alimov-11-2007-gdz- (546278), страница 3
Текст из файла (страница 3)
х х 2) Уназание: /'(х) = (па+1, аналогично 3). 3) /(х) =х')пх. Решение: /(х) =2х)пх+х' — =х(21пх+1). Область определенна функции /(х) х>0, по>гому /(х)=0 равносильно 1 !пх=-0,5,огауда х= —.Тогда /'(х) >О при х> — н /'(х)<0 лри ,Ге ,/ 1, ! ! 0< с< —.Ответ; /(х)=0 нри х= —; /(х) >О при х> —; / (т)<0 ,/е,Ге з(е 1 при 0<а<-ш. !е 3 3(»' — !) 4) Увазанисг /'(х) = Зх' — = -' — х, аналогично 3). х х 856. Найти производную 1п(х -5х+6) прн а<2 и при х>3.
Решение: на указанном промежутке х'-5х+6>0, танич ааразом ( (, ))' ~ -5х+6) 2х-5 2х-5 «'-5х+б «'-5х+6 х'-5х+б 848. Геометрнческяй смысл производной Осноаныс понвтнн: Значение производной а точке равна твнгснсу угла иаллона васатсвьной в графику функции ватой точас. Обший вид уравнения ьасательнай и графину функции у = /(х) в тчпс х,: у = / (х,1(х-х,)+/(хс). 219 648. Геометрический смысл производной ()М(з 857-860) 857. Найти значения 6 н Ь, если прлмак у=6«+Ь проходит через точку (х,; у, ) и образует с осью ОХ угол а: н л 1) а= —, х =2, у =-3.
Решение: йм!Ва=! — =1, тогда 4 а ю 4 -3 = 1 2 ь Ь, откуда Ь = -5. Ответ: Ь = 1; Ь " -5. 2)-4) Аналогично 1). 858. Найти угловой юзффициент касательной к графнку функции у = у'(х) в точке с абсцнссой ха: !) у(х) =хз, х, =1. Решение: угловой юзффмциент касательной равен )г = У'(хр). )'(«) = Зхз, откуда 6 = 3.
Ответ: !с= 3. 2)-4) Аналогично 1). 859. Найти упш между касательной к ~рафику функции у = у'(х) в точке с абсциссой .т„н осью ОХ; 1), 2) Аналогично 3), 3) г"(«) = 2ч х, х, = 3 . Решение: найдем угловой козффнписнт, 2 1 1 у'(х) = — = —, откуда Ь =у"(ха) = /"(3) = —, Таким образом 2,!'т,)« ' ,)3 ' 1 ! л зг гйа = —, а=ею! — = —.Ответ: а= —. (З,(3 6 6 9 4) Указание: / («) = —, аналогично 3).
хзг« ! и 5) Указание: г'(«) = -е ', аналогично 3). 2 2 6) Указание;,г (х) = —, анюогично 3). 2х+1 860. Написать уравнение касшсльной к ~рафику функции у = Г («) в пзчке с абсциссой х; !) г(х) =х +«+1, «е =1. Решение: у'(х) =2х+1,откуда /(!) =3. Тогда уравнение касательной вмсст вид у м 3(«-!)+ Г(!), те. у = 3» . Ответ: у=З«, 220 Глава ЧШ.
Производная и се геометрический смысл (№№ 861-862) 2) Аналогично 1). 1 1 1 3) Г(х) = —, х =Э. Решение: /(х) = —,, отьуда Г(Э) —. Тоша х х 9 ! х 2 уравнение касательной имеет вид у = — (х-3)т/(3), те. у = — +-. 9 9 3 2 Ответ: у= — х+1, 9 4) Указание: у"(х) = —, аналогично 1);3). 2 3 х , Уд] (2 5] У'(х)=з]пх, хе =-. Решение: у"(х) =созх, откуда /' 4 (4) 2 Г2( х) з(2 Тогда уравнение касательной имссг вид у = — хи — + —, то есть 2( 4) 2 у = — ( х — )т †. Отаек у = — (хе! — ~.
6) Указание: у"(х) = е', анааогично !), 3). 7) Указание: У"(х) = †, аналогично !), 3). 1 х б) Уюиаиие: У''(х) =, аналогично!), 3). 1 24. 861. 1) Указание: производная принимает положитсльныс значения в точках л, В и Е; отрицательиыс значения в точках 0 и С; нулевые значения в точках Си№ 2) Указание: производная принимает полшкитсльные значения в точках С и 6; отрицательные значения в тачках л и Е; нулевые значения в точках В, () и Р.
862. Написать уравнение касательной к графику функции у = /'(х) в точке с абсциссой х = О. 1) У(х) х+ —.Решение. У (х)=! —,, /(0) О, Г(0)=!.Тогда ! 1 .т+!' (х+!)-'' уравнениекасатсльнойимествид у=О (х-0)+!,гс. у=1.Ответ: у=]. 1 2) Указание: у'(х) = 2соз2х —, аналогично 1). хе] 863. Найти угол между осью ОЧ и касательной к графику функции у = у (х) в точке с абсциссой.т О.
зт48, Геометрический смысл производной (Хв% 863-864) 221 1) /(х) = я+ е ' . Решение: найдем угловой «озффициент касательной в точкех=О, У (х) =1-е ',откуда 1 (0) =1-с =1-1=0.Тогда угол меж- ду касательной к графику функции у = /(х) в точке с абсциссой х = 0 и осью ОХ равен а = а!с!80 = О, тогда угол между осью ОУ и касшсвьной к я л л графику функции равен р = — -а = — . Ответ: )) = — . 2 2 2 2) Аналогично ! ). ! зг 1 3) Укюание: аналогично 1), / (х) =, откуда /( = — -аш!8 — . 2,/хь(' 2 2 ' 864, Под каким углом пересекаются графики функций: 1) у = 8-х и у = 4(я+ 4 .
Решение: найлом точку пересечения графиков: 8-х = 4 6+ 4; х — !Ох+ 64 = )бх+ 64, откуда х = 0 или» = 32 (посторонний корень). Напишем уравнение шсагсльной к графику каждой из функций в точке х„= О. Т к. график первой функцим — прямая, то каса- — 2 тслымя совладаете у=Я-х. для второй функпии (лик+4) =-я =, ах+4 откуда у=! (х-О)ь8, у=х+Я (см рис.!04) Угол наклоне первой пря- л л мой раасн агс!8(-1) = —, а шорой агс!81= †.
Тогда угол мс:кду пря- 4 4 л / л) л л мым и раасн — — — = —. Огяет; —. 4 ~ 4) 2 2 2) Указание: аналогично 1) находим координаты точки пересечения гра- 1 финов х = О. Уравнение касательной к первому графику у = х+ —, ко з 2 второму у = -х+-. См. рис. 105. 2 =У( -)У' = г Х Рвг. И4 Ря !05 222 Глава Ч(!1.
Произволнаа и ее геометрический смысл (йЫй 06(-865) у у=1л( -1) у = 1п(х+1) у х Уос 106 Уаг. 107 3) (!л(!+к)) = — н у = 1в(1-х). Решение: находим точку пересечения 1 1+х графиков хь = О. Тогда (1и(1+х)) = —, те. ураю~снис щгной касатсзь- 1 1+к ной у = х; (1о(1-х)) = —, откуда уравнение второй касательной 1 1-х л у =-.т (см. рис. 106). Угол наклона первой прямой равен мстй1= —, а 4 л второй агсгй(-1) = — . Тогда уюл между лрямыми равсн — — — = —. 4 4 ( 4~ 2 гг Ответ: — . 2 4) Указание: аналогично 3), см. рис. 107. 865. Показать, что графики двух данник фун кои й имеют олиу обшую тачку и в этой точке абшую касательную. Написать уравнение втой касательной: 1) у =х' и у =хь+2х" .
Решение. Рассмотрим уравнение х' =.т'+2х', х'(х' -х'+2)=0. Оно имеет елияствснный корень хь = 0 (вырюкение в скобке является квадратным трскчхсном относительна х', 27 < 0 ). Напишемм уравнение касательной к каждой из функний в точке х =О. х ) = 4х', тогда у = 0 и (х' ь 2х ) = бх' + 4х, тогла касательная нрямвя ('= ' такмсу= О. Ответ: абшая касательная в точке хв = 0 у = О. 2) Анааогично 1). 223 148.
Гсомстричсскнй смысл производной (№Уй 866-868) у Риг. )ВВ Рвг. !09 3) у = (то 2! и у = 2-х', Решение: рассмирин уравнение (х+2)з =2-х', 2х'+4хч 2 =0, 2(х+1)з =О. Оно имеет единственный корень хь = -1. Напишем уравнение касательной к каждой из функций и точке х, =-1. ((х+ 2)з) = 2(х+ 2), те. у = 2(2-!)(х+1)+(-142)', у = 2х+ 3; (2-х ) = -2х. Тогда касательная прямая у = (-2)+!Нх+ 1)+ (2 — ( — 1) ), то есть также у = 2х ч. 3 !см. рнс. ! 08!. Ответ: общая «асательнав в точке «е = -! у = 2х+3. 4) Аналогично 3). См.
рис. 109. 866. Найти точки графика функции у = у !х), в ипорых касательная к этому графику паршьтсльнв прямой у = Вх: 3 1) у!х) = с*+с *, В = —. Решение: прямыс параллельны, если их угло- 2 3 вые коэффициенты совшыают, те. необходимо /"(х) =-. 2 1 3 ! /"!х)ме*-е *,откуда е* — = —,те. е* 2 илн е'= — !постороне' 2 2 нее решение). Тогда х = )п 2.
Ответ: х = 1п2. 2)-4) Аналогично 1). р л) 867. Указание; решите уравнение у'(х)= ! 4! 868. Найти точки, в мнорых касательные к кривым Г(х)=х' — х — 1 н 8(х) = Зх -4х+1 параллельны, Написать уравнение этих касательных. 224 Глава ЧП1. Производная и ее геометрический смысл ()ОМз 869-872) Решение: /'(х) =Зх' — 1, 8'(х) = б.т — 4. Необходимо решить уравнение 7'(х)=8 (х), те. 3(х-!)' =О,шхунах= !.Тогда уравнениехаса- у=3 тельной н графину у= ((х) у= у'(1)(х-1)+ Г(1),те.
7 =2х-3. А уравнение васатсльиой х графику у = 8(х) у=й(!)(х — !)+8(1),тс. у=2х-2. Ответ:х=1, у=2х-3 и у=2х-2.См.рис.1!О Р«г. Пд Упразипеппп к главе У!И 869.1) (2х'-хз+Зхе4) =2 4х'-Зх'+3=аз'-Зхз +3; 2) (-х +2х -Зх -1) =-5х +бх -бх; 3 3 з ! т 1 з о(г 4) — -8 (х = 2х -йхд = -бх -2х 7; ~" ",1~ 5) ((2х+3)') =16(2хчЗ)'; 6) ((4-Зх) ) =-2!(4 — Зх); т 7) ((з(Зх-2) ='((Зх-2)1~ =(Зх-2) з; 8) ~ =~(1-дх) «~ =2(1-дх) з /1-4к 7' 878. Указание: воспользуйтесь формулами из !47. 871. 1) (зш5х+соз(2х-3)) =5соз5х — 2з!п(2х-3); 2) (е" -1пЗх) =2ем- —; и 3 Зх 3) (з|п(х-3)-1п(1-2х)) =соя(х-3)+ —; 2 1 — 2х 4) (бз)п — — е ' = 4соа — +Зе 2х из.
) 2х з-и 3 ~ 3 872. ! )-4), 6) Аналогично 5). 225 Упражнения к шаве Ч1!1 (№Мв 873 — 877) 5) (е 'япх) =(е *) япх+е *(япх) =(-х) е "япх+е *совх= =-е'япх+е "совх= е '(сова-в!пх); ~«1((, «~~+фг «1 3,-'(~ ~~-~2М),г+Х,'-2х 873'1) з „1 ( з )з 2)-4) Аналогично! ). 874. 1) р!п'х) =Зяп х.(япх) =Зяп хсовх 2) (8 *) =8 *1п8 (сова) =-8 *!п8.яп»; 3) Аналогично 1). 4) (1~((')) = —, (х') = —, =-. 875. 1) Указание: ('(х) =6х' — 2х. 2) Указание: у'(х) = -рх'+ 4х . 3) Укшание: у'(~) =5х'-!5х'-20=5(хз -4)(х +1).
4) Укаишне: /'(х) = 3(х+ 3)'(х-4)' г 2(к+ 3)'(х — 4) = = (х+ 3)з (х -4)(Зх-12+ 2х+ 6). 3(х — 2)- (Зх+ 1) 7 5) Указание: у '(х) =— (х-2)» (х-2!" 2 2(х' -1) 6) Указание: у"(х) = 2х — = з 3 /л) л 1 876. 1) /(х) =-в)пхв!пх+совхссе»= =сов2х,тогда у — =сов — = —. (6) 3 2 2) Аналогично 1).
3) Аналогично 4). 1+с' -хе* , 2-0 ! 4) 1' (х) = з — х —, тогла: У'(О) = —, (!+с') 2 2 877. 1)-3) аналогично 4). 4) у = совх, х, = Иуу) . Решение: по формуле уравнении касателыюй имс- ем у=сов — х — +сов-,т.е. у=- х — + —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
