alimov-11-2007-gdz- (546278), страница 6
Текст из файла (страница 6)
2) Аналогично 1]. 3) Указанне: область определенна функции х > О. Найдем нули функпнн: 1 1, 1 2«(«41 х=->, «г —, х =1, т.е. х=1. у =1+ — г = —. у >О при т(«х 2«т «2« /« всех х > О . См. рнс. 133. 932. 1) у =хе '. Репгенне: область определенна функции хп К. у=О прн х=О.
у'=е '-хе '=(1 — «)е '.Стронмтаблнцу(см табл 5) Эскизгрвфнка на рнс. 134. Таблица 5 У у=хе* У1 Ргго !35 951. Прои«полива в построении графиков функций 1№ 9331 243 Рлс. 136 Р!к. !37 4) у =с ' . Решение: область определенна функции .тп )4. у >О при всех«. у'=-2хе * . у'=О при «=О.Строимтаблнцу(см.табл.б).Эскиз графика на рис. 137. Таблица 6 хз 933.1) у= —.Решенно: областьопрсдолспил функции «н2.
у=б при х-2 ~~~-2~-х х -4« 1 х = О. у = ~ = — . Корни производной х, = О и х, = 4 (х-2)' («-2)' Исследуем функции поведение при „,у х+2 г Х з4 Ргзг 138 2) Аналогично 1). См. рис, 135. 3) Аналогично 4). См. Рнс. 136. хз -2х+ 2«2« =х+ — = х-2 «-2 х-2 2(х-2)+4 4 =х+ =«+2+ —, тс. при х-2 х-2 «-+ фуикцнл стремится к х+2. Эскиз графика изображен на рис. 138. 1 2) Указание: шгалогично 1), у = — «+3 —, « тс. при х-з у-зЗ-«. 4+х-2«' 3) у=,' . Решение: обласп.
опре(х-2) х' у=— х-2 244 Глава 1Х. Производиаа в исследовании функций ()йуй 934-935) 1*,63 деления функции хи2, у=б при 2хз-х-4=0,т.е. х= —. Ис- 4 — 2(х — 2)з — Зх+12 !2 — Зх следуем функцию при х -ь: у = = — 2+ ,т.е. (х-2)' (х -2)' при х -ь у — >-2. Строим таблицу (см. табл. 7). График си. парис. 139.
Таблица 7 934. Найти чисто действительных корней уравнения. 1) «'-4х'+20=0.Решение:исследуем /(х)=х -4г'+20=0 наэкст- ремум. 7'"(х) =4х' — 12»' =4х (х — 3). Те. х, =3 — точка минимума. 7(3) =-7<0, но при х — г 7(х)ч, позтому существует два действительных корня. Ответ: два корня. 2) Аналогично! ). х' -4 935. Построить график функции у = †. Скцзько действительных кор- ( -ф' х' -4 ней имеет уравнение — = С при различных значениях С) ( -!)' хз -4 Решение: О.О.Ф. хи!.
!нп — =1. Исследуем фуякцию на зкгтрс- ' '-(д-!)' Риг. 139 Риг. !49 52. Наибольшее н наимснывсе значение нкпин №№ 937 — 939 245 ., ич*-гй' 1)*-т (х-1)" (г-1)г 3(2-х)(2+х) . Построим табвнцу (см. таблицу 8). (х -1) Таблица 8 Теперь можно построить график функции (рис. 140) и выяснить, сколько пересечений ои имеет с прамой . Опыт: С >4 — уравнение инсат един корень, С= 4, С=( — два «орик, 4 >С>4-трикор«а, С=4 -дваизрнл, С<4/ -паин игрень. 9 г9 /9 852. Наибольшее и наименьшее значение функции 937. Найти наиболылес н наименьшее значение функции /(х) =2хг+3х'-36г. 1) па отрезке ( — 4; 3).
Решение: найлом экстремальные точки: у"'(х) = бх'+ бх -36 = = 6(х-2)(к+ 3). То ешь /(х) = 0 при к = 2 н х =-3 — зто зкстремальные точки. 7'(-4) = 80; 7 (-3) =81; /(2) = -44; 7"(3) =-27. Откуда минимальное значение равно -44, а максимальное равно 81. Ответ: -44 н 81. 2) Аналогично 1). 938. Найти наибольшее и наименьшее значениа функции. 1), 2) Аналогично 3).
3л1 3) 7(х) =ми т+созх на отрезке )л; — 31. Решение: иайлем зкстремаль- '23 ные точки: 7"(х)=солт-зшх=з)2 х+ — . с х+ — =0 при 4~ ( 4) л Г 3л! 5л х = — +ай, й е Х . Из иих в проысмупж ~лг — попадает только — . 4 2! 4 7 (л) = -1; — -з(2 ! — = -1. Таким образом минимальное значение равно —,/2, а максимальное-1. Отвел -з(2 н -1. 246 Глава !Х. Производная в иссвеловаиии функций (№№ 940-947) 939. Аналогично задаче 938.
940. Укшанис: найдите минимум функции у(х) = хз т (50-х)' на отрезке (О; 50). Аналогично задаче 942. 941. Указание: найдитс минимум функции у'(х) = х т — на интсрыле 1025 Г (О; — ) . Аналогично задаче 942. 942. Из всех прямоугольников с периметром р найти прямоупшьник наибольшей плошади. Решение: лусгь одна сторона црямоугольника ранцах, тогда вторая сторона равна — -х. Тогда плошаль равна Дх) =к.
— х~. Найдем максн- Р (р 2 (2 мум этой функции на отрезке (Π— ~. „/(х)= — х~ — х= — — 2х. (г ) 2 у' ( РЛ = О и в этой точка достигается минимум. Ответ: квадрат со ьто(х4) ДОНОЙ Рг4 943. Аналогично заваче 942. 944. Аналогично задачам 937 н 938.
945. Найти наибольшее значение фуншши. 3 х 3 — Зх 1) 3 /х -хзГх при к > О. Решение: у"(х) = — м= -з(х — ш = — ш-. Те. 24.т 2 Ь 2з(х х =1 — точка максимума. /(0)=0! Г(х)-+ при к — ь . поэтому наибольшее значение равно у"(1) = 2. Ошет: 2. 2) Аналогично 1). 946. Аналогнчио 945. 947. Найти наибольшеезначенне функции. 1), 2), 4) аналогично 3). 3) Я1-к) на интервале (О; !). Решение: 1пп~~к (1-х)=0, 2 Ошам (1-х) =О. Точки экстремума: )тз(х (1-х) ) =-(х (1-х)) з (ьх(1-х)) = -я ) 3 1 = — х '(1-х)1(2х(1-х)-хз)= — х 5(1-х) (2х-Зх'), тс.
критические 3 3 точки х = 0 н х = 2 . /~ )= з~- — = — — зто наибольшее значение. Д Отвес — . 3 453. Выпуклость графика, точки псрсгиба О(вкв 948-954) 247 948. Уиззшвис: найдите наибольшее зиачснис функции /(х) =«(о-2х) на аз 949. Указание: иайдитс наимсныисс зиачснис функции /(х) = (х+и)— 2х прн х>0. 950. Указание: найдитс наибольшее значение функции плошали /(х) =2х(3-х') при «> О.
95Н Найлитс на порабснс у = х' точку, бнижяниую квочке А (2; 05). Решения рассмотрим функция расстоаиив от точки А до точки оораболы (ц*'1: пн=((-г( (2 —:!.- вссв «е й. Тогда Рггс. !47 053. Выпуклость графика фуикипи, точки перегиба 953. Найти / (х), если: 1) /(х) =х'совх. Решение: /(х)=2хсовх-з япх.Тогда: 7'(х) =(2хсовх-х'япх) =2сшх-2хз(пх-хзсозх-2хяпх= =2совх-4хяпх — х совх. Ответ: 2совх-4хяпх — х совх.
2 з 2)-4) аналогично !). 954. Найти интсрнавы выпуклости вверх н выпуклости вниз функции /(х) . ! ) /(х) = (х ь1~: . Рсшснис: / (х) = 4(х+1), / (х) = !ах+1), то. / (х) > 0 при вссв х, та. /(х) выпукла ни из при вссв х и й . Отвст: .т и и . 1 промсжугкс ~0( — 1. ' 2)' /(х) =0 при х=( — точка минимума. Тс. исхолаав точка имссг координаты (1; ! ). Ответ: (1; 1). 952. Указание: найдитс наибоньшсс значс- нис функции /(гр) =а япр(1чсовр) иа отрезке (О;и) (см. рис.!41).
и сову с оз!и о 9 248 Глава 1Х. Производная в исслеаанании функций (Унэлз 955-960) 2) Аналогично 1). 3) Дк) =(х'-3»+2) е'. Решение: т'"(»)=(2»-3) с'+(гт -3»+2) е' = =(х -»-1)е*, /(»)=(2»-(у'+(»'-» — 1у'=(хт2)(х — 1)е'. Т,е. у=(х) > О при» >! и х < -2; и / (х) < О при -2 < х < 1 .
Ответ; выпукиавиизпри х>! их<-2;нвыпуклаввсрхпрн -2<»<1. 4) Указание: у"'(х) =(Зх -61пх-6) =бх —. т т 6 х 955. Найти точки перегиба функции /(»), шлш 1) у(») = соз», Решение: / (х) = -соя» . Те. 1 (х) = 0 при х = — +тйг, н 2 тг бе 8. Тк. в этих точка» / (х) меняет знак, та х = — +л)г — точки псре- гиба Ответ: х = — +лб,де Х. 2 2) Анапогична 3). 3) У(х) =12х' -24х'+12х. Решение: у"(х) = 72х-48 = 24(Зх-2). Тс.
х = 2/ — точка перегиба. Ответ: » = 2/ . /3 /3' 4) Указани«у (х)=-мпх+2шп2х=2мп»(2саз» вЂ” !). Унрпжненнн н главе )Х 956. Аналогично задачам 900 и 902. 957.1)Укаэаии«у'=4»'-12»'-16 =4»(»~-3~-4)=4»(»-4)(т+1). 2) Указание: у' =! 6» -4» = 4»(4»~ -1)= 4»(2»-1)(2»+1).
1 12 (»-6)(»+6) 3) Указание: у =- — = 3 .т' Зх' 4) Указание: у'=- 2 (х-3)' ' 958. Найти точки экстремума функции: 1) у=х'-4х'.Решенно: у'=Зх'-8»=х(3»-8). х=О их= ЯУ -точки /3 экстремума (тк. в иих производная мсивст знак). Ответ: х = О и х = 4. 2) Аналогична 1). 959. Аналогично задачам 958 и 915. т 960, 1) у = — + 3»'. Решение; обдаст>определения функции хе К . График 3 Упражненил к главе 1Х ()Ый 961-964) 249 функции пересекает ось ОХ в точках х = О н х "- -9. у' = х' + Ох = х(х+ б), те. х = О и х = -б — точки экстремума. Страни таблицу (сч. табл. 9). Таблица 9 хг — +Зх' 3 Эскиз графика см, иа рис. 142.
2) Аналогично! ). 961. Аналогично задаче 923. 962. Найти наибольшее н наименьшее значение функции. Н У (х) = х' - бх' + 9 на отрезке [ — 2; 2), реше- Рнг. !42 ннс: )"(-2) = -23, У'(2) = -7 . Найлом значение в экстремальных точках: р — 2х! р — = ] рх — . Тогда плошадь трсупшьиика рвана 2 ~ 4 Я(х)= — (р-2ху~рк —. Нанлем машнмум 5(х) при хп]О; Р Г рг' 2 ]! 4 3(О)=О,Ы ~Д)=О. г/ Рк-Р г +р(р-2х) Р Г4 а (х) =-]рх — +-(р-2х) — — —— 2~Рк г /4 4~Рк ! /4 7"(х) = Зхг -!2х =Зх(х-4), /(О) = 9.
Ответ: -23 и 9. 2)-4) Аналогично ! ). 963. Укюание: пусть периметр имеет дли~гу 2р, тогда по теореме Пифагора 4, = з(х~ т +~-х)г „где .т — длина одной стороны. Найдите наименыпсс 4(х), хп [О; р]. 964. Из асах равнобедренных треугольников с периметром р найти трсупшьиик с наибольшей шюшадью. Рсшспне: пусть х — длина боковой сюроны, тогда основание ныест длину р -2х . Длина высоты, опущенной иа основание раина 250 Глава (Х. Производная в исследовании функций (Ль )0 965-969) Ри .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
