гз,Гз Гз 2. у'= — хе =1!830';хе =+1;у= — х+ —;у= — х+ —. 3 3 3 3 3 852.
а) 1: у = хз — 2х + 6, х = 5. у'=2х — 2;у=25 — 10+ 6+(10 — 2) (х — 5) = Зх — 10. И:у=хз+ 2х — б,х=-5. у' = 2х+ 2;у = 25 — !0 — 6+ (-1О+ 2)(х+ 5) =-8х — 31; 8х — 10 =-8х — 31; 3 ( 3 х = —.~ —; — 25 4 1, 4 б) 1: у = хз - (х - 1), х = 2; у' = Зхз + ! . 11: у = х — х + 1, х = -2. у~ = Зхз — ! . у = -5 + ! 1(х+ 2) = 11х + 17.
1Зх — 17 = ! 1х + 17; х = 17. (17, 204). 853. а)у'= Зх -р.у(1) = 1-р;у'(1) = 3 -р;у= 1-р+(3 — р)(х — 1) = 1 = (3 -р)х +р — 3 -р + ! = (3 -р)х — 2; 3 = 2(3 — р) — 2; 5 = -2р + 6; р = — . 2 б)у'= Зхз+ 2рх;у(1) = 1+ру(!) = 3+ 2р;у= 1+р+(3+ 2р)(х — 1); 2 = = 1 + р + (3 + 2р)(3 — 1), 5р = -5; р = -1. ф 35.
Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы 854. а) Г"(а) > 0; Г"(Ь)»0; /'(с)сО;('(4>0; б)Да) > 0; ((Ь) = О;((с) = 0; /'(Щ > О. с+61 Г с-Ь 855. а) функция возрастает: -со; — ) и ~с( — —;+:о, убывает: 2 ) ~ 2 б) возрастает: (оо; Ь] ~г [с; ~ о); убывает: [Ь; с]. 856. а) убывает: [-2; 2]; возрастает: ( оз; -2] и [2; +со); б) убывает: [-4;О] ы [3; + о); возрастает: ( е; -4] ы [О; 3]; в) убывает: [-4,5; + о); возрастает: ( о; -4,5]; г) убывает: ( оз; -2,5] ~.~ [2,5; + о); возрастает: [-2,5; 2,5]. 857. Функция убывает на промежутке (4, +ос) (в).
фу кц 8(х). 859. а)Ях); б) Ь(х). 36. П именение л изеодной для исследования ф нкции !7! 861. а) г) в) 862. а) у' = -в(п х + 2; у' > О при любых х. 6) у' = 5х" + Зхз + 7; у' > О при любых х. в) у' = соз х + Зхз + 1; у' > О при любых х. г)у'= 5х + 12хз+ 8;у'> О при любых х. 863, а) у = 2соз 2х — 3. у < О при любых х.
б) у' = -Зсов Зх+ 4; у > О при т х => угверяслснис неверно. 864. а) у' = 5х + 18х~ > О, функция не убывает. 6) у' = соз х — 2 < О, монотонно убывает. в) ьг = 1+ сбп х > О, функция не убывает. г) у' = — 5 — Зхг < О, функция не возрасгаст. 5 5 865.
а)у'= 2х — 5; при х> — ф-ция возрастает, при х < — ф-ция убывает. 2 2 3 3 6)у'= 1Ох е 15; при х< — ф-цня возрастает; при х < — ф-цня убывает. 2 2 в)у'=-2х+ 8; прих>4 ф ция возрастает, прих<4ф ция убывает. 1 1 г) у' = 2х — 1; при х > — ф-ция возрастает, при х < — ф-ция убывает. 2 2 866. а) у' = Зхз + 2 возрастает при любых х; б) у' = 45 — бх — Зх'; -3(х'+ 2х — 15) = О; х е [-5; 3] возрастает, х е (-сс; -5] и [3; +со) убывает; в) у' = -бгз — 6х — 36 = б(хз — х — б) = О; х е [-2; 3] убывает, х е (-сю; -2] и [3; +ю) возрастает; г) у' = 5х + 5 = — 5(х — 1); х е [ — 1; 1] возрастает, х е (-ао; — 1] и [1; +го) убывает.
172 Глава 4. Производная 867. а) у' = 4х' -4х = 4х( — 1) = 4х(х — 1)(х + 1); х в (-со; -Ц сг [О; Ц убывает, х и [-1; О] сг [1; +со) возрастает. 6)у'= — 5х — 1 =-(5х + Ц < 0; убывает при всех х. в) у' = -12хз + 12хг = -12хг(х — ! ); х в ( о; Ц возрастает, х > 1 убывает. г)у'= 25х возрастает при всех х. ! 868.
а) у' = — — убывает на всей ОДЗ (х и 3); (х+ 3) 9х+3-9х+3 б ( И 6) у = — - возрастает на всей ОДЗ 1 х и -); (Зх+1) (х+ 3) з)' 2 в) у' = — — убывает на всей ОДЗ (х и 0); „г . -6-4х-2+4х 8 3) г) у'- з — убываетнавсейОДЗ ~хсс — ). (3+ 2х) (3+ 2х) 2) б)у' = Зхз+ 12х-15; убывает х н [-5; Ц возрастает х и ( о; -5] и [1;+со), 871. а) у' = 4хз — 4х = 4х(хг — 1) = 4х(х — 1)(х + 1); ( ю; -Ц ~.г [О; Ц убывает; [-1; 0] и [1; +со) возрастает; 3 ( 1сс 869.
а) у' = — возрастает а всей ОДЗ ( х > — ~; 2 /Зх- ! з)' ! 44 — х — 1 15 1 15] 6) у'= — +2=0; =0;х= —;возрастаетпри хв -со;— 2Л-х 2с(1-х 16 16] [!5 убыааетпри хв~ —;1 [16 Г !] в) у'= —;хв~ о; — ~ — убсйвает; Л:2' ~ '21 1 ! -2з]2х- ! Г! г) у'=-т ==-1=0; =0;возрасгаетпри хи~ —;!,убывает ,(2х -1 2х — ! Ь' ' прах н [1;+со). 870. а)у'= Зхг — 3; убывает х в [-1; Ц; возрастает х в (-со; -Ц с ~ [1; + со); 35. Применение изеодной для исследования ф нкций 173 б) Ф = -4хз + 1бх = -4х(хз — 4) — 4х(х — 2)(х+ 2); [-2; 0) и [2; ч о) убывает; [-оо; -2) и [О; 2) возрастает. б)г" (с) = 0; г) нет точек, в которых производная равна нулю. вЩЬ), !'(с); г) ! (а) 7(Ь) Х(с) ЯйЪ,Х(е).
в) 2; г) 2. в) 2; г) 2. б) [-5; — 2[; в) -5; г) -2. в) да; г) да. в) нет; г) да. 880. а) у' = 12 — Зхз; Зхз = 12; х = е2. в) у' = 4х — 4хз; 4х(1 — хз) = 0; х = О, х = а!. г)у'=4х -!бх;4х(хз — 4)=0;х=О,х=е2. 881. а) у = 2- — = 0; х = х2; 8 2 1 1 б) у'=;х=-; 42х-! 2 1 5 в) у'= — — — =0;х2-25=0;х=д5; 5 хз г)у'=4(х — 3) =0;х= 3.
пл 882.а)у'=4соз2х-4соз4х=О;з!пЗхз!ох=О; х= —; 3 873. а)у(Ь) =у(д) = 0; в)у(а) =у(0) = 0; 874. а)/(е); б)у(а), ф'(Ь); 875. а) 1; б)2; 874. а) 2; б)1; 877.а)( о;-5) н[-2; во); 878. а) да; б) да; 879. а) да; б) нет; 4 б)у'=9хз+4х;х(9х+4)=0;х=О, х= —. 9 174 Глава 4. Произеодная 6)у' =-2яп 2х — 1 = 0;яп 2х = ††; 2х = (-!г — +кк; х= 1-1) 2 б 12 2 к ии в)у'=-Зяп Зх+Зап 5х; зги Зх-яп5х= О; япх сок 4х=О;х= пи, х= — + —; 8 4 1 х 1 х 1 2к г) у'= — соз — --;сок — = —; х = х — +4ли . 2 2 4 2 2 3 В задачах 883-888,чтобы определить характер экстремума, необходимо проверить знак производной справа и слева от точки, где она равна нулю.
Если слева у' > О, а справа у' < О, то зто максимум, есзи слева у' < О, а справа у' > О, то зто минимум. 7 883. а) у' = 4х — 7 = 0; х = — - ппп; 4 6)у'=-5 — 2х=О;х=-2,5 гпах; 3 в) / = 8х — 6 = О; х = — - ппп„. 4 г) у' = -бх — 12 = 0; х = — 2 — гпах, 884. а) у' = хз — 5х + б = 0; х = 2, х = 3; х = 2 — гпах, х = 3 — ппп; 6) у = Зхз — 27 = 0; х = аЗ; х = -3 — гпах, х = 3 — пнп; 7+8 1 . 1 в) у' = Зхз — 14х — 5 = 0; х = — = 5; х = —; х = 5 — го!п, х = — — так; 3 3 3 г) у' = -бхз + 42х = 0; хз — 7х = О! х(х — 7) = 0; х = О, х = 7; х = 7 — гпах, х = 0 — ппп. 4 886.
а) у' = 1 — — = 0; х = 12; х = 2 — ппп; х = — 2 — гпах; хз 9 6) у' = 1 — — = 0; х = 13; х = 3 — зп!п; х = -3 — пах. хз 887. а) у' = 1 — = 0; ч'х — 2 = 1; х = 3 — ппп; 1 ~/х — 2 4 б) у'= — 1=0; ~/2х — 1 =4;х= 8,5 — пзак, 2х-1 1 зыл 5к к 888. а) у' = 1+ 2 выл х; яп х = —; х = ( — 1) — + пк; х = — — — гпак; х = — — пап 2 б б б 1 и 5к .
7л 6) у'= 2созх — 1; созх = —;х=х — + 2кп; х = — — ппп; х = — -пик 2 3 3 3 !7 889. а) у' = Зхз — бах + 27; хз — ах + 9 = 0; — = а — 9 = 0; е = 63. 4 х! 6)у'=Зх — бах+75;хз — 2ах 25=0; — =а — 25=0;а=~5. 4 9 3 3 3 885. а) у' = -25хз + 9хз; хз (9 — 25хз) = 0; х = О, х = —, х = й —; х = — -пзакх = — -пип; 25 5 5 5 6) у' = 4хз — 12х — 1бх; 4х(хз — Зх — 4) = 0; х = О, х = 4, х = -1; х = 4, х = -! — ппп, х =0 — пзах; в) у' = 4хз — 100х; 4х(хз — 25) = 0; х = О, х = а5; х = -5, х = 5 — пнп, х = 0 — гпах; г) у' = 10х" + 20хз — 3Охз; 10хз(х + 2х — 3) = 0; х = О, х = -3, х = 1, х = -3 — пзах, х=1 — ппп.
Зб. П имвнение производной дпя исследования ф кций 175 898. а) в) г) 891. а) 2 . 2 у=Зхз-4х+ 5;у'=бх — 4; х= — -пип; при х> — функция возрастает,при 3 3 2 х<- функция убывает; пересечение с Оу: (О;5), с Ох: иет;у > 0 при х в Я; 3 у = 3 + 2х — хт: у' = 2 — 2х; х = 1 — ппп; при х > 1 функция убывает при х < 1 функция возрастает пересечение с Оу: (О;3), с Ох: (3;0), (-1;О); у > 0 при х в (-1;3); у < 0 при х < -1, х > 3; в) 176 Глава 4. Лроиэаодная 1 ! у =7-х-2хз;у' -1 — 4х; х = — -тах; при х < — функция убывает; при 4 4 1 х < — функция возрасзвет; пересечение с Оу: (О;7), с Ох: 4 с -1-4Я "! ! -1+Ж '! !'-1-,677, -1+47 71 ;О,;0;у<Опри хо;,у>Опри 4 4 4 4 -1-з[57 -1+зГ57 г) 3 .
3 у=5хз-15х-4;у = 10« — 15;х= — -ппп;при х> — функция возрастает, при 2 2 3 х < — функциа убывает; пересечение с (Ос (О;-4), с Ох: 2 15- з[305 15+ ~305 «е -ое; О с !5-з[305 ! (15+ з[305 (15-з!305 15+~/305 ;+Зо,у> 0 при хо 1О ,~ ~ !О 10 10 892. а) у = Зхз - хз; у' = бх - Зхз; х = О, х = 2; у(0) = О, у(2) = ! 2 — 8 = 4, х = 0- ппп, х = 2-пих; при х и [О; 2] функция возрастает, при х о (:о; О! н [2;+х>) убывает. 6)у' -9«+х';у'=-9+Зхз;ха=3!.х=~зГЗ; 35.
П имвненив п изводной дпн исследовании ф кций 177 у!~ГЗ)=-9»ГЗ +3»ГЗ; у(-»ГЗ)=9»ГЗ -3»ГЗ;х =»ГЗ -ппп;, х = †»ГЗ -п»ак; при х и (- сс Гз]с»[»(3;+се)функция возрастает, прн х е ~- »Гз; »ГЗ~ функция убывает. в) у = х» + Зля; у' = Зхз + бх; х = О, х = -2, )(0) = О, у(-2) = -8 + 12 = 4; х = 0— пни, х = -2 — п»ах; при х и [-2; О] функция убывает, при х и (-оз; -2) с» [О; +и») функция возрастает. г) у = Зх - х»; у' = 3 — Зх»; х = Н, у(1) = 3 — 1 = 2, у(-1) = -3 + 1 = — 2; х = ! — п»ах, х = -1 — ппп; при х и [-1; 1) функция возрастает, при х в (-е»; -1 ) ~.~ [1; +со) функция убывает, 893. а) у = х» + Зх»; у' = Зх» + х; х = О, х = 2, у(0) = О, у(-2) = -8+ 12 = 4; х = 0- пнп, !2 — 4!13 178 Глава 4. Производная х = -2 — тая; при х в [О;2) функция убывает, при х и (-оз; 0) и [2; +.о) функция возрастает. 6)у=-.т вЗх — 2;/=-Зхз+3;х=в!,)(1)=-1+3 — 2 =0,у(-1) =1 — 3 — 2=-4; х = 1 — азах, х = -1 — пнп; при х в [-1; Ц функция возрастает, при х н ( о„.
-Ц н [1; +<а) функция убывает. в) у = -аз + бхз — 5; у' = -Зхз + 12х = -ха + 4х, х = О, х = 4, х = 0 — пвп, х = 4- пых, при х в [О; 4) функция возрастает, при х в ( — ез; О) ~ [4; +а>) функция убывает. г) у = х — Зх+ 2 у' = Зх — 3; х = ~1; х .—. 1 — пнп, х = — ! — пзах; при х в [ — 1; Ц з функция убывает, при х е (-со; О) ~.~ [4; +со) функция возрастает.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
