alimov-11-2003-gdz- (546277), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

y ' =xe −1x2 e −x; y '= 0 приxe −12 ex − x3− 0=e3;=0;e x − 1 = 0; e x = 1; e x = e0 ; x = 0 при переходе через точку 0 производнаяу’ меняет свой знак с отрицательного на положительный, значит, х=0 – точка минимума, y (0) = e0 − 0 = 1 .№ 921№ 922y′ = n(x + 1)n-1 ⋅ e-x – (x + 1)n ⋅ e-x = (x + 1)n-1 ⋅ e-x(n – x – 1),y′ = 0, (x + 1)n-1 ⋅ e-x(n – x – 1) = 0,–+–1–n- 1хn = 2k,x = -1 – точка минимума, х = n – 1 – точка максимумаn = 2k + 1, (x + 1)n-1 = (x + 1)2k+1-1 = (x + 1)2k ≥ 0,x = n – 1 – точка максимума.§ 51 Применение производнойк построению графиков функции№ 9231) область определения: -7 ≤ х ≤ 7,множество значений: -2 ≤ f(x) ≤ 2;2) y(x) = 0 при х1 = -6, х2 = -4, х3 = 0, х4 = 4, х5 = 6;3) функция возрастает при -5 < x < -2, 2 < x < 5,функция убывает при -7 < x < -5, -2 < x < 2, 5 < x < 7;544) f(x) > 0 при –7 < x < -6, -4 < x < 0, 4 < x < 6,f(x) < 0 при –6 < x < -4, 0 < x < 4, 6 < x < 7;5) xmax = -7, xmax = -2, xmax = 5, xmin = -5, xmin = 2.55№ 9241)2)№ 925№ 9261) у = х3 – 3х2 + 4;1.область определения – множество R;2.

y′ = 3x2 – 6x;3. y′ = 0, 3x(x – 2) = 0, x = 0, x = 2;4. y′ > 0, x < 0, x > 2 – возрастает; у′ < 0, 0 < x < 2 – убывает;5. х = 0 – точка max, т.к. при переходе через нее меняется знак y’ с «+» на «-».у(0) = 4, х = 2 – точка min, т.к. при переходе через нее меняется знак y’с «-» на «+».у(2) = 8 – 12 + 4 = 0.xx<000<x<22x<2F’(x)f(x)56+04–00+2) у = 2 + 3х – х31. область определения – множество R; 2.

y′ = 3 – 3x23. y′ = 0 3(1 – x2)=0; x2 – 1=0; x = 1, x = -14. y′ > 0; x2 < 1; -1 < x < 1, y′ > 0; x2 > 1; x < -1; x > 1;5. x = -1 – точка минимума f(-1) = 2 – 3 + 1 = 0,x = 1 – точка максимума f(1) = 2 + 3 – 1 = 4;xx < -1x = -1-1 < x < 11-F’(x)0+04f(x)x>1-03) у = -х3 + 4х2 – 4х;1. область определения – R; 2. y′ = -3x2 + 8x – 4;3. y′ = 0; 3x2 – 8x + 4 = 0 D = 16 – 12 = 4;4+24−2 2x1 == 2 , x2 == ;3334. y′ > 0; 3x2 – 8x + 4 < 0,y′ < 0; 3x2 – 8x + 4 > 0,xF’(x)f(x)x<23–−2<x<2,32< x < 2 x > 2.3232<x<232x>20+0-32270578 16 8322⎛2⎞+ − =−,- точка min f ⎜ ⎟ = −327 9 327⎝3⎠x = 2 – точка max f(2) = -8 + 16 – 8 = 0;4) y = x3 + 6x2 + 9x;1.

область определения – R; 2. y′ = 3x2 + 12x + 9;3. y′=0; x2+4x+3=0, D=4–3=1, x1 = -2 – 1 = -3, x2 = -2 + 1 = -1;4. y′>0; x2+4x+3>0, x>-3, x>-1, y′ < 0; x2 + 4x + 3 < 0, -3 < x < -1;xx < -3-3-3 < x < -1-1x > -15. x =+F’(x)0–00f(x)+-45. x = -3 – точка max; f(-3) = -27 + 54 – 27 = 0,x = -1 – точка min; f(-1) = -1 + 6 – 9 = -4.№ 9271) у = х4 + 8х2 – 161. область определения – R;2. y′ = -4x3 + 16x;3.

y′ = 0; -4x(x2 – 4) = 0, x = 0, x = 2, x = -2;4. y′ > 0; x(x – 2)(x + 2) < 0,+–+–-202x < -2, 0 < x < 2, y’ < 0 x(x – 2)(x + 2) > 0 -2 < x < 0 и x > 2.Xx < -2-2-2<x<000<x<22x>2f’(x)+0-0+0-f(x)0-1605. x = -2 – точка max; f(-2) = -16 + 32 – 16 = 0,x = 0 – точка min, f(0) = -16; x = 2 – точка max, f(2) = -16 + 32 – 16 = 0;2) y = x4 – 2x2 + 2581. область определения – R; 2. y′ = 4x2 – 4x;3. y′ = 0; 4x(x2 – 1) = 0, x = 0, x = ±1; 4. y′ > 0; x(x2 – 1) > 0+–+––101-1 < x < 0, x > 1, y′ < 0; x(x2 – 1) < 0 x < -1 0 < x < 1Xx < -1-1-1<x<000<x<1-f’(x)0+01f(x)-21x>10+1x = -1 – точка min, f(-1) = 1 – 2 + 2 = 1; x = 0 – точка max,f(0) = 0 + 0 + 2 = 2; x = 1 – точка min, f(1) = 1 – 2 + 2 = 111 6⋅x3) y = ⋅ x 4 −4241.

Область определения – R; 2. y ' = x 3 −1 5x ;4⎞⎛ 13. y′ = 0; x 3 ⎜1 − x 2 ⎟ = 0 , x = 0, x = ±2;4⎠⎝1 32x 4− x > 0 ,4. y’ > 0;4(+)+–-20–259x < -2, 0 < x < 2, y′ < 0;Xx < -2-2f’(x)+0()1 3x 4 − x 2 < 0 , -2 < x < 0, x > 2;4-2<x<000<x<22-05. х = -2 – точка max;0043f(x)+f (− 2 ) =x>2-43118 4⋅16 −⋅ 64 = 4 − = ,4243 3x = 0 - точка min; f(0) = 0 + 0 = 0, x = 2 – точка max;4) y = 6x4 – 4x6f (2) =4;31.

Область определения – R2. y(-x) = 6(-x)4 – 4(-x)6 = 6x4 – 4x6 = y(x) – четная, график симметриченотносительно 0у. Исследуем на (0; +∞)3. y′ = 24x3 – 24x54. y’ = 0, 24x3(1 – x2) = 0, x = 0, x = ±15.x0(0, 1)1(1; +∞)f’(x)0f(x)0+02x = 0 – точка min f(0) = 0x = ±1 – точка max f(1) = f(-1) = 6 – 4 = 2№ 9281) у = х3 – 3х2 + 21. Область определения [-1; 3] – по условию2. y′ = 3x2 – 6x3. y′ = 0; 3x2 – 6x = 0, 3x(x – 2) = 0, x = 0, x = 24.60-X-1(-1; 0)0(0; 2)2(2; 3)3y’++0-0++y-22-2maxmin22) y = x4 – 10x + 9 на [-3, 3];1.

Область определения [-3, 3];2. y′ = 4x3 – 20x;3. y′ = 4x(x2 – 5) = 0, x = 0, x = ± 5 ;x-3y’y0(-3; − 5 )− 5-0(−5 ;0+)0(0; 5 )5( 5 ;3)0-0+-169-16minmaxmin3061№ 929xmax = -3, 4; xmin = -6, 1, 6.№ 9301) у = 2 + 5х3 – 3х51. Область определения – R2. y′ = 15x2 – 15x4y′ = 0; 15x2(1 – x2) = 0, x = 0, x = ±1Xx<-1-1-1<x<00y’-0+0y0<x<11x>1+0-024minmax2) у = 3х5 – 5х31. Область определения – IR2. y′ = 15x4 – 15x2y′ = 0; 15x2(x2 – 1) = 0, x = 0, x = ±1Xx<-1-1-1<x<00y’y+02-0<x<11x>1-0+00max3) y = 4x5 – 5x41. Область определения – IR; 2. y' = 20x4 – 20x362-2miny′ = 0; 20x3(x – 1) = 0, x = 0, x = 1xx<000<x<8y’+0y-1x>10+0-1maxmin1 5 5 3x − x + 2x ;1061.

Область определения – R;4) y =x 4 5x 2−+ 2 , y′ = 0; x4 – 5x2 + 4 = 0, D = 25 – 16 = 9,225+35−3x2 == 4 , x = ±2, x 2 == 1 , x = ±1,221 5 5 3y (− x ) = −x + x − 2 x = − y (x ) - нечетная функция, симметричная106относительно 0. Продолжим рассуждение на (0; +∞)2. y ' =х0(0;1)1(1;2)2(2;+∞)y’0+0-0+y01915815maxmin63№ 9311;3x1. Область определения – R при х ≠ 012.

y (− x ) = −3x −= − y (x ) - функция нечетная, график симметричен3xотносительно 0. Рассмотрим его на (0; +∞)1;3. y ' = 3 −3x 214. y′ = 0; 9x2 – 1 = 0, x = ± ;311⎛⎛1⎞⎞x⎜ 0; ⎟⎜ ;+∞ ⎟333⎝⎝⎠⎠1) y = 3 x +y’y-0+2min4−x;x1. Область определения х ≠ 0;42. y (− x ) = − + x = − y (x ) - функция нечетна и ее график симметриченxотносительно 0.

Рассмотрим его на (0; +∞);4− 1 ; 4. y′ = 0 4 + x2 = 0 – не существует стационарных точек;3. y ' = −x245. пересечение с 0х: 0 = − x ; х2 = 4, х = ±2;x2) y =646. если х → ∞, то у → -х, если х → 0, то у → ∞;7. y > 0,3) y = x −4−x>0x14 − x2> 0 при 0 < x < 2;x;x1. Область определения x > 0; 2. y ' = 1 +3. y′ = 0;1+12x x12x x;= 0 2x x + 1 = 0 ,1— нет стационарных точек;21= 0 x 3 = 1 , х = 1;4. у = 0 при x −x5. если х → 0, то у → -∞, если х → ∞, то у → х;16. y > 0; x −>0x 3 > 1 , x > 1;xx3 = −№ 9321) у = хе-х1.

Область определения R; 2. y′ = e-x – xe-x = e-x(1 – x);65e-x(1 – x) = 0, e-x > 0, x = 1, y′ > 0; 1 – x > 0, x < 1;3. y′ = 0;Xx<11x>1y’+0-1eY2) y = xex1. Область определения R;2. y′ = ex + xex = ex(1 + x);3. y′ = 0; ex(1 + x) = 0, x = -1;Xx < -1-1x > -1y’-0+1eminY-x = -1 – точка минимума;23) y = e x ;1. Область определения R:222.

y ' = 2 xe x ; 3. y′ = 0; 2 xe x = 0 , x = 0;66Xx<00x>0y’-0+Y124) y = e− x1. Область определения – R:2. y ' = −2 x ⋅ e x22− 2x ⋅ ex = 0 ,3. y′ = 0;x=0Xx<00x>0y’+0-Y1max№ 933x2x−21. Область определения: х ≠ 21) y =2. y ' =2 x(x − 2 ) − x 2=2x 2 − 4x − x 2(x − 2)(x − 2 )x(x − 4 )= 0 , х = 0,3. y′ = 0 при( x − 2 )222=x 2 − 4x(x − 2 )2=x(x − 4 )( x − 2 )2х=4671)X(-∞;0)0(0;2)y’+0-Y2(2;4)4(4;+∞)-0+08maxmin− x 2 + 3x − 11= −x + 3 − ;xx1.

Область определения х ≠ 0;12. y ' = −1 + ;x2) y =− x2 +13. y′= 0;x2= 0 , x = ±1, y = 0; x2 – 3x + 1 = 0, D = 9 – 4 = 5,X3± 5;2(-∞;-1)-1(-1;0)y’-0+x=Y680(0;1)1(1;+∞)+0-51minmax3) y =2.=4 + x − 2x 2=4 + x − 2x 2; 1. Область определения х = 2;x 2 − 4x + 4(x − 2 )2(1 − 4 x )(x 2 − 4 x + 4)− 2(x − 2)(4 + x − 2 x 2 ) =y' =( x − 2 )4x − 4 x 2 − 2 + 8x − 8 − 2x + 4 x 2(x − 2 )33.

y′ = 0;7 x − 10(x − 2 )3=0=7 x − 10(x − 2)3;10;7x=4. y = 0; 4 + x – 2x2 = 0, 2x2 – x – 4 = 0, D = 1 + 32 = 33, x =X10 ⎞⎛⎜ − ∞; ⎟7⎠⎝107⎛ 10 ⎞⎜ ;2 ⎟⎝ 7 ⎠y’+0-Y21± 33;4(2;+∞)+338max№ 9341) Рассмотрим график функции у = х4 – 4х3 + 20. Его пересечение с у = 0даст количество действительных корней исходного уравнения1 Область определения R: 2. y′ = 4x3 – 12x2;3.

y′ = 0; 4x2(x – 3) = 0, x = 0, x = 3X0(0;3)3(-∞;0)(3;+∞)y’Y-020-0+-7min69Ответ: два корня.2) у = 8х3 – 3х4 – 7 = 01. Область определения R:2. y′ = 24x2 – 12x33. y′ = 0;12x2(2 – x) = 0,X0(-∞;0)y’+x = 0, x = 2(0;2)0Y+-72(2;+∞)0-9maxОтвет: два корня.№ 935y=x3 − 4;(x − 1)31) Область определения х ≠ 1;2) y ' =(3 x 2 (x − 1)3 − 3(x − 1)2 x 3 − 4(x − 1)(34− x3) y′ = 0,2(x − 1)463) = 0 , x = ±2;− 3 x 2 − 3 x 3 + 12(x − 1)4=(3 4 − x2(x − 1)44)X(-∞;-2)-2(-2;1)(3;2)2(2;+∞)y’-0++0-49minY35) y = 0,x = 4,36)x −4(x − 1)3=)4max3x = 4 , x = 0, y = 4;(x − 1)3 + 3x 2 − 3x − 3 = 1 + 3x 2 − 3x − 3 ,(x − 1)3(x − 1)3x → ∞ y → 1. Т.к. (0,9) > 0а справа растет от -∞70) = 3xy(1,1) < 0, то слева от х = 0 у → +∞,7) Рассмотрим график;44имеем один корень; c = два корня;c<994< c < 1 три корня; с = 1 два корня; 1 < c < 4 три корня;9с = 4 два корня; с > 4 один корень.§ 52 Наибольшее и наименьшее значения функции№ 936а) хэкстр = -3; 0б) хэкстр = 0в) хэкстр = -2; 2г) хэкстр = -2; 1унаиб = 2унаиб = 3унаиб = 3унаиб = 4унаим = -3унаим = -3унаим = -3унаим = -2№ 9371) у = 2х3 + 3х2 – 36хна [-4; 3];1.

у(-4) = 2 ⋅ (-64) + 3 ⋅ 16 – 36 ⋅ (-4) = 64,y(3) = 2 ⋅ 27 + 3 ⋅ 9 – 36 ⋅ 3 = -27;2. y′ = 6x2 + 6x – 36, y′ = 0; x2 + x – 6 = 0, D = 1 + 24 = 25,−1 + 5−1 − 5x1 == 2 , x2 == −3 ;223. 2 ∈ [-4; 3], -3 ∈ [-4; 3], y(-3) = 2 ⋅ (-27) + 3 ⋅ 9 – 36(-3) = 81,y(2) = 2 ⋅ 8 + 3 ⋅ 4 – 36 ⋅ 2 = -44,max y (x ) = y (− 3) = 81 , min y (x ) = y (2 ) = −44 ;[− 4;3][ −4;3]2) на [-2; 1];а) f(-2) = 2 ⋅(-8) + 3 ⋅ 4 – 36(-2) = 68, f(1) = 2 + 3 – 36 = -31;б) 2 ∉ [-2; 1], -3 ∉ [-2; 1], значит max f (x ) = 68 , min f (x ) = −31 .[− 2;1][− 2;1]№ 9381) f(x) = x4 – 8x2 + 5 на [-3; 2];1.

f(-3) = 81 – 8 ⋅ 9 + 5 = 14, f(2) = 16 – 8 ⋅ 4 + 5 = -11;2. f’(x) = 4x3 – 16x, f’(x) = 0; 4x(x2 – 4) = 0, x = 0, x = ±2;3. D ∈ [-3; 2], -2 ∈ [-3; 2], 2 ∈ [-3; 2], f(0) = 5, f(-2) = -11, f(2) = -11,71max f (−3) = 14 , min f (x ) = f (2 ) = f (−2) = −11 ;[−3;2][−3;2]1⎤1⎡2) f (x ) = x + , ⎢− 2;− ⎥ ;2⎦x⎣1. f (− 2 ) = −2 −1515⎛ 1⎞= − , f ⎜− ⎟ = − − 2 = − ;2222⎝ 2⎠12. f ' (x ) = 1 −x21⎤⎡3. − 1 ∈ ⎢− 2;− ⎥2⎦⎣, f’(x) = 0, x2 – 1 = 0,x = ±1;1⎤⎡1 ∉ ⎢− 2;− ⎥ , f(-1) = -1 – 1 = -2,2⎦⎣max f (x ) = f (− 1) = −2 ,1⎤⎡⎢ − 2; − 2 ⎥⎣⎦1⎛ 1⎞min f (x ) = f (− 2 ) = f ⎜ − ⎟ = −2 ;2⎝ 2⎠1⎤⎡⎢ − 2;− 2 ⎥⎣⎦⎡ 3π ⎤⎢π; 2 ⎥ ;⎦⎣3) f(x) = sinx + cosx3π3π⎛ 3π ⎞+ cos= −1 + 0 = −1 ;1. f(π) = sinπ + cosπ = 0 – 1 = -1, f ⎜ ⎟ = sin222⎝ ⎠2. f’(x) = cosx – sinx, f’(x) = 0; cosx – sinx = 0, cosx ≠ 0,π1 – tgx = 0, tgx = 1, x = + πn, n ∈ Z ;43.5π5π225π ⎡ 3π ⎞⎛ 5π ⎞+ cos=−−=− 2,∈ π; ⎟ , f ⎜ ⎟ = sin4 ⎢⎣ 2 ⎠4422⎝ 4 ⎠⎛ 3π ⎞max f (x ) = f (π ) = f ⎜ ⎟ = −1 ,⎝ 2 ⎠⎡ 3π ⎤⎢ π; 2 ⎥⎦⎣⎛ 5π ⎞min f (x ) = f ⎜ ⎟ = − 2 .⎝ 4 ⎠⎡ 3π ⎤⎢ π; 2 ⎥⎣⎦№ 9391) f (x ) = x 2 +16x2, х > 0;1.

Характеристики

Список файлов книги