alimov-11-2003-gdz- (546277), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

ед.)2)S ABCDx3= ∫ x dx =33442=3()1(4)3 − (3)3 = 1 (64 − 27 ) = 37 .3331033)ABCD – искомая трапецияS ABCD()x3= ∫ x + 1 dx =+x3−2121−281= +1+ + 2 = 6334)ABCD – искомая трапеция(2)S ABCD = ∫ x3 + 1 dx =02x416+ x = +2 = 6;4405)ABCD – искомая трапеция2π32ππ33S ABCD = ∫ sin xdx = − cos x π3 = − cos2π1 1π+ cos = + + = 1332 26)ABCD – искомая трапеция0S ABCD = ∫ cos xdx = sin x−104π60−π6⎛ 1⎞ 1⎛ π⎞= 0 − sin ⎜ − ⎟ = −⎜ − ⎟ = .⎝ 6⎠⎝ 2⎠ 2№ 10011) у = 4 – х2ABC – искомая трапецияа) 4 – х2 = 0, х = ± 2, a = –2, b = 2б) S ABC(2)x3= ∫ 4 − x dx = 4 x −3−222−288= 8− +8− =3316 322= 16 −== 10 ;3332) у = 1 – х2ABC – искомая трапецияа) 1 – х2 = 0 х = ± 1 a = –11()б) S ABC = ∫ 1 − x 2 dx = x −−13) у = – х2 + 4x – 3x33b=11−1ABC – искомая трапецияа) – х2 + 4x – 3 = 0 х2 – 4x + 3 = 0x2 = 1 a = 1b=3x1 = 31211= 1− +1− = 2 − = 1 .3333D/4 = 4 – 3 = 11053(3)б) S ABC = ∫ − x 2 + 4 x − 3 dx = −1x3 4 x 2+− 3 x = −9 + 18 − 9 +32111+ −2+3 =133№ 10021) f(x) = 3 x , a = 1,b=8ABCD – искомая трапецияS ABCD3x3 x= ∫ x dx =418832) f(x) = x a = 4=13(16 − 1) = 45 = 11 1444b=9ABCD – искомая трапецияS ABCD№ 100392x x= ∫ x dx =349=42(27 − 8) = 38 = 12 2 .3331) b = 2 f(x) = 5x – x2, 2 ≤ х ≤ 5106а) 5x – x2 = 0, x(5 – x) = 0,б) ABC – искомая трапеция5()в) S ABC = ∫ 5 x − x 2 dx =2x = 0,55 x 2 x3−23=2x=58125 125−− 10 + =323125 16 60 271=+ −== 13666222) b = 3 , f(x) = x2 + 2xx = 0,x = –2а) x2 + 2x = 0,б) OAB – искомая трапеция3()в) S OAB = ∫ x 2 + 2 x dx =0x3+ x233= 9 + 9 = 18 .03) b = 1,f(x) = ex – 1а) ex – 1 = 0, ex = e0, x = 0б) OAB – искомая трапеция1()1в) SOAB = ∫ e x − 1 dx = e x − x = e − 1 − 1 = e − 20014) b = 2 f(x) = 1 –x1а) 1 – = 0x=0xб) ABC – искомая трапецияв)2⎛ 1⎞2S ABC = ∫ ⎜1 − ⎟dx = x − ln x 1 =x⎠1⎝= 2 − ln 2 − 1 + 0 = 1 − ln 2107§ 57 Вычисление интегралов№ 100411) ∫ xdx =0x221022−1−13) ∫ 3 x 2 dx = x3315) ∫x22dx = −47) ∫ x dx =1918) ∫x4311x3− 0 = ; 2) ∫ x 2 dx =3220=1x=−22x x33−2−2=dx = 2 x= 9−4 = 5 ;2 11 1 11dx = −+ = ; 6) ∫33 2 62x 21 x419= 9−0 = 9 ;03= 8 + 1 = 9 ; 4) ∫ 2 xdx = x 233211 1 3=− + = ;8 2 82(8 − 1) = 14 = 4 2 ;333= 2(3 − 2 ) = 2 .4№ 1005ln 2ln 21edx = ln x 1 = ln e − ln 1 = 1 ; 2) ∫ e x dx = e x= eln 2 − e0 = 2 − 1 = 1 ;001 xe1) ∫2π3) ∫ cos xdx = sin x − π = sin 2π − sin (− π ) = 0 − 0 = 0 ;2π−ππ4) ∫ sin xdx = − cos x − 2 π = − cos π + cos(− 2π ) = 1 + 1 = 2 ;π− 2πππ5) ∫ sin 2 xdx = −−2π11cos 2 x= − (1 + 1) = −1 ;22−2π00116) ∫ cos 3 xdx = + sin 3x= (0 − 0 ) = 0 .33− 3π−3π№ 100622−3−1−31) ∫ (2 x − 3)dx = x 2 − 3 x−12) ∫ (5 − 4 x )dx = 5 x − 2 x 2−22()−11()4) ∫ x 2 + 1 dx =−1108x3+x3−223) ∫ 1 − 3x 2 dx = x − x3−1= −5 − 2 + 10 + 8 = 11 ;= 2 − 8 + 1 − 1 = −6 ;1=−1= 4 − 6 − 9 − 9 = −20 ;211+1+ +1 = 2 ;3332() (5) ∫ 3 x 2 − 4 x + 5 dx = x3 − 2 x 2 + 5 x0)20= 8 − 8 + 10 = 10 .№ 1007⎞⎛⎜ x 2 3x x ⎟⎟⎜1) ∫ x − 3 x dx =−3 ⎟⎜ 20⎟⎜2 ⎠⎝4(4)⎞⎛ x2=⎜− 2x x ⎟⎟⎜ 2⎠⎝4= 8 − 16 = −8 ;009⎛93 ⎞⎟dx = x 2 − 6 x = 81 − 18 − 1 + 6 = 68 ;2) ∫ ⎜ 2 x −⎜⎟1x⎠1⎝(2)31 3x1e= e 6 − 1 ; 4) ∫ 2e 2 x dx = e 2 x33100(Опечатка в ответе задачника).23) ∫ e 3 x dx =№ 1008(11−2−2)131= e6 − e2 .()1) ∫ x(x + 3)(2 x − 1)dx = ∫ x 2 + 3 x (2 x − 1)dx = ∫ 2 x3 + 5 x 2 − 3x dx ==1 4 5 x3 3 x 2−x +232(01)401 5 3+ − −8++ 6 = −3 + 15 = 12 ;32 3 2=−20−2()2) ∫ (x + 1) x 2 − 2 dx = ∫ x3 + x 2 − 2 x − 2 dx =−1−1x 4 x30+− x 2 − 2 x −1 =431 1111= − + + 1 − 2 = −1 +=− ;4 312122222⎛1⎞1 ⎞x31⎛3) ∫ ⎜ x + ⎟ dx = ∫ ⎜⎜ x 2 + 2 + 2 ⎟⎟ dx = + 2 x −=x3x1x⎝⎠⎝⎠115111 18= + 4 − − − 2 +1 = + 3 = 4 ;662 33−1−1−1 ⎛ 44 ⎛ 2⎞8 ⎞⎛ 4 4 ⎞⎜1 − ⎟dx = ∫ ⎜⎜ 2 − 3 ⎟⎟dx = ⎜⎜ − + 2 ⎟⎟ = 4 + 4 − 2 − 1 = 5 .2x⎠x ⎠⎝ x x ⎠ −2−2 x ⎝−2 ⎝ x4) ∫№ 1009⎛⎜ 3 23 2⎞232⎟dx =⎜ 5 x x − 2 xdx = ∫ ⎜ 5 x −⎜3 ⎟⎜ 52xx⎠1⎝⎜3⎝ 32 5x − 21) ∫132⎛3⎛ 3⎞= ⎜ 3x x 2 − 3 x 2 ⎟⎝⎠2⎞⎟⎟⎟⎟⎠2=1= 63 4 − 33 4 − 3 + 3 = 33 4 ;1109⎛⎞⎜⎟⎞13xxx⎟⎟dx =⎜⎟dx = ∫ ⎜ 3 x −−⎜⎜ 31 ⎟x ⎟⎠x ⎟⎠1⎝⎜⎟2 ⎠⎝ 22) ∫ ⎜⎜1⎝= 2x x − 2 x33⎛3 ⎛ 3x − 1 ⎞3=1= 6 x −2 3 −2+2 = 4 3 ;1773) ∫24x+2dx =4⋅ x + 212=8 x+272= 24 − 16 = 8 .2№ 10103 ln(2 x − 1)3dx =212−x121) ∫44 ln (3 x + 2 )dx =323x+012) ∫2=11=03 ln 33 ln 3−0 =;224 ln 5 4 ln 2 4 5−= ln ;333 2π2π⎞π⎞1⎛⎛3) ∫ sin ⎜ 2 x + ⎟ dx = − cos⎜ 2 x + ⎟323⎠⎝⎠⎝0=−π2=01⎛ ⎛1⎛π 1π⎞π⎞π⎞⎜⎜ cos⎜ π + ⎟ − cos ⎟⎟ = − ⎜ − 2 cos ⎟ = cos = .2⎝ ⎝3⎠3⎠2⎝3⎠3 2№ 1011ππππ1 − cos 2 x11πdx = x − sin 2 x − π = − 0 + + 0 = π .22422−π1) ∫ sin 2 xdx = ∫−ππ2π212) ∫ sin x cos xdx = ∫0π40()2πsin 2 xdx = −11 1 1cos2 x 02 = + = .44 4 2π4π1113) ∫ cos x − sin x dx = ∫ cos 2 xdx = sin 2 x 04 = − 0 = .22200π22()π()π4.

∫ sin 4 x + cos 4 x dx = ∫ 1 − 2 sin 2 x cos 2 x dx = ∫ 1 −0π 4 − 1 + cos 4 x=∫01104π03sin 4x⎛ 3 cos 4x ⎞= ∫⎜ +⎟dx = x +44416⎠0⎝0π=01sin 2 2 x =23π3π;+0−0−0 =4433005) ∫ x2 x + 1dx = ∫ x5 + x4 dx =()(2 5 4 5 4 3 2 5 4x + x x + x 0= 3 + 3334x 4 − 4x + 51 ⎞x2⎛dx = ∫ ⎜ x − 2 +− 2 x + ln (x − 2 )⎟dx =x−2x−2⎠233⎝39= 8 − 8 + ln 2 − + 6 − ln1 = ln 2 + .2246) ∫43)32= 3888=№ 1012b∫ (b − 4 x )dx = bx − 2 x21b1= b 2 − 2b 2 − b + 2 == −b 2 − b + 2; − b 2 − b + 2 ≥ 6 − 5bb2 – 4b + 4 ≤ 0(b – 2)2 ≤ 0, это возможно только при b = 2.§ 58 Вычисление площадей с помощью интегралов№ 10131()x31121+ 4 x −1 = + 4 + + 4 = 8 ;3333(x + 1 dx =)2221x x + x 0 = +1 = 1 ;333а) S = ∫ x 2 + 4 dx =−11б) S = ∫в) S =0424∫ x dx = 2 ln x 1 = 2 ln 4 − 0 = 2 ln 4 .1№ 10141) АВС – искомая фигура,01S ABC = S ABO + SOBC = ∫ (x + 1)2 dx + ∫ (x − 1)dx =−10⎛x⎞0x= ⎜ + x2 + x ⎟ + x −⎜ 3⎟ −12⎝⎠321=011 5−1+1+1− = ;32 61112) АВС – искомая фигура12−21()S ABC = S ABD + S DBC = ∫ (x + 2 )dx + ∫ 4 − x 2 dx =−x332x21+ 2 x −2 + 4 x −218 ⎛1⎞ 516 11 371+ 2 − (2 − 4 ) + 8 − − ⎜ 4 − ⎟ = + 2 + − ==6 .23 ⎝3⎠ 23 366=13) ОАВ – искомая фигура4х – х2 = 4 – х,х2 – 5х + 4 = 0,1()х=5 ± 25 − 162х1 = 4, х2 = 14SOAB = SOAC + SCAB = ∫ 4 x − x 2 dx + ∫ (4 − x )dx == 2 x2 −3x31+ 4x −04) 3х2 = 1,5х + 4,5,2x204= 2−11111+ 16 − 8 − 4 + = 6 ;3262х2 – х – 3 = 031 ± 1 + 24, x1 = , х2 = –142АВО – искомая фигураx=−1−1 303x2 99⎞⎛+ x +S ABO = S ABC + SCBO = ∫ ⎜ x + ⎟dx + ∫ 3x 2dx =42 −32⎠−3 ⎝ 2−1+ x31120−1=3 9 27 27− −++ 1 = −6 + 9 + 1 = 44 2 44№ 10151) x = (x − 2 )2 , х = 1ОАВ – искомая фигураSOAB = SOAC + SCAB=(x − 2)32= ∫ x dx + ∫ (x − 2) dx = x x +3301012122=121+0+ =1 ;332) ОАВ – искомая фигура; х3 = 2 х – х2х1=0, х2 + х – 2 = 0, х2 = –2; х3 = 1SOAB = SOAC + SCAB=()x4= ∫ x dx + ∫ 2 x − x dx =40113221x3+x −3220=118125 11+ 4 − −1 + = 3 −=43312 12113№ 10161) АВO – искомая фигура; х2 + 3х = 0, х1 = 0; х2 = –3S ABO = S ACO()x3 3 x 2= ∫ − x − 3 x dx = − −32−3022) х2 – 4х + 3 = 0;3D/4 = 4 – 3 = 1,()SCAB = SCDB = ∫ − x 2 + 4 x − 3 dx = −10= −9 +−3х = 3,27= 4,52х=13x3+ 2 x2 − 3x 1 =311= −9 + 18 − 9 + − 2 + 3 = 133№ 10171) у = х2 + 1; у = 3 – хх2 + 1 = 3 – х,х2 + х – 2 = 0,x=−1 ± 1+ 8,2х1 = 1,х2 = –2ВСМ – искомая фигура(11−2−2)S BCM = S ABCD − S ABMCD = ∫ (3 − x )dx − ∫ x 2 + 1 dx = 3 x −1⎛x⎞1181− ⎜ + x⎟ = 3 − + 6 + 2 − −1− − 2 = 4⎜ 3⎟2332⎝⎠ −23114x221−−22) у = (х + 2)2; у = х + 2АВМ – искомая фигураx 2 + 4 x + 4 = x + 2, x 2 + 3 x + 2 = 0x1 = −2;x2 = −1−1−1−2−2S AMB = S ABC − S AMC = ∫ (x + 2 )dx − ∫ (x + 2 )2 dx =x2−1+ 2 x −2 −2−1⎛ x3⎞1817 11− ⎜ + 2x2 + 4x ⎟ = − 2 − 2 + 4 + − 2 + 4 − + 8 − 8 = + 2 − =⎜ 3⎟23323 6⎝⎠ −23) у = x ; у = хОМА – искомая фигураx = x, x > 0x − x = 0, x1 = 0;2x2 = 11100SOMA = SOMAC − SOAC = ∫ x dx − ∫ xdx =12x2x x −0321=02 1 1− =3 2 6115№ 10181) у = 6х2; у = (х – 3) (х – 4);у=06х2 = (х – 3) (х – 4),6х2 = х2 – 7х + 125х2 + 7х – 12 = 0; D = 49 + 240 = 172х1 = 1, х2 = –2,4DАВ – искомая фигура1301()1S AOB = S AOC + SCAB = ∫ 6 x 2dx + ∫ x 2 − 7 x + 12 dx = 2 x3 +03⎛ x3 7 x 2⎞631 712+⎜ −+ 12 x ⎟ = 2 + 9 −+ 36 − + − 12 = 35 − 28 − = 6⎜ 3⎟223233⎝⎠12) у = 4 – х2, у = (х – 2)2, у = 0а) 4 − x 2 = x 2 − 4 x + 4;2 x 2 − 4 x = 0, x1 = 0, x2 = 2б) 4 − x 2 = 0; x1 = −2, x2 = 2АВMC – искомая фигура1160()2S ABMC = S ABO + SOBMC = ∫ 4 − x 2 dx + ∫ (x − 2 )2 dx = 4 x −−20x330+−22⎛ x3⎞8 8+ ⎜ − 2 x2 + 4 x ⎟ = 0 + 8 − + − 8 + 8 − 0 = 8⎜ 3⎟3 3⎝⎠0№ 10191) Найдем уравнение прямой: общий вид: у = kx + b, подставим точки:2π2⎛π ⎞(0; 0);0=k⋅0+bb = 0, ⎜ ; 1⎟ ; 1 = k ⋅ , k = , y = x ,π2π⎝2 ⎠SOAD = SOAB + S BADπ22πx2= ∫ xdx + ∫ sin xdx =ππ0π2=π2π− cos x π =02ππ+1+ 0 = +1442) OAB – искомая фигураπ4π20π4ππSOAB = SOAD + S DAB = ∫ sin xdx + ∫ cos xdx = − cos x 04 + sin x π2 ==−422+1+ −= 2− 222117№ 10201) у = 6х – х2;у=х+46х – х2 = х + 4,х5 – 5х + 4 = 0,ВMD – искомая площадь4(х1 = 4,)х2 = 14S BMD = SCMF − SCBDF = ∫ 6 x − x 2 dx − ∫ (x + 4)dx =14()4(1)= ∫ 6 x − x 2 − x − 4 dx = ∫ − x 2 + 5 x − 4 dx = −11x3 5 x 24+− 4x 1 =32641 56311= − + 40 − 16 + − + 4 = 28 −−2 = 433 23222) у = 4 – х; у = х + 2х2 + х – 2 = 0,4 – х2 = х + 2,1()х1 = –2,(11−2−2х2 = 1)S ABC = S ABCD − S ACD = ∫ 4 − x2 dx − ∫ (x + 2)dx = ∫ − x2 − x + 2 dx =−2=−118x3 x 21 18111−+ 2x −2 = − − + 2 − + 2 + 4 = 8 − 3 − = 4323 2322№ 10211) у = 2 – х2 ; у = –х2 – х2 = –х,х = 2,х = –1х2 – х – 2 = 0,BCD – искомая фигураПеренесем ее на вектор (0; 2), тогда функции примут вид:у = 4 – х2 и у = 2 – х2()2S B1C1D1 = S BCD = S AB1C1D1 − S AB1D1 = ∫ 4 − x 2 dx − ∫ (2 − x )dx =−1(−1)x3 x 281 12= ∫ − x 2 + x + 2 dx = − ++ 2 x −1 = − + 2 + 4 − − + 2 =3233 2−12= 8−3−11=4222) у = 1; х = 0; у = sin х;0≤ x≤π2ABO – искомая фигура119π2π2π2000πS ABO = SOABC − SOBC = ∫1dx − ∫ sin xdx = ∫ (1 − sin x )dx = x + cosx 02 =ππ= + 0 − 0 −1 = −122№ 10221) Найдем прямую у = kx + b(0; –3); –3 = k ⋅ 0 + b, b = –3; (1; 0); 0 = k – 3, k =–3, y = 3x – 3х2 – х = 0,х1 = 0,х2 = 1–х2 + 4х – 3 = 3х – 3,ABС – искомая фигураРассмотрим симметричную ей фигуру A1B1С1.1100()S A1B1C = S ABC = SOA1C1 − SOA1B1C = ∫ (− 3 x + 3)dx − ∫ x 2 − 4 x + 3 dx =1()= ∫ − x 2 + x dx = −0x3 x 2+321=−01 11+ +0 =3 262) у = –х2, у = –2, –х2 = –2, х2 = 2, х = ± 2AОB – искомая фигураРассмотрим симметричную ей фигуру A1ОB1.22− 2− 2S AOB = S A1OB1 = SOA1BD − SCA1OB1D = ∫ 2dx − ∫ x 2dx =120()x3= ∫ 2 − x dx = 2 x −3− 2222=2 2−− 22 2 8 22 2+2 2 −=.3333) у = 1 – х2 ; у = х2 – 1, 1 – х2 = х2 – 1, 2х2 = 2, х = ± 1ABСD – искомая фигура, SABC = SADCS ABCD = S ABC + S ADC = 2 S ABC(1)⎛x3 ⎞= 2 ∫ 1 − x dx = 2⎜ x − ⎟ =⎜3 ⎟⎠−1⎝−1121⎞2⎛ 1= 2⎜1 − + 1 − ⎟ = 23⎠3⎝ 34) у = х3; у = 1; x = –2ABCO — искомая фигура,SABCО = SDBCO + SADO,; SDBCO = SDBKO + SKOC; SDBKO = 2 ⋅ 1;1S KOC = SOKCM − SOCM = 1 ⋅ 1 − ∫ x3dx = 1 −0x441= 1−01 3=4 4Теперь рассмотрим фигуру, симметричную ADO – A1DO:S ADO = S A1DOx4= ∫ − x dx = −4−2003= 0+−216=4433SABCО = 2 + + 4 = 6 .44121№ 10231) у = х2 + 10;(0; 1).Уравнение касательной у = kx + b(0; 1);1 = k ⋅ 0 + b, b = 1, у = kх + 1у = f (х0) + k (x – x0), где х0 – точка касанияу = x 02 + 10 + kx – kх0, значит: kx + 1 = x 02 + 10 + kx – kх0x 02 – kх0 + 9 = 0, но k = f ′(х0) = 2х0x 02 – 2 x 02 + 9 = 09 – x 02 = 0х0 = ± 3Т.е.

k = ± 6 y = 6x + 1y = –6x + 1ABCD – искомая фигура.()3⎛3⎞S ABCD = 2S ACD = 2(SOCDN − SOADN ) = 2⎜⎜ ∫ x 2 + 10 dx − ∫ (6 x + 1)dx ⎟⎟ =0⎝0⎠()3⎛ x33⎞= 2 ∫ x 2 − 6 x + 9 dx = 2⎜− 3 x 2 + 9 x 0 ⎟ = 2(9 − 27 + 27 ) = 18 .⎟⎜ 30⎠⎝1221;х = 1,и касат. х0 = 2x1 11111у(х0) = , у′ = − 2 , у′(х0) = − , y = − (x − 2 ) , y = − x + 1 ;2 4424xАВС – искомая фигура2122 1 1⎛ 1⎞⎛⎞S ABC = SMBCD − SMACD = ∫ dx − ∫ ⎜ − x + 1⎟dx = ∫ ⎜ + x − 1⎟dx =44xx⎝⎠⎝⎠1112) у == ln x +x253112− x 1 = ln 2 + − 2 − 0 − + 1 = ln 2 − 1 + = ln 2 − .88828№ 1024у = х2 +1; у = 0; х = 0; х = 11) Уравнение касательной: у = f (х0) – f ′(х0) (х – х0), у = у0 + 2х0 (х – х0),у = 2х0 ⋅ х + x 02 – 2 x 02 + 1, у = 2х0 ⋅ х – x 02 + 1;2) OMND – искомая трапеция1()1SOMND = ∫ 2 x0 x − x02 + 1 dx = x0 x 2 − x02 x + x 0 = x0 − x02 + 1 − 00Найдем наибольшее значение функции на (0; 1).f (х) = –х2 + х + 1, f ′(х) = –2х + 1, f ′(х) = 0, 2х – 1 = 0,х=1,22х=111⎛1⎞– точка max., х0 = , у0 = ⎜ ⎟ + 1 = 1 .2422⎝ ⎠⎛1 5⎞Ответ: ⎜ ; ⎟ .⎝2 4⎠123§ 59 Применение производной и интегралак решению практических задач№ 1025v(t) = s′(t),s – первообразная v(t)(4)1) s (t ) = ∫ 3t 2 + 1 dt = t 3 + t0(40)2t 3 t 2+2) s (t ) = ∫ 2t + t dt =3213№ 10261) v(t) = 0,24t – t2 = 0,(= 64 + 4 = 68 ;3= 18 +1t = 0,)9 2 121− − = 18 + 4 − = 21 .2 3 233t = 4;t32) s (t ) = ∫ v(t )dt = ∫ 4t − t dt = 2t −3t10t24242= 32 −0642− 0 = 10 .33№ 10271) у = 3х – 2х2 + С; 2) у = 2х3 – 4х2 + х + С; 3) y =3 2xe +C ;214) y = 4 ⋅ ⋅ sin 2 x + C = 2 sin 2 x + C .25) у = 3 ⋅ (–cos х) + С = –3cos х + С; 6) у = sin x + cos x + C.№ 10281)2)3)4)5)6)у = –cos x + C; –cos 0 + C = 0, C = 1, y = –cos x + 1у = 2sin x + C; 2sin π + C = 1,C = 1, y = 2sin x + 1у = x3 + 2x2 – x + C; 1 + 2 – 1 + C = –2, C = –4; y = x3 + 2x2 – x – 4у = 2x + x2 – x3 + C; –2 + 1 + 1 + C = 2, C = 2; у = 2x + x2 – x3 + 2C = 1 – e,y = ex + 1 – eу = ex + C; e + C = 1,у = –e–x + C; –1 + C = 2C=3y = –e–x + 3.№ 1029y′ = –С1ωsin ωx + С2ωcos ωx; y′′ = –С1ω2cos ωx – С2ω2sin ωx;y′′ + ω2у = –С1ω2cos ωx – С2ω2sin ωx + ω2 С1cos ωx + ω2 С2sin ωx = 0;0 = 0 – верно при любых С1 и С2.№ 1030Скорость распада m′(t) =0,001 г=0,000110 лm′(t) = k m (t) решение m(t) = m0e–ktВ нашем случае m′(t)=0,0001 и m0=1, t=10, m(t) = 0,999, 0,999=1⋅ e–10kln 0,999e= 0,999,–10k = ln 0,999, k = −, 0,5 = 1 ⋅ e10ln 0,99910 ln 0,5t=, t ≈ 6928.⋅ t = ln 0,5 ,ln 0,99910–10k124ln 0,999⋅t10,№ 10312F== 2 , F = 200xx 0,01F = kx; k =0,03A = ∫ 200 xdx = 100 x 200,030= 0,09 − 0 = 0,09 Дж.№ 10323F== 300 ,x 0,01F = kx, k =0,08A = ∫ 300 xdx = 150 x 200,080F = 300x= 0,96 Дж.Упражнения к главе Х№ 10331) f (x) = cos x, тогда F(x) = sin x + C(0; –2): –2 = sin 0 + C,C = –2; F(x) = sin x – 22) f (x) = sin x, тогда F(x) = –cos x + C(–π; 0): 0 = –cos (–π) + C, C = –1; F(x) = –cos x – 1.13) f (x) =, тогда F(x) = 2 x + Cx(4; 5):5=2 4 +C,C = 1; F(x) = 2 x + 14) f (x) = ex, тогда F(x) = ex + C(0; 2):2 = 1 + C,C = 1; F(x) = ex + 1.5) f (x) = 3x2 + 1, тогда F(x) = x3 + x + C(1; –2): –2 = 1 + 1 + C,C = –4; F(x) = x3 + x – 46) f (x) = 2 – 2x, тогда F(x) = 2x – x2 + C(2; 3):3 = 4 – 4 + C,C = 3; F(x) = 2x – x2 + 3.№ 1034221) ∫ 2dx = 2 x −1 = 4 + 2 = 6 ; 2) ∫ (3 − x )dx = 3 x −2−1−2(x22)2= 6 − 2 + 6 + 2 = 12 ;−23x321− x2 = 9 − 9 − + 1 = ;3) ∫ x − 2 x dx =13331312()4) ∫ 2 x − 3x 2 dx = x 2 − x 3−1835) ∫ x dx =12dx1x36) ∫=−1−1= 1 − 1 − 1 − 1 = −2 ;1453 3 8 3x x = (16 − 1) == 11 ;1444412x 281ππ2π1 1 3⎛ π⎞= − + = ; 7) ∫ cos xdx = sinx 2π = sin − sin⎜ − ⎟ = 2 .28 2 8−⎝ 2⎠π−22125№ 10351) у = x ; х = 1; х = 4; у = 0АВСD – искомая фигура4422142S ABCD = ∫ x dx = x x = (8 − 1) ==41333312) у = cos x х = 0π3х=π3у = 0; OАВС – искомая фигура;πSOABC = ∫ cos xdx = sin x 03 = sin0π3− sin 0 =;323) у = x2;у = 2 – х, х2 = 2 – х,ЕОА – искомая фигурах2 + х – 2 = 0,х1 = –2, х2 = 1,(111−2−2−2)S EOA = S DEAC − S EDOAC = ∫ (2 − x )dx − ∫ x 2dx = ∫ − x 2 − x + 2 dx ==−126x3 x 21181 11−+ 2x −2 = − − + 2 − + 2 + 4 = 8 − 3 − = 42233 2324) у = 2x2;2х2 = 0,5х + 1,5,у = 0,5х + 1,5;4х2 – х – 3 = 0;х2 = −D = 1 + 48 = 49, х1 = 13,4АОВ – искомая фигура,1 x13⎞⎛S AOB = S DABC − S DAOBC = ∫ ⎜ + ⎟dx − ∫ 2 x 2dx =3⎝ 2 2⎠3−−4312x 3⎞x2x3x⎛= ∫ ⎜ − 2 x 2 + + ⎟dx = −++22342⎠3⎝−4413−4=−2 1 3+ + −3 4 293 ⋅ 3 ⎞ 13 45151⎛ 2 ⋅ 27−⎜+−+=1.⎟=192⎝ 3 ⋅ 64 16 ⋅ 4 2 ⋅ 4 ⎠ 12 64№ 10361()1) ∫ 5 x 4 − 8 x 3 dx = x 5 − 2 x 402()10= 1 − 2 = −1 ;23 4 5 23 5x − x= 24 − 10 − + = 15222 2−1−1(опечатка в ответе задачника)44⎛47⎞7 ⎞⎟⎛3) ∫ x ⎜ 3 − ⎟dx = ∫ ⎜ 3 x −dx = 2 x x − 14 x =⎜⎟1x⎝⎠x⎠11⎝= 16 − 28 − 2 + 14 = 0 ;8⎛8816 ⎞⎟⎛ 4⎞dx = 3 x3 x − 483 x =4) ∫ 43 x ⎜1 − ⎟dx = ∫ ⎜ 43 x −⎜⎟3 21⎝ x⎠11⎝x ⎠= 48 − 96 − 3 + 48 = −3 ;2) ∫ 6 x3 − 5 x dx =35) ∫ x + 1dx =0632(x + 1) x + 1 = 2 ⋅ 8 = 16 = 5 1 ;0333326) ∫ 2 x − 3dx =326(2 x − 3) ⋅ 1 =223(2 x − 3)36= 9−321=8 .332127№ 1037π41π1 ⎛π⎞π⎞ 4 1 ⎛ππ⎞⎛1) ∫ cos⎜ x + ⎟dx = sin ⎜ x + ⎟ = ⎜ sin − sin ⎟ =2424224⎠⎝⎠⎝⎠⎝00=1 ⎛⎜2 ⎞⎟ 2 − 2;1−=2 ⎜⎝2 ⎟⎠4π31ππ⎞π⎞ 311⎛⎛⎛⎛ π ⎞⎞2) ∫ sin ⎜ x − ⎟dx = − cos⎜ x − ⎟ = − ⎜⎜ cos 0 − cos⎜ − ⎟ ⎟⎟ =33333⎝⎠⎝⎠0⎝ 3 ⎠⎠⎝011⎛ 1⎞= − ⎜1 − ⎟ = − ;63⎝ 2⎠33) ∫ 3 sin (3 x − 6 )dx = −1 ⋅ cos(3x − 6 ) 1 = − cos(+ 3) + cos(− 3) =31= − cos 3 + cos 3 = 0 ;34) ∫ 8 cos(4 x − 12 )dx = 2 sin (4 x − 12 ) 0 = 2(sin 0 − sin (− 12 )) =30= 2(0 + sin 12) = 2 sin 12 .№ 10381; у = 4х; х = 1;xОАВС – искомая фигура1) у =у = 0,121=4х, 4х2 = 1,x1111SOABC = SOAD + S DABC = ∫ 4 xdx + ∫ dx = 2 x 2 2 + ln x 1 =01x02=12811 11+ ln1 ⋅ ln = − ln ;22 222х=±1.22) у =121у = х; х = 2; у = 0;;x2xОАВС – искомая фигура12101xSOABC = SOAD + S DABC = ∫ xdx + ∫x22dx =2у = х + 1, х2 + 1 = х + 1,3) у = х2 + 1;АМВ – искомая фигура1100= х, х3 = 1,(1х = 1.2−011 1= − +1 = 1.x1 2 2х2 – х = 0,)1(х1 = 0,х2 = 1)S AMB = SOABC − SOAMBC = ∫ (x + 1)dx − ∫ x2 + 1 dx = ∫ x + 1 − x2 − 1 dx =1()= ∫ x − x 2 dx =0x 2 x3−231=001 1 1− = ;2 3 64) у = х2 + 2;у = 2х + 2х2 – 2х = 0,х2 + 2 = 2х + 2,АМВ – искомая фигурах1 = 0,х2 = 22200()S AMB = SOABC − SOAMBC = ∫ (2 x + 2 )dx − ∫ x 2 + 2 dx =2()= ∫ 2 x − x 2 dx = x 2 −0x332= 4−081=1 .33129№ 10391) у = х2 – 6х + 9;2у = х2 + 4х + 4;2х – 6х + 9 = х + 4х + 4,у=01х=210х = 5,АВС – искомая фигура123S ABC = S ABD + S DBC = ∫ (x + 2)2 dx + ∫ (x − 3)2 dx =−2+12x31 181 3 93− 3x 2 + 9 x 1 =+ + 2 + − 8 + 8 + 9 − 27 + 27 −+ − =324 2324 4 223 8415= 11 − 4 + + = 7 += 104 312122) у = х2 + 1;у = 3 – х2222х + 1 = 3 – х , 2х = 2,х2 = 1,BCDN – искомая фигура1301x3+ 2 x 2 + 4 x −22 +3х=±11()1()S BCDN = S ABCDM − S ABNDM = ∫ 3 − x 2 dx − ∫ x 2 + 1 dx =−11()= ∫ − 2 x 2 + 2 dx = −−1−12222 x31+ 2 x −1 = − + 2 − + 2 = 2 .33333) у = х2; у = 2 2 x , х2 = 2 2 x , х4 = 8х, х (х3 – 8) = 0, х1 = 2, х2 = 0,OMAN – искомая фигура222000()SOMAN = SOMAB − SONAB = ∫ 2 2 x dx − ∫ x 2 dx = ∫ 2 2 x − x 2 dx =1 x34= 2x 2x ⋅ −2 334) у = x ;2=016 8 8− = .3 3 3у = 4 − 3x ;у=0x = 4 − 3x , х = 4 – 3х, 4х = 4, х = 1ОАВ – искомая фигура14301SOAB = SOAC + SCAB = ∫ x dx + ∫ 4 − 3x dx =×122x x + (4 − 3x ) ×033432 812= −0+ = .9 931 3131№ 10401) у = х2 – 2х + 2; х = 1, точка пересечения параболы с Оух = 0;у = 0 – 2 ⋅ 0 + 2 = 2; (0; 2)у(0) = 2; у′ = 2х – 2, у′(0) = 2 ⋅ 0 – 2 = –2, у = 2 – 2 (х – 0), у = –2х + 2,АВС – искомая фигура1()1100( )S ABC = SOABC − SOAC = ∫ x 2 − 2 x + 2 dx − ∫ (− 2 x + 2 )dx = ∫ x 2 dx =0=x331=01.3444; х0 = 2; у = 0; х = 6, у(2) = 2, у′ = –, у′(2) = – = –1,x4x2у = 2 – (х – 2)у = –х + 4, DABC – искомая фигура;2) у =132644x264S DABC = S KABC − S KAD = ∫ dx − ∫ (− x + 4 )dx = 4 ln x 2 +− 4x 2 =x222= 4 ln 6 − 4 ln 2 + 8 − 16 − 2 + 8 = 4 ln 3 − 2№ 10411) у = х3 – 3х2 – 9х + 1;АВС – искомая фигурах = 0;у = 6;х<0(00−1−1)S ABC = S MABO − S MACO = ∫ 6dx − ∫ x3 − 3 x 2 − 9 x + 1 dx =0()x49 x20+ x3 ++ 5 x −1 =42= ∫ − x3 + 3x 2 + 9 x + 5 dx = −−1=917 731+1− + 5 = 6 −= =1424442) у = х4 – 2х2 + 5; у = 1;АВСD – искомая фигурах = 0;1(х=1)1S ABCD = SOBCK − SOADK = ∫ x 4 − 2 x 2 + 5 dx − ∫1dx =01()= ∫ x 4 − 2 x 2 + 4 dx =0503x871 22x1−+ 4x 0 = − + 4 = 4 −=3 .15155 353133№ 1042⎛ pp 2 ⎞⎟,у = х2 + рх – парабола, ветви направлены вверх.

Характеристики

Список файлов книги