alimov-11-2007-gdz- (546278), страница 4
Текст из файла (страница 4)
З~ З~ 3 ' ' 2 (, 3 ) 2 ' ,(3 (л Ответ: у=- — х+ -+- . 2 ~3 2) 8 Шеглаза 226 Глава Ч18. Произжтдиаа и сс геометрический смысл (№№ 878-883) 878. Указание: скорость тела г(т) = г'(т) = г+ 3 . 879.!) (сов' Зх) = 2совЗх.(созЗ») = — 2сояЗ»яп3».3 = — Зз!абх. 2) Аналогично 3).
3) ((х'+1)сов2») =(гг+1) соз2»+(тт+1)(сов2х) =Зх'соз2»-2(т'+1)яа2«; 4) Аналогично!). / 2 5) ((»+1/)гхт ) „(»+1)(Г»з+(хь! х' )/хт ь Зтт)«З)/х б) Аналогична 5). 888. 1) Аналогично 4). 2) Аналогично 3). 4) ( янх+совх) (сов»-з!ах)(з!нх — сов»)-(з!ах+спх)(ям»+мах) з!ах-соз«) (яах-сов»)т -!+ян2« — 1-з!а2» 2 (ял«-юкх)т 1-янух И (ой,(х'-х'+1)) = 2 .(« -х +1) Р:тл) тгРсгт)" 2) ((!ой )~) 3(1 )г(!ой )' 3!ой,'х «!а2 3) Уюиание: (яа(!ой, х)) = соз(!ой, х)()ой,х) .
4) Указание: (сазЗ') = -ми 3*.(З") 882. Ответ: г), а). в), б), 883. Найти значении х, ари янорых значение арон«волной функции /'!х) равно нулю; наложи«ельне! отрицательно: 1) Уквюнис: /(х) =(2*-2 ')!и2. 2)У; /! )=2.3"! 3-2! 3=21 З(Зи-!) ! »41 3) У«амине: /!х)=1+-= — при х>й. 227 Упражнения к гяавс УН((№№ 884 †8) 2 2х+3 4)указание: /'(х)=1+ — = при х>-05. г ь! гх+1 5) /(х) = бх-хз)х .
Решение: область определения функции х ПО. Тогда г"(х)=6- х =6 — з(х=-(4-з)х). Те. У(х)=0 при х = 16, 2 2 У(х) >О при 0<к<16 и /(х)<0 при х>16. Ответ; /'(х) =0 прих=О; У'(х)>0 при Обх<16; г" (х)<0 при х>16. 3 г— 6) Указание, 1" (х) =-з(хе(-3, аналогично 5). 2~ 884. Аналогично зааачс 885. 885. Найти все значения а, при которых у"(х) < 0 лля всех действительных значений х, сели г(х) =ах'-бт'-х.
Решение: / (х) =Зих -12х-1— квадратный трехчлсн. Для того, ч гебы у '(х) < 0 для всех лсйствитс чьных (а<0 (а<0 значений х необходимо и востаточно , от(О=!44ч(За<0 (12(аь!2)<0' куда и < -! 2 . Ответ: а < -12 . 886. Найти все значения и, при которых уравнение у'(х) = 0 нс имеет лей- ствитсвьных корней,сели: 1 г 22((ш' ь 1) 1) /(х)=ах'- —,. Решение: Г(х) =2ат+ —,=, .Те. неабходих х' .т мо, чтобы уравнение ахль!=0 не имело корней, откуда а>0. Ответ: а>0. 2) Аналогично 1). 3), 4) Аналогично задаче 885.
887. Найти все значения и, при которых неравенство у"(х) < 0 не имеет дсй- ствительных решений, если: !) г (х)иих'+х -1. Решение; у (х)=7ахь+Зхт =«з(тих'43). Тоесть х" (7ах'+3)>0 при вссхх откуда а>О.Ответ: а>0. 2) Аналогично 1). г- «+а Зх+а 3) У(х) = (хе а)тх . Решение: У'(х) = з(х+ — = †. Нсобкодимо, 2ЧГх 2зтх 228 Глава У(11. Производная и ес геометрический смысл (№№ 888-891) Зх+а чтобы — 2 О лля всех х из области определения у (х) и т"(х), т.е, для 2 (х всех «> О, позтому а ей.
Ответ: а >О. 4) Аналогично 3). 888. 1) у = 2т(х и у = 2 /6-х . Решение: найдем координаты точки пересече- пня, 2(х = 2 /б — х, откуда х = 3. Тогда (2 /х) =, те. угссг наклона касас 1 и'х тельнойкпсрвамуграфикуравси ашгй — = —. (2сб-х) = —,ст«ула упш наклона касательной ао второму графику раасн ( 11 л агсг — — = —. Тогла угол пожду графиками раасн — -~- — ~= —. (3) 6 Л Отвсг; — . 3 2) Указание: аналогично 1), угол наклона второй прямой раасн О. 889.
1) Указание: у'=соягхгГ2. 2) Указание: у'= -2 '1п2+ 2 '*" )п2. 3) Указание: у = ~ (3-.)' 4) Указание: у'=1+у' . 1, 5 898. Найти уравнение касательных к графику функции у =-х — х', па- 3 2 раллельных прямой у = бх. Решение: для того чтобы прямые были параллетьны, необходимо совпадение ах угловых ко>(зфициснтов, т.е у(х) =6. Тогда х'-5х=6, откуда х, =б и х, =-1. Тогда ураввсние первой касательной у = 6(х-б)-18, а уравнение второй касательной у=б(х+1) — 2-.Ответ; у=бх-54, у=бх+3 —. 5 1 б б 891.
Указание; см. рис, 111, уравнение касшельиой у = -4х+В, тогда плошадь треугольника равна Я = (г2 8.2. Упражнения к главе Ч1!1(№№ 892-896) У= «г Х ркс. /// ркс //2 4 8И. Указание; общий вид уравнения касательной: у = —,(х — хг)» —, те, «з хе 4 24 У= —,х+ —. См.
рнс. 1!2. хг хг 893. Указание; уравнение касательной имеет вид: У = '(3«гг — Р)(х-хе)+хг -Рх„, огкУла 3 = (3- Р)(2-1)+1 — Р. 894. Указание: у'= — (4" (п4-2" (п2/=4* — 2" =4*-2*. Решите (о4 2 уравнение 4' -2* = 2. Аналогично калаче 890 895. Нанти расстояние от начала координат до той касатсаьной к графику фуякпии у = «1п х, югорая паралясльна оси абсцисс. Решение: у' = 1п г+1, необходимо !их+1 = О, откуда х = 1/ .
Тогда уравнение та. е' 1 1 ! кой касательной у = — 1п-, у = —. Таким е е е образом, расстояние до начала юорлннат равно У (см. рнс.!13). Ответ: 896. Выяснить, при каких значениях параметра а прямая у = ат-2 касается графика функ- пии у =1+(п«. Решение: пусть прамая касвстсв графика в темке «„тогда рм. ПЗ 230 Глава У)П. Производная и сс геометрический смысл (№№ 897-898) у=х -4 » 10 Рщ. Г/4 Рлс. 115 1 — =а у= — (х-х )+1+)пх, и у=аг-2 совпацают.
Те. т„, откуда х, , =-г 1 х, — ип е .Огшт:о=с . » » е 897. Пай»и общие касательные к графикам функпин у'(х) =х» -4х+3 н 8(х) = -х» + бх-1О. Решение: пусть общая касательная касавин первого графика в точке «„а второго в точке х, (см. рис. 114). Тогда прямме у=(2х»-4)(х-х»)+х» -4к,+3 н у=(-2х» тб)(х-х»)-х',+бх»-10 со- (2х,-4=-2х,+б (х»+х»=5 -х»+3=к»-1О х»+х» 13 щения: (2; 3) и (3; 2). Значит уравнение первой обшей касательной у = -1, ауравнение второй — у=2х-б.Ответ» у -1; у=2х-б.
898. Указание: у' = Зх', т к. Угловыс коэффипиенты касательных совпааают, то если одна прямая касается графика ночке с абсписсой х„, то пруты»вЂ” в пюкс с абсииссой -х„. См. рис. 115. Глава 1Х Применение производной к исследованию функций $49. Возрастание н убнзпание функции Если у'(х) > О ()"'(х) < 0) на промежутке, то функнн» возрастает (убывает) иа этом промсжутк». Теорема 1 Если э'(х) непрерывна на отрезке [а; Ь] н днффсрсниирусма за интсрмнш (а; ай сунзсствусз точка «и (а; Ь) такая, чзо у(Ь)- т(а) = у(с)(Ь-о) Теорема 2 Если у (х) диффсрсн пируема на интервале (а; Н и ) (х) > О (/ (х) < 0) для всея, то функпия возрастает (убывает) на (и, Ь). 899.
Доказать, что функция у'(х) = х +- возрастает на промежутке х > ), з убываетнапромежуткак х<0 и 0<к<!. г '-г 2( '-)1 Решение: У(х)=2х —,=, =-; — х. Прн х>! у"(.т)>0, по- х х х этому по теореме 2 з(х) возрастает, а при х<0 н О<х<! у"(х)<0, поэтому У (х) убывает, чтд. 900. Найти интсрвавы возрастания и убывания функции, !) у=х'-х. Решение: у'=2х-(, у'>О при х> (т, тс. при х> )/ функция возрасисти у <О при х< Я. Ответ: функция возрастает при х > у)У2 и убывает при х < х(тг.
232 Глава !Х. Производная в исследовании функций (Хз№ 901-902) Уф Рпг 117 Риг Пб 2)-б), б) аналогично 1), 7). 7) у=2х'-3« -Збх+40. Решение: у'=бхэ-6«-36=6(х-3)(х+2). ()гауда у'>О при «>3 и х<-2 и у'<О прн — 2>х>З. Отвст:функцпявозрастастпри х>3 и х< — 2 иубыаастпри — 2>х>З. 901. Построизь эскиз графика непрерывной функции 7'(х), определенной на отрезке (а; Ь), сели: 1) а=О,Ь=5,7"(«) >ОпРиО<«<5,/'(1)=0,7'(5)=3 Решение:так как /"(х) >О на(0; 5),тофункция г(«) ашрастает(сн рис, 116). 2) п=-!,Ь=З,э"(х)<Опри-)<х<З,У(0) О,г(3)=-4, Решение: так как 7'(«) < О, то на ( — 1; 3) функции убывает.
График у(х) проходит через точки (О; 0) и (3; -4). См. Рис. 117. Найти интервалы возрастания и убывания функции (902 — 905). 1 ! 902. 1) у = —. Решение: у'=-, те. у<0 при хи -2. х+ 2 (х+ 2)э Ствст:функцияубываетпри х< — 2 и «>-2. 2 2) Указание; у' = —, анаяогичпо 1). «э ' 3) у=-э/«-3 3. Решение: область определении функции «<3. Тогда 1 у'= —,те. у'<О при х>3.Ответ:функцияубывастпри х>3. г,/х-3 3' 4) Указание: область определения функции х > 5, тогда у'= 3 2 «-5 аналогично 3). 233 949, Возрастание и убываииа функции (№)й 903 — 906) Зх' '+3 -2«'.х х'+9х' 903.1) Указание: у'= = .См.задачу902.1).
(х'+3) (х'+3) х-2 8-х -16+10« — х 2 ,), ( Х ),.н., 2 т , тогда 10«-2«'+32-20х>2«32-10« 3 х' у'>Опри 0<хсЗ 2 и у'<О при «сО и «>32. Ответ: фуикциявсзрвстаетпри 0<«<32 иубыввсг при «<О и х>32. 3) Уппание; у'=ем+(х-1) еи 3=ем(3«-2),анаяогично2). 4) Указание: у'= е '" -Зхе '" =е з*(1-3«), мшяогично 2).
904. 1) у=с' '*. Решение: у'=(«'+3«)е™ =(2«+3) е' 'з'. Так как е* "' > 0 при всех« то у >0 при х >-15 и у <0 при х< —.15. Ответ: функция возрастает при х > — 1,5 и убывает при х < -1,5, 2) Аивяогично 1). 905. 1) Укаиние: у'=1-2сов2х. Таким образом у'>О аз 2соз2«с! и у' с О ее 2 сов 2х >1. Аваяогичио 2). 2) у=Зх+2совЗ«. Решение: у'=3-бмпЗ«. Те. у'>ОаьмпЗт<~(У, /2' -7л зг -7л 2яй л 2тм откуда — +2гй<3«< — +ай,да 2, тс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
