alimov-11-2007-gdz- (546278), страница 7
Текст из файла (страница 7)
144 Рис (43 р'-зрх узг, т.с. 5(х)=0 при х= — это точка максимума, т.с. Г р/ 2 рх — Р 4 наибольаую площаль имеет равносторонний трсугоаьник. Ответ: равносторонний трсуюльннк. 965. Аналогично задача 964. УУроверь сейл( !. Аналогично задачам 900 и 902. 2. Анаюгично задаче 958. 3. !) См. Рис. !43; 2) См. рис. (44. 4. Аналогично задачс 962. 5. Аиагогично задаче 964. 966. Доказать, что функция у=)8х -2-х +7т+!25 возрастаст на вссй ! 3 области опрсдслсния. Рсюсннс: Найден производную у'= 9»' — 2х' + 7 = 9и' — 2и+ 7, где и =х'.
Но 9и'-2и+1>0 при вссх и тк. 0<0. Тс. у >О прн вссх х, слсдовигсльно функция возрастаст при вссх к, ч, г л. 967. Аналогично задаче 966. 968. !) указание: у'=(пхь!. 2) Указанис: у'=хе'+с' =с'(х-! !). 25 9 8(2х-9)хч3) 3) Указание: у = (7-х) (3 — х)г (7-х!'(3 — х) 969. Указанис: г (х) возрастаст на промсжутках, глс 8(х) >О, убмыст на оромсжутках, где 8(х) < О. Точки экстремума функции /(х) — нузи функции 8(х) (т.к. в этих точках функция 8(х) мсняст знак). Точки порог нба функции у (х) соотвегстаукм экстремума» функции 8(х). 251 Упражнения к пиве )Х [№№ 970-974) Рас.
144 Р»»с 145 Уф +2) Риг 147 2 Вх 970. 1) у = †. Решение: О.О.Ф. х и 42. у' = -, те. хс = 0— х -4 (»-4)» точка максимума, у 10) — ~~ . Эскиз графика -рис. !45. »2' 2) Аналогично 1). См. рис. 14б. 3) Указание: у'=2(х-1)(х+2)+(х-1)» =3(х-!)(х+!),точка т„=)-точ- ка минимума, х, = -1 - точка максимумл.
См. рис, 147. 4) Указание: у =Зх(х-1) +(х-15 =(х-1)»(4х-!),точка х; = )4 -точка минимума. См. рис. 148. 971. Аналогично задаче 938. 972. Указание: скорость тела г[г) = о (г) = 12» -3»», Найдитс наибольшее значениес этой функиии при г > О. 973. Укшанис: пусть длина катета х, тогда денна другого ютта раппа Г (1-х) -х =ч1 )-2)х, а плошадь треугольника 5(т)= — хч1 )-2)х.
» 2 Найдите наибоампее значение функпни 5(х) на промсжупш й»; Я1. [40-.). 974. Указание: найдите наибольшее значение 5(х) = — ~ — на [О; 40[. 2 252 Глава (Х. Производная в исследовании функций (№Г(я 975 — 9В1) 975. Сумма диагоналей параллелограмма равна а. Найти нанчсныпсс значение суммы кнщратов всех его сторон. Решение: известно, что сумма кващмтов сторон равна сумме каалратов диагоналей. Те.
необходимо найти наименьшее значение функции г(х)=х с(о-х/ иа отрезке [О; и[. у'(х)=2х-2[а — х)=4х-2а 1 т 1 /(0)=и, у(а)=а, Я~4= — + — = —, те. наименьшее значение —. Отвст: —. 2 2 976. Указание: найдите наибольшее значение функции у (х) = Зх~/М' -х' на отрезке [О; Я). 977. Указание: наибольший объем ичсег пирамида, в основании которой ас- жит трсупшьник наибольшей площади.
См. задачу 975. 978. Указание: обьсм цилиндра равен 1'(х) = пг' — -2х. Найдигс наибсяь/р [2 шее значение этой функции на отрезке ~0,— (з 979. Аналогично задаче 948. хг -З.с+2 980. Найти точки экстремума функции у = , .
Решение: х +Зх+2 "- ч* * — за=литл! [аз+За+г/ (.+2~[" 1)- прн х = аз/2 . В этих точках производная меняет знак, те, этоточки экстремума.Ответ: х =к /2. 981. 1) у=(х'-1)/хс). Решение; О(ЗФ. х> — 1. Функция обрашасшв в — хз -1 нуль прн х = х! . Найдем производную: у =ух (х+! + 2з/к+1 — х -1 4х(х+1)+х'-1 5х'+4х-! [5х-1)[х+1) = 2хч ха! + Т.е. 2(х ь ! 2/х + 1 27хч ! 2/х с ! у'=0 при х ~~ -это точка минимума.
Эскиз графика парис.!49. /5 2) у = Я.зз/!+ За . Решение: область определения функции хи Гк . Функция сбрвщжтса а нуль при а =0 и х -~~э . Найдем произюдиую: "3 Упражнения к главе !Х (№ 982) 253 !Р)х +! Х Рпг !49 Ри;!5Е Ркс 15! Рж !52 -х4!+Зх, х ч 0 у= со х))1+Зх, х сО Таким образом, у' = 0 при х = — ~I — зто точка максимума (производная '4 1 меняет знак). у(- !г')= —. Эскиз графика на рис. 150. 4 4г/4 3) Указание: у'= 2хе ' -«зе * =хе *(2-х). Откуда х = 0 — точка мини- мума, а х= 2 -точка максимума. См. рнс. 151.
4) Укаяниа у'=Зх е '-х е' =х е '(3-х). Точка я=О не яяястся пгчюй зксгрсмума, а х = 3 — точка максимума, См. рис. 152. 982. Указание: для того, чтобы слепнуть груз. необходимо, чтобы М(нд — Ряпа)=Р сева, те. хяй = Р(сова+дина), Р(а) = йй созачйяпа' . Найдитс наименьшее значение втой функции на отрезке (О; — . ' 21!' -6чЗх- ',хеО (((!+ Зх)з бчухь,х>0 ' (!чЗх)' 1+4х ,х<0 (~(,ЗУ' ' 1+ 4х ,х>0 Фм' Глава Х Интеграл 854. Перпообрпзмпп Функция е(г) ншывастся вереоебразяеб функции ] (х) не нситшром нромемутке, сали лля всея» нз этого ггромеиутва Е (х) = Г(х) .
983. 1! Е(х)= —; г(х) =х . Решение: Р (х)= — =х'= г(к) лдя всея хн К х бт' б б х ° 5х' 2) Е(х] = —; г'(х) = х . Решение: Р"(к) = — = х = У'(к) для всея х и К 5 5 984.1) Г(х)=-: у"(х)= —,. Решенно: Р"(х)=!2х ) = —,=/[х) для х>0 з х 2) Р(х]=1+э(х; Г(х)= —. Решение: Г(х]= 1+х! = — =,Г(х) ! 2/х ~ ! 2/х длявсех х>0. 985. 1) х~. Решение: подберем функцию Р(х) тая, чтобы Е'(х) = к" . Тогда все псрвообрвзные функции х' имеют вид Р(х) + С, где С вЂ” любое дейл х 5 ствитсльнос число. Например, Е(х) = — .
Ответ: — + С, Сп К . 5 5 2) х'. Г(х)= — +С,Сп К. 4 3] х '. К(х)= — +С,Сп К. 2 4) к '. Г(х) =2х'+С,Сп К. 986. 1) у(х) =», М(-1;3). Решение; найдем пераообразиыс функции у(х): 3(х) =х=~ —, тс. Г(х) = — +С. Тогда Е(-1) = +С =3, (-6 12! 2 2 255 955. Правила нвхождснна псрвообразныз (№№ 987 — 989) 1 С=2,5.Отнес Р(х)= — +2,5.
х 2) 7'(х) =./х, М (9; !0). Рсшснне: найдем первообразные $ункннн 7 (х): т(х =~ — хз)х, те. Р(х) = — кт(х еС. Тогда Р(9) =10, —.9.3+С =10, (2 2 2 (3 ~' 3 3 2 гС=-8.Ответ: Р(х) = — х х-х. 3 987.!) Р(х) Зе';7(х)=е).решенно: Р(х)= ЗеЗ =3 — еу =еЗ =у(х) 3 даз всех .ге К, 2) Р(х) =зш2хг /(х) = 2соз2х. Решение: Р (х) =(з!п)х) =2соз2х=Яг) даа всех хе )(.
фй5. Правила иахшклемии иервпобразиых 988.!) 2х' — Зх'. Решенне: по табвнне одна нз первообразнма от х' равна ь 3 3 —,ог хг рвана —,тогда Р(х) 2 — -3 — = — -х'. 6 3 б 3 3 «з Ответ Е(х)= — -х . 3 2) 5х' +2х . Г(х) = †+ х + — . Ответ; Р(х) = х + — . 5х' 2к" , х' , к' 5 4 2 2 3) — + —,. Г(х)=2)па+3( — х )=2!пк-Зх .Ответ: Г(х)=2)пх+х . 2 3 Г 1 х х' 2 3 х-г 1 ! 4] —,—. Р(х) =2 — -3!пк= — -3|пх.
Ответ: Р(х) = — -3|ох. х' х -2 х х' ! 5! бх -4х+3, Р(х)=6 — 4 — +3 — =2х -2х +Зх, 2 х х г г 3 2 1 Ответ: Р(х)=2х~-2хг+Зх. з Зк! 2х' 6) 4Ь вЂ” бгх . Р(х) = 4 — — 6 — =З*г -4хз,Ответ: Г(х) =Зх! — 4х1 4 3 989. 1) Зсозг-4япх. Г(х) =За!пх-4(-совх)=Ззшхе4сазх. 2) 5з!ох+2созх. Р(х) -5созх+2япк. 3) е*-2созх. Р(х) =е' -2япх. Глава Х. Интстрвл (№М 990-991) 256 4) Зе'-Мпт.
е(х)=Зе'+сов». 5) 5-е *+Зсотх. е(х)=5»+е '+Зяпл. 6) !+Зе*-4созх. Г(х)=»+За'-4т!пх. Г(х)= — бх -2!ах+!с*,Ответ: Р(х)=45чх — 21п»43е". 3 4 4 3, 4 3, -у,' 1 8) -ят — 2е '. Тл. -~+ — 2е' 4» з+3 — -2.е ', то псрвооб- 4» х 4х х х разиал е(х)=8/хт31пх+2е *.Ответ: е(к)=8/х+3!пх+2е '. 990.1) (л+1/з. Г(»)= —. 2) (х-2) . Р(х) = (х+1! (х-2~ 5 4 3) . Р(х)=2 =4/»-2. 2 (х-2)'з х — 2 2 3 ,1) -л — =3(х+3) ' р'(х)- з/(хвЗ)з 9»тЗ ' 2 5) — 44сов(»+2). е [х) = !п(х -!)+ 4яп(х+ 2), 1 к-1 6) -2з!п(х-1).
Р(х) = 3!п(х-3)+ 2соз(»-1). 3 х-3 991. 1) з!п(2»+ 3). Г(х) = — соз(2»+ 3)+ С 1 2 2) соз(3»+4). 6(х) = -яп(3»+ 4)+ С. 1 3 3) с — -1 . Р'(х) =2я' — !~+С. ~(2 ~ '(2 . гх !к 4) я -+5 . Г(х) -4с — +5)+С. ~4 ~4 6) е' '. Е(х)=-аз* '+С. 3 8) —. Е(х) =-1п(3»-1)+С. 1 1 Зх-1 3 5) е ' . е(х) = 2е ' + С. 7) —. е(х) =-1п2»+С. 1 1 2» 2 7) Мх — +Зе'. Тк. 69» — +Зе' =бт з — +3 е', то первообразиал .т х х 2] З(т) =4«-1, М(-1;3). Решение: обшил вил псрвообразных функции ((к): Е(х) =2«т -«4С.
То«да Е(-!) = 2+1+С=3,~леуда С =О. Ответ: Е(«) = 2х'-х. н 3) /'(х) = Ып 2х, М ( —; 5) Решение: обшид вид псрвюбразиых функции 2 1 з'н) Е(х)= — соз2«сС, тогда ] — = — создтС=5, откуда ~2] 2 .Е(х): С =45, Отвсш Е(х) = — соз2«с45. 2 4] у(х) =совЗ«, М (00]. Решение: обе!ай нид псрвообразных функции Г(«): Е'(«) = -ып 3 «+ С, тогла Е(0) = — оп 0 с С = 1 1 3 3 1 Ответ: Е(х) = — з!н Зх. 3 О, откуда С = 0 . 993. 1) е '-созЗх. Е(х) = — с' — -тшЗт. 1 ., 1 2 3 2] е)+йп2«. Е(«) =4ет — соз2т . 1 2 .т т"; х 5 3) 2зш — -5е ' Е(х) = -10соз — — е 5 5 2 .т т*— х 2 4) Зсов — '+2е '. Е(х)=2!яа-'+-е 7 7 3 (х ! ]( 5) У«савине: ~- = — х" .
5,]5 6) Уеашние: =4 (За+1) тт. 4 Б:*й 994 2« -4«'+х 2х — 4х +х 2 ' . Решение: Ях)= 3 3 3 2.т'4«1х2т!4 дв Е(х) = — — — — с - †. Ответ: — х' — х' 3 5 3 4 3 2 15 3 9 н]егхена ° 4, 1 х — х +-х, тот- 3 3 1 т +-х . б 455. Правила нахожлснив первообрвзных (](тЗЗ 992-994) 257 992. 1) 7(х) = 2х+3. М (1; 2). Решение: обший вид псрвообразных функции /(х): Е(х)=хзсЗ«тС.Татаа Е[1)=1+3+С=2,шкуда С -2. Ответ: Е(х) =«т+3«-2. Глава Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
