alimov-11-2003-gdz- (546277), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Область определения: х > 0, f ' (x ) = 2 x −f’(x) = 0;2 x 4 − 32x3= 0 , 2(x4 – 16) = 0,32x3,x = ±2;2 ∈ (0; +∞) -2 ∉ (0;+∞), x = 2 – точка минимума, f (2) = 4 ++–272х16=8;42) f (x ) =2− x 2 , x < 0. Область определения x < 0;x1. f ' ( x ) = −()2− 2 1 + x3− 2 x , f’(x) = 0,= 0 , x3 = -1, x = -1,2xx2-1 ∈ (-∞; 0)+–х-1f (− 1) = −2− 1 = −3 , x = -1 – точка максимума,1max f (x ) = f (−1) = −3 .(−∞;0 )№ 940Пусть одно число х, тогда второе (50 – х).
Надо найти наименьшее значение суммы их кубов, т.е.: f(x) = x3 + (50 – x)3,f’(x) = 3x2 – 3(50 – x)2 = 3x2 – 7500 + 300x – 3x2 = 300x – 7500, f’(x) = 0,300x – 7500 = 0 ⇒ x = 25,–+х25x = 25 – точка минимума, х = 25; (50 – х) = 25, 50 = 25 + 25.№ 941⎛ 625 ⎞Пусть одно число х, тогда второе ⎜⎟ , но числа эти такие, что сумма⎝ x ⎠их квадратов наименьшая2⎛ 625 ⎞f (x ) = x 2 + ⎜⎟ , x < 0,⎝ x ⎠f ' (x ) = 2 x −2 ⋅ 625 2,f ' (x ) = 0; 2 x −2 ⋅ 62523= 0,xx3422х – 2 ⋅ 625 =0, x = ±25, x = 25 ∈ (0; + ∞), x = -25 ∉ (0; +∞),–+25хx = 25 – точка минимума, значит х = 25,625= 25 .xОтвет: 625 = 25 ⋅ 25№ 942Пусть стороны прямоугольника равны a и b, тогдаp = 2(a + b).
Положим, а = х, тогда x > 0ppb = −a = −x.22аb73Площадь этого прямоугольника находим как:⎞⎛pS = f (x ) = a ⋅ b = x ⋅ ⎜ − x ⎟ – найдем max этой функции.⎝2⎠ppp − 4xpf ' (x ) = − x − x = − 2 x , f’(x) = 0;=0 x= ,2422–+хp4p– точка max, значит, прямоугольник имеет стороны4p p p— это квадрат.b= − =2 4 4точка x =a=p4№ 943Пусть стороны прямоугольника равны a и b.S = 9 = a ⋅ b.9⎞9⎛Пусть а = х, тогда b = , p = f (x ) = 2(a + b ) = 2⎜ x + ⎟x⎠x⎝x > 0.⎛9 ⎞⎟,Найдем минимум этой функции f ' (x ) = 2⎜⎜1 −2 ⎟⎝ x ⎠2f′(x) = 0;–3 ∈ (0; +∞)(x2x−92)= 0,x = ±3,+3-3 ∉ (0; +∞)9= 3.3Ответ: Это квадрат со стороной 3.х = 3 – точка min; a = 3, b =№ 9441 1⎡1 ⎤⎛1⎞1) f(x) = lnx – x, ⎢ ;3⎥ , х > 0; 1. f ⎜ ⎟ = ln − < 0 , f(3) = ln3 – 3 < 0;2 2⎣2 ⎦⎝2⎠11− x⎡1 ⎤2.
f ' (x ) = − 1 , f′(x) = 0;= 0 , x = 1; 3. 1 ∈ ⎢ ;3⎥ , f(1) = ln1 –1=-1.xx⎣2 ⎦⎛1⎞⎝ 2⎠Выясним, что больше. Допустим, f ⎜ ⎟ > f (3)5−11 15111− > ln 3 − 3 , ln − ln 3 > − , ln > ln e 2 ⇒ > 522 2266e 2е5/2 > 6 – что верноln74Допустим f(3) < f(1), т.е.
ln3 – 3 > -1, ln3 > 2,3 > e2 – не верно, значит f(1) > f(3).ln3 > lne2,1−1 11⎛1⎞Допустим f ⎜ ⎟ > f (1) , т.е. ln − > −1 , ln > ln e 2 ,2 22⎝2⎠11>,2e⎛1⎞e > 2 , е > 4 – не верно, значит f (1) > f ⎜ ⎟ .⎝2⎠Итак, max f (x ) = f (1) = −1 , min f (x ) = f (3) = ln 3 − 3 ;⎡1 ⎤⎢ 2 ;3⎥⎣⎦⎡1 ⎤⎢ 2 ;3⎥⎣⎦2) f(x) = x + e-x, [-1; 2];1. f(-1) = -1 + e = e – 1 < 2, 2 < e < 3, 1 < e – 1 < 2, f (2) = 2 +1>2;e22.
f′(x) = 1 – e-x, f′(x) = 0; 1 – e-x = 0, e-x = 1 = e0, x = 0, f(0) = 0 + e0 = 1,1max f (x ) = f (2 ) = 2 +, min f (x ) = f (0) = 1 ;[−1;2]e 2 [−1;2]f(-1 )f(0 )1f(2 )23) f(x) = 2cos x – cos2x, [0; π];1. f(0) = 2cos0 – cos0 = 2 – 1 = 1, f(π) = 2cosπ - cos2π = -2 – 1 = -3;2. f′(x) = -2sin x + 2sin2x, f′(x) = 0; -2sin x(1 – 2cos x) = 0,1πsinx = 0, x = πn, n ∈ Z, cos x = +x = ± + 2πn, n ∈ Z ;23π3.
0 ∈ [0; π], π ∈ [0; π],∈ [0; π] ,3π2π13⎛π⎞f ⎜ ⎟ = 2 cos − cos= +1 + = + ,33322⎝ ⎠⎛π⎞ 3max f (x ) = f ⎜ ⎟ = , min f (x ) = f (π ) = −3 .[0;π]⎝ 3 ⎠ 2 [0;π]№ 9451) f (x ) = 3 x − x x , x > 0;33− ⋅ x,1. f ' (x ) =2 x 2f′(x) = 0;⎞3 ⎛⎜ 1− x⎟=0⎟⎜2⎝ x⎠x=0, x=1–+01− x1x = 1 – точка max, f(1) = 3 – 1 = 2;752. f (x ) = 3x − 2 x x , x > 0, f ' (x ) = 3 − 3 x ,()f′(x) = 0; 3 1 − x = 0 , x = 1 , x = 1, x = 1, точка max.3. 1 ∈ (0; +∞), f(1) = 3 – 2 = 1.+–1№ 9461) f(x) = e3x – 3x на (-1; 1), f′(x) = 3e3x – 3,f′(x) = 0, 3(e3x – 1) = 0, e3x = 1 – e0, x = 0, x = 0 – точка min, 0 ∈ (-1; 1),f(0) = e3⋅0 – 3 ⋅ 3 = 1;–+01 1x −11+ , f′(x) = 0,=0,2) f (x ) = + ln x на (0; 2), f ' (x ) = −2xxx2x1x = 1, х = 1 – точка min, 1 ∈ (0;2), f (1) = + ln 1 = 1 .1+–1№ 9471) f (x ) = x 4 5 − x на (0; 5),x ⋅ (−1)4(5 − x ) − x20 − 5 xf ' (x ) = 4 5 − x +==,334444 (5 − x )4 (5 − x )4 (5 − x )3f′(x) = 0,20 − 5 x4 (5 − x )34f (4 ) = 4 ⋅ 4 5 − 4 = 4 ;+= 0 , x = 4, x = 4 – точка max, 4 ∈ (0; 5),–42) f (x ) = x 4 − x , (0; 4), f ' (x ) = 3 4 − x +x ⋅ (−1)3f′(x) = 0,12 − 4 x3 (4 − x )23f (3) = 3 ⋅ 3 4 − 3 = 3 ;+3763 (4 − x )32=12 − 4 x3 (4 − x )23= 0 , x = 3, х = 3 – точка max, 3 ∈ (0; 4),–x,3) f (x ) = 3 x 2 (1 − x ) , (0; 1),f ' (x ) =()=1 2 x(1 − x ) + x 2 ⋅ (− 1)2 x − 3x 23 x (1 − x )3 x (1 − x )4322 − 3xf′(x) = 0,3 x (1 − x )432=0,34x=2,32x==2 − 3x3 x 4 (1 − x )2322– точка max,∈ (0;1) ,334 1 34⎛2⎞f⎜ ⎟=3 ⋅ =;9 33⎝3⎠+–3x4) f (x ) = x 2 − 4 x + 5 , (-1; 5),f ' (x ) =31 ⋅ (2 x − 4 )(3 x 2 − 4x + 5f′ (x) = 0;3(2x − 423 x − 4x + 5f (2) = 4 − 8 + 5 = 1 .)2=0,)2,x = 2, x = 2 – точка min., 2 ∈ (-1; 5),3–+2x№ 948Пусть мы вырежем квадраты со стороной х, тогда высота и есть х.
Запишем в таком случае объемf(x) = V = (a – 2x)(a – 2x) ⋅ x = (a – 2x)2 ⋅ x = a2x – 4a2x + 4x3f′(x) = a2 – 8ax + 12x2;f′(x) = 0: 12x2 – 8ax + a2 = 0, D = 16a2 – 12a2 = 4a2,4 a + 2a a4a − 2 a ax1 == , x2 == ,122126a⎛a⎞f ⎜ ⎟ = (a − a )(a − a ) ⋅ = 0 ,2⎝2⎠a ⎞⎛a⎞ a 4a 2a 3⎛a⎞ ⎛f ⎜ ⎟ = ⎜ a − ⎟⎜ a − ⎟ ⋅ = a 2 ⋅ =,3 ⎠⎝3⎠ 6 9627⎝6⎠ ⎝⎛ a ⎞ 2a 3max f (x ) = f ⎜ ⎟ =.⎝ 6 ⎠ 27Ответ: высота коробки должна бытьa.677№ 949BКРAQDCПусть BK = х, тогда высота треугольника BD=a + x.Найдем основание АС. Треугольники АВС и PQB – поAC x + ax+a, значит=,добны с коэффициентомPQxxAC =(x + a ) ⋅ PQ = (x + a ) ⋅ a .xxПлощадь:11 (x + a )a(x + a )2 ⋅ a ,AC ⋅ BD =⋅ (a + x ) =22x2xf ' (x ) =2 ⎛a2 ⎞ 2 ⎛ a2⋅ ⎜⎜ x + 2a +⎟' = ⎜ 1 − 2a ⎝x ⎟⎠ a ⎜⎝xf′(x) = 0;f (a ) =2 ⎛⎜ x 2 − a 2a ⎜⎝ x 2⎞⎟⎟ ,⎠⎞⎟ = 0 , x = ±a, x > 0, x = a,⎟⎠(a + a )2 ⋅ a = 2a 2 .2aОтвет: наименьшая площадь при ВК = a.№ 950у = 3 – х2 – график этой функции симметричен относительно оу, значит,вершины прямоугольника будут иметь координатыВ = (-х, у); А = (-х, 0); С = (х, у); D = (x, 0).Основание прямоугольника равно 2х (х>0) и высота у, значит, площадь:f(x) = S = 2x ⋅ y = 2x ⋅ (3 – x2), x ∈ (0; 3),f′(x) = 2(3 – x2) + 2x ⋅ (-2x) = 6 – 2x2 – 4x2 = 6(1 – x2),f′(x) = 0; 6(1 – x2) = 0, x = ±1, 1 ∈ (0; 3) -1 ∉ (0; 3),f(1) = 2 ⋅ 1(3 – 12) = 2 ⋅ 2 = 4.Ответ: наибольшая площадь прямоугольника равноа 4.№ 951Пусть это точка В с координатами (х, х2).( x − x A )2 + ( y − y B ) 2Тогда расстояние до точки А:ρ = f (x ) ==78(x − 2)2 + ⎛⎜ x 2 − 1 ⎞⎟x 4 − 4x +⎝17,42⎠f ' (x ) =2= ρ или= x 2 − 4x + 4 + x 4 − x 2 +(1⋅ 4 x 3 − 42 x 4 − 4x +)174,1=44x 3 − 4f'(x) = 0;172 x − 4x +4=0,4+–1xx3 = 1, x = 1, х = 1 – точка минимума, у = 12 = 1.Ответ: (1; 1) — ближайшая к точке А.№ 952Пусть а — ширина доски, ϕ – угол, 0 ≤ ϕ <π.2Тогда площадь поперечного сечения желоба:⎛1⎞S (ϕ) = 2⎜ ⋅ a (a cos ϕ)sin ϕ ⎟ + a (a ⋅ cos ϕ) ,2⎝⎠1⎛⎞S (ϕ) = a 2 ⎜ sin 2ϕ + cos ϕ ⎟ .⎝2⎠Найдем максимум этой функции:⎛1⎞⋅ 2 ⋅ sin 2ϕ − cos ϕ ⎟ ,⎝2⎠S′(x) = a 2 ⎜S′ = 0 ⇒ cos2ϕ – sinϕ = 0 ⇒ 1 – 2sin2ϕ – sinϕ = 0.Обозначим sinϕ = t;− 1 ± 1 − 4 ⋅ 2(− 1)1; t1 = –1; t2 = .22⋅23при t = –1: sinϕ = –1 ⇒ ϕ = π — посторонний корень.211π: sinϕ =⇒ϕ=, и угол наклона боковых досок к оснопри t =226π π 2ванию : + = π .2 6 32Ответ: π .32t2 + t – 1 = 0; t1,2 =§ 53 Выпуклость графика функции, точки перегиба№ 9531) f′′(x) = (x2cosx)′′ = (2x cosx – x2sinx)′ = (2x cosx)′ – (x2sinx)′ == 2cos x – 2x sin x – 2xsinx – x2cosx = cosx(2 – x2) – 4x sin x;2) f′′(x) = (x3sinx)′′ = (3x2sinx + x3cosx)′ = 3(x2sinx)′ + (x3cosx)′ == 6x sin x + 3x2cosx + 3x2cosx – x3sinx = sinx(6x – x3) + 6x2cosx;793) f ' ' ( x ) = ( x5 + 2 x3 − x 2 + 2)' ' = (5 x 4 + 6 x 2 − 2 x)' = 20 x3 + 12 x − 2 ;4) f ' ' ( x ) = ( x 4 − 3 x3 + 5 x + 6)' ' = ( 4 x3 − 9 x 2 + 5)' = 12 x 2 − 18 x .№ 9541) f′′(x) = ((x + 1)4)′′ = (4(x + 1)3)′ = 12(x + 1)2,f′′(x) > 0 при всех х ≠ -1, значит, функция при всех х ≠ -1 выпукла вниз2) f′′(x) = (x4 – 6x2 + 4)′′ = (4x3 – 12x)′ = 12x2 – 12,f′′ > 0, 12(x2 – 1) > 0, (х – 1)(х + 2) > 0,–++-11xпри x < -1 и x > 1, на этих промежутках функция выпукла вниз.f′′ (x) < 0 при –1 < x < 1, на этом промежутке выпукла вверх;3) f′′(x) = ((x2 – 3x + 2)ex)′′ = ((2x – 3)ex + (x2 – 3x + 2)ex)′ == (ex(x2 – x – 1))′ = ex(x2 – x – 1) + ex(2x – 1) = ex(x2 + x – 2)f′′(x) > 0, x2 + x – 2 > 0,–++-21x−1 + 3−1 − 3D = 1 + 8 = 9, x1 == 1 , x2 == −2 ,22при x < -2 x > 1 – функция выпукла вниз,f′′(x) < 0 при -2 < x < 1 – функция выпукла вверх;6⎞⎛4) f′′ (x) = (x3 – 6x ln x)′′ = (3x2 – 6ln x – 6)′ = ⎜ 6 x − ⎟ , x > 0,x⎠⎝()6(x − 1)(x + 1)1⎞x 2 −1⎛>0,>0,f′′(x) > 0, 6⎜ x − ⎟ > 0 , 6x⎠xx⎝при x > 1 – функция выпукла вниз,f′′(x) < 0 при 0 < x < 1 – функция выпукла вверх.№ 9551) f′′(x) = (cos x)′′ = (-sin x)′ = -cos x, f′′(x) = 0, -π < x < π,π ππ-cos x = 0, cos x = 0, x = + πn, n ∈ Z , x = − ; ;22 22) f′′(x) = (x5 – 80x2)′′ = (5x4 – 160x)′ = 20x3 – 160,f′′(x) = 0, 20(x3 – 8) = 0, x = 2.–+2xПри переходе через х = 2 f′′(x) меняет знак, значит, х = 2 – точка перегиба;3) f′′(x) = (12x3 – 24x2 + 12x)′′ = (36x2 – 48x + 12)′ = 72x – 48f′′(x) = 0, 24(3x – 2) = 0, x =802,3–+x232знак f′′(x) меняется, значит, это точка перегиба31⎛⎞4) f ' ' ( x ) = ⎜ sin x − sin 2 x ⎟' ' = (cos x − cos 2 x )' =2⎝⎠= − sin x + 2 sin 2 x = 2 sin 2 x − sin x , -π < x < π, f′′(x) = 0,при переходе через x =sin x(4cos x – 1) = 0, sin x = 0 x = πn, n ∈ Z, πn ∉ (-π; π),11, x = ± arccos + 2πn ,441x = ± arccos — являются точками перегиба.4cos x =Упражнения к главе IX.№ 9561) y′ = (2x3 + 3x2 – 2)′ = 6x2 + 6x, y′ > 0, 6x(x + 1) > 0,+–-1+x0при x < -1, x > 0 – возрастает; y' < 0 при -1 < x < 0 – убывает;⎛2 3⎞x − x 2 − 4 x + 5 ⎟' = 2 x 2 − 2 x − 4 ,⎝3⎠2) y ' = ⎜y′ > 0, 2x2 – 2x – 4 > 0, x2 – x – 2 > 0, D = 1 + 8 = 9,x1 =1+ 31− 3= 2 , x2 == −1 ,22–++-12xпри x < -1 x > 2 функция возрастает; y′ < 0 x2 – x – 2 < 0,при –1 < x < 2 – убывает;3⎛3 ⎞− 1⎟' = − 2 ; х ≠ 0x⎝x ⎠3) y ' = ⎜y′ < 0 при всех х, но х ≠ 0 ⇒ значит, функция убывает при x < 0 и x > 0;−2⎛ 2 ⎞;⎟' =2−3x(− 3)x⎝⎠4) y ' = ⎜x ≠ 3,y′ < 0 при x < 3 и x > 3 и убывает на этих промежутках.81№ 9571) y′ = (x4 – 4x3 – 8x2 + 1)′ = 4x3 – 12x2 – 16x, y′ = 0, 4x(x2 – 3x – 4) = 0;⎡x = 03+53−5⎢ x 2 − 3 x − 4 = 0 , D = 9 + 16 = 25, x1 = 2 = 4 , x 2 = 2 = −1 ,⎣x1 = 4, x2 = -1, x3 = 0;2) y′(4x4 – 2x2 + 3)′ = 16x3 – 4x, y′ = 0, 4x(4x2 – 1) = 0,⎡x = 01⎢4 x 2 − 1 = 0 ⇒ x1 = 0, x2 = 2 ,⎣⎛ x 12 ⎞ 1 12;+ ⎟' = −⎝ 3 x ⎠ 3 x23) y ' = ⎜x3 = −1.2x ≠ 0, y′ = 0,x 2 − 363x 2=0,x2 – 36 = 0, x = ±6;4) y′ = (cos2x + 2cos x)′ = -2sin2x – 2sin x, y′ = 0, -2sin x (2cos x + 1) = 0,⎡ x = πn, n ∈ Z⎡sin x = 0⎢.± 2π1 ⇒ ⎢+ 2πn, n ∈ Z⎢x =⎢cos x = −32⎣⎣№ 9581) y′ = (x3 – 4x2)′ = 3x2 – 8x, y′ = 0, x(3x – 8) = 0, x1 = 0; x2 =–+0+x83x = 0 – точка max., x =8,38- точка min.;32) y′ = (3x4 – 4x3) = 12x3 – 12x2, y′ = 0, 12x2(x – 1) = 0, x1 = 0; x2 = 1,x = 0 – стационарная точка, х = 1 – точка min.+––0x1№ 959⎛1) y ' = ⎜ x 5 −⎝5 2⎞x + 3 ⎟' = 5 x 4 − 5 x , y′ = 0, 5x(x3 – 1) = 0, x1 = 0; x2 = 1,2⎠x = 0 – точка max., f(0) = 0 – 0 + 3 = 3, x = 1 – точка min.,35f (1) = 1 − + 3 = ;22+–082+1x⎛1 5⎞x − 4 x 2 − 3 ⎟' = x 4 − 8 x , y′ = 0, x(x3 – 8) = 0, x1 = 0, x2 = 2,⎝5⎠2) y ' = ⎜x = 0 – точка max., f(0) = 0 – 0 – 3 = -3, x = 2 – точка min.,3263− 16 − 3 = − .55+–+f (2 ) =0x2№ 9601) y =x3+ 3x 2 .3Область определения – R, y′ = x2 + 6x, y′ = 0, x(x + 6) = 0,x1 = 0; x2 = -6 – стационарные точкиxx<-6-6-6<x<00x>0y′+0-0+y0max2) y = −minx4+ x2 .4Область определения – R,y′ = -x3 + 2x, y′ = 0,xy′y(− ∞;− 2 )+− 20x(2 – x2) = 0, x1 = 0; x2 = ± 2(−2 ;0-)0(0; 2 )0+20101maxminmaxx> 2-83№ 9611) у = 3х2 – 6х + 5 на [0; 3].
Область определения [0; 3],y′ = 6x – 6, y′ = 0, 6(x – 1) = 0, x = 1+–x1x0y′y2) y =(0; 1)1(1; 3)-0+532141 4 2 3 3 2x − x − x + 2 на [-2; 4].432Область определния [-2; 4],y′ = x3 – 2x2 – 3x, y′ = 0, x(x2 – 2x – 3) = 0,⎡x = 0⎢ x2 − 2 x − 3 = 0 ,⎣D = 1 + 3 = 4,x1 = 3; x2 = -1; x3 = 0.x-2(-2;-1)-10y′y1617300212min84(-1;0)+max(0;3)-30−374min(3;4)+4−23№ 9621) f(x) = x3 – 6x2 + 9 на [-2; 2], f(-2) = -8 – 6 ⋅ 4 + 9 = -23,f(2) = 8 – 6 ⋅ 4 + 9 = -7, f′(x) = 3x2 – 12x, f′(x) = 0, 3x(x – 4) = 0x1 = 0; x2 = 4, 0 ∈ [-2; 2]; 4 ∉ [-2; 2], f(0) = 9,max f (x ) = f (0 ) = 9 , min f (x ) = f (−2 ) = −23 ;[− 2;2 ][− 2;2 ]322) f(x) = x + 6x + 9x [-4; 0], f(-4) = -64 + 6 ⋅ 16 + 9 ⋅ (-4) = -4, f(0) = 0,f′(x) = 3x2 + 12x + 9 f′(x) = 0, 3(x2 + 4x + 3) = 0, D/4 = 4 – 3 = 1,x1 = -3; x2 = -1, -3 ∈ [-4; 0]; -1 ∈ [-4; 0], f(-1) = -1 + 6 – 9 = -4,f(-3) = -27 + 6 ⋅ 9 – 9 ⋅ 3 = 0,min f (x ) = f (− 4 ) = f (− 1) = −4 , max f (x ) = f (− 3) = f (0 ) = 0 ;[− 4;0 ][− 4;0 ]3) f(x) = x4 – 2x2 + 3 [-4; 3], f(-4) = 256 – 2 ⋅ 16 + 3 = 227,f(3) = 81 – 9 + 3 = 75, f′(x) = 4x3 – 4x, f′(x) = 0, 4x(x2 – 1) = 0,x1 = 0; x2,3 = ±1, -1 ∈ [-4; 3]; 1 ∈ [-4; 3]; 0 ∈ [-4; 3],f(-1) = f(1) = 1 – 2 + 3 = 2, f(0) = 0 + 0 + 3 = 3,min f (x ) = f (−1) = f (1) = 2 , max f (x ) = f (− 4 ) = 227 ;[− 4;3][− 4;3]4) f(x) = x4 – 8x2 + 5 [-3; 2], f(-3) = 81 – 8 ⋅ 9 + 5 = 14,f(2) = 16 – 8 ⋅ 4 + 5 = -11, f′(x) = 4x3 – 16x, f′(x) = 0, 4x(x2 – 4) = 0,x1 = 0; x2,3 = ±2, 0 ∈ [-3; 2]; 2 ∈ [-3; 2]; -2 ∈ [-3; 2],f(0) = 0 + 0 + 5 = 5, f(-2) = f(2) = -11,min f (x ) = f (−2 ) = f (2 ) = −11 , max f (x ) = f (− 3) = 14 .[−3;2 ][−3;2 ]№ 963Пусть сторона прямоугольника равна х, тогда другая сторона равна⎛p⎞⎜ − x⎟ .2⎝⎠2⎛p⎞Тогда диагональ вычислим как: l = f (x ) = x 2 + ⎜ − x ⎟ .2⎝⎠Исследуем эту функцию на min′′⎛⎞ ⎛⎞p2p2⎜⎟ ⎜⎟f ′( x) = ⎜ x 2 +− px + x 2 ⎟ = ⎜ 2 x 2 +− px ⎟ =44⎜⎟ ⎜⎟⎝⎠ ⎝⎠851 ⋅ (4 x − p)4x − p= 0 , 4х – p = 0,p2p22 2x +− px2 2x +− px44pp p pp, вторая сторонаx=− x = − = – значит, это квадрат со сто422 4 4роной р/4, ч.т.д.=2, f ′(х) = 0,2№ 964Пусть х – одна из равных сторон, значит другая тоже х и основание(р–2х), тогда высота равна:2p2⎛p⎞h = x2 − ⎜ − x ⎟ = x2 −+ px − x 2 =4⎝2⎠тогда площадь вычислим как:− p 2 + 4 px,2− p 2 + 4 px ( p − 2 x) − p 2 + 4 px1,S ( x) ⋅ ⋅ ( p − 2 x) ⋅=224⎛⎞1⎜( p − 2 x) ⋅ 4 p ⎟=S ′( x) = ⎜ − 2 − p 2 + 4 px +2 ⎟4⎜⎟−24pxp⎝⎠=18 4 px − p 2S ′(х) = 0,(+ 4 p2)− 16 px + 4 p 2 − 8 xp =4 p ( p − 3 x)2 4 px − p2=0, х=4 p 2 − 12 xp4 4 px − p 2,pp, х=– точка max.,332p p= .33Это равносторонний треугольник.основание p − 2 x = p −№ 965Пусть сторона квадрата равна х и высота h, тогда площадь поверхностиравна: р = 2 (х2 + хh + хh) = 600, х2 + 2хh = 300, h =300 − x 2.2xНайдем объем:V = f (x) = x ⋅ x ⋅ h = x2 ⋅x3300 − x 2= 150х –.2x2Найдем максимум функции V = f(x): f ′(х) = 150 –3 2x ,23 2x = 150, x2 = 100, x = ±10, но x > 0 (по условию),2300 − 100h== 10 ,значит это куб.20f ′(х) = 0,86№ 966′7⎛9⎞y′ = ⎜ x5 − x3 + 7 x + 12,5 ⎟ = 9 x 4 − 7 x 2 + 7 ,3⎝5⎠4у′ = 0,9х – 7х2 + 7 = 0; D = 49 – 252 < 0, значит 9х4 – 7х2 + 7 > 0 иу′ > 0 при всех х ∈ R, следовательно функция возрастает на всей областиопределения, ч.т.д.№ 967у′ = (х + 2х x )′ = 1 + 3 x , 1 + 3 x > 0, т.к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
