alimov-11-2007-gdz- (546278), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Интеграл Об)б 995-997) бх'-За+2 6, 3 2 2) . Ршпение: Е(х)= —.т' — — х+-, тогда одна из первооб- 5 5 5 5 6 х' 3 х' 2 « г разных Е(х] = — — — — + — х. Ответ: Е(х) =0,3х' -03х +04х. 5 4 5 2 5 3) (1 «2х)(х-3). Решение: /(х) = 2к' -5х-3, тогда одна из псраообрвз- пых Е(х)= — х — х -Зх.Отвея Р(х) = — х — х -Зх. 2з5«2з5« 3 2 3 2 4) (2х-3)(2->За). Решение; /(х) = бх« -5х-6, тогда одна из псрвооб- разных Е(х)=-х — х -бх.Ответ: Е(х) =-х --х -бх. 6 з 5 г 6 з 5 г 3 2 3 2 995. 1) (2х+1)з)х, Решение: /(к) =2х '+х «, тогда олив из перваобразных Е(х)= + — = — х'+-х х.Ответ; Е(х)= 4х'+-х х. 2) (Зх-20(х.
Решение: Е(х) =Зх -2» ',тогда аднанз псрваабрюныа З.Зх/з 2 Зх'з 9 «/ 3 У 9 Н 3 ы Е(х)= - = — к'--к '. Ответ: у'(х)= — х" — — х'. 7 4 7 2 7 2 х+4 х+4 « -)гз 3) †. Решение: /(х) = — = х' +4х ', тогда одна из первообраз- ((а =6= ' 3 з' 3 У 3,'/ «/ 3 г' ныа Е(х)=-к'+4 — х' =-х'+бх'.Ответ: Е(х) =-х' гбх)'. 5 2 5 5 х-3 4) —. Решение: /(х)=х «-Зк, тогда одна из псрыюбразных )х Е(х)=-х -3 — х" = — Чх'-6Б.Отшт: Е(х)=-Мх -6«lх. 3 ! 3 3 996. !) Указание: япхсозх = — *!п2х.
1 2 2) Ушзание«вш х шнЗх-сов хзш Зх = зш(» — Зх)= -яп 2х . х 997. Найти первообразную функции у 2яп5х+Зсоз —, япораа при 2 н х = — принимает значение, равное О, 3 656. Пчошадь криволинейной трапеции и интеграл (№№ 995 — 999) 259 2 х Решение: найдем першюбразную: У(х) = — соз5«+ба|и-+С. Тогда 5 2 '1 1- н) 2 5н .и 1 — =О,те. — соз — +ба|и — +С=О, -+3+С=О, С=-З2. 3) 5 3 6 5 2 х Отвес — соз 5«+ 6 сок-+ -3,2 .
5 2 х х-3+3 3 | 998. 1) Указание; — = = |+ — =1+3 —. х-3 х-3 х-3 х-3 х-1 х-1 2) Указание: при хи| хз+.т — 2 (х+2)(х-1) х+2 2 1 1 3) Указание: соз « =-(1+соз2«)= — + — соз2х. 2 2 2 4) Указание: япЗхсоз5х = -(яп(3«+5«)+йп(Зх — 5х)) =-япйх — яп2х. 1 . 1 2 2 2 956. Площадь криволинейной трапеции и интеграл ) /(х)гй= У(а)-У(6), глс У(х) — первообразнак функции /(х) на л отрезке (а; 6) 999.
1) См. Рис. 153; 2) См. Рис. 154, 3) См. рис. |55; 4) См. Рнс. 156. У гг /54 гк. /5 Уггг /56 Ук . /55 Пяшм Х. Иитсграх (№№ 1000-1003) !000. 1) с = 2, Ь = 4, г"(х) = хз . Решение: искомая площадь трапеции раааа 4 5=) г(х)гй=)х'гй. Псрвообразная функции г(х)=х' Г(х)= — ьС, 3 т 4 откуда 5 = Е(4) - г (2) = 64-4 = 60 . Ответ: 5 = 60 . 4' 3' 37 2)а=З,Ь=4, 7(х)=х'. Решенно: 5=(х пт=г(4) — Е(3)= — — = —.
3 3 3 Ответ: 5 =12-. 1 3 3) а=-2, Ь = 1, )(х) =х'+1. Тя. первигбразиая функции У'(х) равна г(х)= — +х,топхошлдь 5=/р +1)й= -х тх~ =6.Ответ; 5=6. х 2 4)а 0,6= 2, Дх) =х'+1. Решение: 5 =) (хт ь!)ях,псрвоабразиаяфуияции /(х): Е(х) = — +х, тогда 5 = Г(2)-Г(0) = 6-0 = 6. Ошст: 6. 4 и 2тг 5) а= —, Ь= —, Г(х) =мпк. Решение: 5= )з!охот, псрвообразиая з з л 2п 1 ! г(х) =-сояк,топи 5=соя — — соз — =-+-=!.Ответ: 1. з з г 6) Аналогично 5). 100!.
1) у=4-х'. Решение: иайдем точки пересечения пораболы с осью ОХ: 4-х' = О,'откуда .т = тг . 7огла 5 = ) (4 — к')й. Псрвообразиая фуи- яции равна 4х- —,откупа 5=4 2 — -4 (-2)ь =1Π—.Ответ:!О-. хз 8 (2) 2 2 3 3 3 3 3 2), 3) аналогично 1). и з )( 1002. 1) Указание: аиаиогично залаче 1000.
5 = ) х" тй, г(х) = -х" ь С . 4 2 2) Укашнис; аиазогнчио залачс 1000. 5 = ') х" ~й, Р(х) = — к . "+С . 3 !003. !) Ь - 2, г(х)=5х — х'. Решение: см. рис. 157. Исяомая цлопшль 057. Вычисление интегралов (№№ 1004 — 1005) 261 1иис 15* 1'иг 158 5х х' 5=~(5х-агфа. Тк. лервюбразнах равна г[х)= — —, находим 2 3 125 125 8 плошадь фигуры: 5 = г"(5)-г"(2) = — — -10+-=135. Огвстс 13 5. 2 3 3 2) Указание: аналогично 1), 5 =)(х +2ху(т, си. рнс. 158. п осью ОУО е' -1 = 0, откуда х = О. Тогда 5 = ) (е' -13й . Псрвообразиал равна г(х) =е' -х,тогда 5= 5(1)-г(О) =е-1-1+О=с-2. Освес: е — 2. г 4) Уигганис: анагюгичноЗ). 5 =)! 1 — — сй.
6(х) = х — )л(х!+С. х,' 857. Вычисление интегралов 1004. 1) (хс(т= — ~ = — 0= —; --4.-2 -2 ,!г 2) ) х'сй = — ~ = — 0 = 9; 4) )2хсй=х~! =9-4=5; -г .г 3) ~Зх'с(т=х'( =8-( — 1)=9; г(т 1 ! 3 6) ) —,сй = — х ' 2 (с 8 2 8 г 1 ,с' 1 1 1 5) ) —,сй = — х '~ = — + — = —: их' г 3 2 6' 7) ~йй=-х)г = — -= —.
2 1 16 2 14 3 1, 3 3 3' 8) ( — сй = 2х г / = 2(3 — 2) = 2 . с т(х ьг 1005.1) )-с(х=!нЦ =)ве-(н!=1; 2) )е'еу=е"~ =е '-е'=1; с с и и 3) 6 = 1, 1"(х) =е'-1. Решенно: найлом точку пересечения графика с 203 057. Вычисление интегралов 1№№ 1009 — 101! ) 71, 2) )(«413»"-2)пт= —.т'ч — х -« -2» = — — -1+2 з (4 3 )4 3 ! 12 1 т г 3) ) «+- гй=) х'+2+ —, ' = — +2« — =-+4 — — -2+1= —; !(, '~ '(3 (, 3 2 3 б' 4) ) — 1 — — ' =)(4» -0« )й= — + — м4ь4-(2+1)=5. т )й ~ т~ ,х( «~ х х !009.!) Ухазанис: ) — гй = (~5« ' — 2х " 'гг« =~ Зк ' — Зх '3! .
4(х 2) Указание: ) — 4«=)~З«" — «г )й=)2« т-2х" ~ . тх 7 3)Указание: ) гй=)4(«+2) тгй=8(хт2))г! . г 6+2 г 1010.1) ) — гй= — )п(2« — 1~ =-1пЗ вЂ” 1п1=-1пЗ; 3 3 ) 3 3 3 ,2» — 1 2 ), 2 2 2 4 4 1 4 4 4 2) ) — гй= — 1п)З«+2!) =-)п5 — — )п2= — )и2,5; ,323~,33 3) )з!г(2«+ — ' = — со 2«т — = — с и+ — +-соз — =-+-=-. 3~ 2 ( З~ 2 о), 3! 2 3 4 4 2 5/! ! '1. (! 1%И.)) )з!п'«гй= ) — -соз2» = -х — яп2« ~ =л; „(2 2 ) (2 4 2) )япхсоз«гй= )-яп2«гй= — соз2«~ ~з2 4 ~а 4 4 2 3) )(соз'к-з!пгх)йм)соз2«й=-з!п2«~ =--0= —.
2 ~ь 2 2 4) )(з!п'«+сов" хуй, Решение: преобразуем полинтсгральиос выражение: яп «+сот'х=й!п «+сов к! — 2яп хсот «=1 — яп 2»= Г ° т 2 З г т 1 г 2 Глава Х. И1нсграз (№№ 1012 — 1013) =1 — (1-сов4«) = — + — соа4«, Тс. (О)л'касоа'х~й = ( -+-соз4х )й= 4 4 4 с 1~4 4 1= 3 !. '(" 3 1. !. )л — — х-1- — в!п4« =-л+ — в!п4л- — 3!ПО= —.
4 16,(„4 16 16 4 1 3 5) /«14х !й=)((х+1)1 )х Ы!-2(х+1)ъГ« ь)+т)хч-!)й= е с 11 г = Я«+1))( -2з)х+ !)Зз +(х+ ф Р1« =~-(х+1)т( — "(х+1))з +-(«+ 1))з ~ 7 5 3 2, 4, 2, Г2 4 2) 16 = — 2 — — 2 + — 2'- — --+ — =!6— 7 5 3 )7 5 3) Ю5' 6) ) зй=) й=)(х-2+ — (Ит= ' х — 4х+5 "(х-2)'+1 'Г 1 1 «-2 х-2 ( х — 2~ з з ! х' Ч 9 =~ — 2«4!с)х-2(~ =8-8+)л2 — +б — 1л1=)л2+1,5 ~ 2 2 )012.
Найти все числа Ь > 1, лля которых вылолнястсл равенство Х ь ) (Ь-4«Х)т Е 6 — 56 . Решение: ) (Ь -4«)й = (Ьх -2«11 = -Ь' - Ь+ 2 . Таким образом нужно решить систему неравенств: 1, 11 ! Ь>1 (Ь>1 ~Ь>1 ео ез, отлуда Ь = 2. -Ь'-Ь+2>6-56 (Ьз-4Ь+4<0 ((Ь-2)з <О Ответ.' Ь = 2. 858. Вычисление плон!адей с помопвью интегралов 1 10!З.а)Указаннс1 5=)(х'+4)й. ~ з б) Указание: 5 =)1(з(х+1)й. а в) Указание: 5 =) — хй. ,к 050 Вычисление площадей с помощью интегралов !№№ 1014 — 1016) 265 Ргк.!59 Нгы 161 Рвг /62 Рш.
! 63 Рг~г. 164 1014. 1) Рещение: из рис. !59 следует, что искомая пяощаль равна зЧ )а /(1-х/хх-/()ьх) гй= х — — =3+ — — -=45. Ответ: 45. ( х' (1+х) 9 1 3 2 3, 2 3 3 2) Указание: 5 = /(4 — «')2г — /(х+ 2)пх, см. Рис. 160. -з -з 3) Указание: Я =/(4х-х')й — /(4-х)й, см. рис. 161. ) ьз ьз 4) Указание: 5 = /3х~ й - /(1 5х + 4 5)й, см. Рис. 162. !О!5. !) Решение: из рис.
163 слслуег, что искомая плошадь равна 5=/Ук~йфх-2)згй=-х з~ + — = — +-=1. Ответ: 1. 2 )з! (к — 2)з( 2 1 3 г 2) Указание: 5 =/х'гй+/(2х — х )й, см. Рис. 164. ь 1016. 1) Рещение: найдем точки пересечения графика пораболм и оси ОУО «з+3х=О, откуда х = 0 и х = — 3. Тогда искомая площадь равна: Глава Х. Интеграл !№2)я 1017-1 021) 266 Рис !67 Рсс.
165 Рм. Рбб !чг 1( Ч' 2) Аналогично 1). 1017. 1) Решение; См. рис. ! 65, тогда нсюмая плошадь равна: 5=)(3 — х)Ь-)(х'+1)й= Зх — — — +» =3 — +8 — -3 — =45. 21 (3 1, 2 3 3 Ответ: 4,5. 2),3)алаяогично !). 1О!8. 1) Указание: см. рнс. 166. Координаты точки псрсссчснн» графиков 1 (1; 6), таким образом, искомая плошадь 5 = 1 бхтау+! (х -3 (х-4)й . О ! е 2) Уюзанис: см. Рис.!67. 5 = ! (4-хг уй с) (х-2)гау.
-1 о 1019. 1) Указание: ур нис прямой у= — х. Анатогичво задачам 10!4-!018. 2 и 2) Умпаиис: см. рис. 168. 5 = ! з!и хгй — ! соь хЖ . с е 1020. 1) Указание: из уравнения бх -хз = х+ 4 находим точки пересечения: х, =1 и х, =4.См рис. 169. 5= )(бх-хтуй-)(4ьх)йе)(бх-хг)й. т 2) Указание: см. Рис,!70. 5 = )(4-хгуй-((к+2)ит. г 1021. 1) Аналогично задачам 1019-1020, 458. Вычислевис плошалсй с помощью интегралов 1)й)й 1022-! 023) 2б7 1'нс 170 Рчгг!49 Риг. 148 Р ' 172 Рис. 171 2) Прамойу=1,осью ОУ и графиком фуищши у=мах лри 0<хи —. н 2 Решение: из рис. 17! следует, по искомая площадь равна Я= ) !ит — )звхг)х=-+сова(, = — -1.Ответг — 1.
2 е 2 2 1022.!) Указание: ур ине лрямой у =ух-3. Аналогично задачам 1014-!021. 2) Анаяогично заавче 1021 п.2). 3) Указание;см. рис.!72. 5=/(1-х~/йс-/(х — 1/лй. -г 4) Указание: см. рнс. 173. 5 = /!гхг - /хгг)г . -г 1023. 1) Решение: иусть тачка касания имеет координаты (х; х,' + 1% тогда уравнение касательной в этой точке у=2х (х-х )ьх, +10, тс. у = 2хе.х+(10-«,').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
