pogorelov-gdz-10-2001z (546200), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Точка находится на расстоянии а и b от двух перпендикулярных плоскостей. Найдите расстояниеот этой точки до прямой пересечения плоскостей.Пусть перпендикулярные плоскости α и β пересекаются по прямойс. Проведем перпендикуляры АВ, AD, АС. Тогда четырехугольникABCD — прямоугольник. АС = a 2 +b 2 .
AC — искомое расстояние.Осталось доказать, что точки А, В, С, D лежат в одной плоскости.ВС — проекция АС на плоскость α, поэтому по теореме о трехперпендикулярах ВС ⊥ с, ВС ⊥ β (задача 58). Так как AD ⊥ β, то потеореме 18.4 прямые AD||ВС, а, значит, AD и BC лежат в однойплоскости. Что и требовалось доказать.Так что AC = a 2 + b 2 .61. Плоскости α и β перпендикулярны.
В плоскости αвзята точка А, расстояние от которой до прямой с(линия пересечения плоскостей) равно 0,5 м. Вплоскости β проведена прямая b, параллельнаяпрямой с и отстоящая от нее на 1,2 м. Найдитерасстояние от точки А до прямой b.66Пусть α и β перпендикулярные плоскости. b || с; ВС = 1,2 м,АВ = 0,5 м, где AB ⊥ c и BC ⊥ b. Тогда по теореме о трех перпендикулярах AС ⊥ b.
Так что AC – искомое расстояние иАС =AB 2 + BC 2 = 1,2 2 + 0,5 2 = 1,69 = 1,3 (м).62. Перпендикулярные плоскости α и β пересекаютсяпо прямой с. В плоскости α проведена прямаяа || с, в плоскости β — прямая b || с. Найдите расстояние между прямыми а и b, если расстояниемежду прямыми а и с равно 1,5 м, а между прямыми b и с — 0,8 м.Возьмем в плоскости α точку А на прямой а. По теореме о трехпараллельных прямых получаем, что а || в (так как а || с, в || с. Проведем АС ⊥ с и СВ ⊥ b.
Тогда по теореме о трех перпендикулярахАВ ⊥ b. Так что АВ – искомое расстояние и АВ ⊥ СВ, так как α ⊥ β(по условию); из прямоугольного треугольника АВС по теоремеПифагора имеем:АВ = СВ2 + АС2 = 1,5 2 + 0,8 2 =2,89 = 1,7 (м).67§18. Декартовы координаты и векторыв пространстве1.Где лежат те точки пространства, для которых координаты х и у равны нулю?Такие точки имеют координаты: А(0;0;z), т.е. точка А лежит наоси z.2.Даны точки А(1;2;3), В(0;1;2), С(0;0;3), D(1;2;0).Какие из этих точек лежат:1) в плоскости ху;2) на оси z;3) в плоскости yz?Задача решена в учебнике п.
157 стр. 40.3.Дана точка А(1;2;3). Найдите основание перпендикуляров, опущенных из этой точки на координатные оси и координатные плоскости.Построим координатный параллелепипед точки А. Отметим наоси х — Аx(1;0;0); у — Ау(0;2;0); z — Аz (0;0;3).Затем из точки Ах проведем две прямые, параллельную оси у иоси z, из точки Ау — прямые параллельные оси x и оси z; из Аz —параллельные оси х и оси у.При пересечении прямых получаются точки Аxу, Ауz, Аxz. ТогдаA x A xy = 2; A x A xz = 3; A y A xy = 1;A y A yz = 3; A z A xz = 1; A z A yz = 2.68Перпендикулярами на координатные оси будут отрезки ААz, ААу;АAх на координатные плоскости Аxу, Ауz, Аxz.
Получаем что основания перпендикуляров: Аxу(1;2;0), Ауz(0;2;3), Аxz(1;0;3).4.Найдите расстояния от точки (1;2;−3) до:1) координатных плоскостей;2) осей координат;3) начала координат.Строим координатный параллелепипед как в задаче 3 и находимрасстояния:1) AАxу = |z| = 3; AАxz = |y| = 2; Ауz = |x| = 1, где (x; y; z) – координаты данной точки, то есть (x; y; z) = (1; 2; -3).2) Далее по теореме Пифагора имеем:ААх = y 2 + z 2 = 4 + 9 = 13 ;ААу = x 2 + z 2 = 1 + 9 = 10 ;ААz = y 2 + x2 = 4 + 1 = 5 .3) АО2 = ААz2 + АzО2 – по теореме Пифагора. Так чтоАО2 = 5 + 9 = 14;АО = 14 .Так что расстояние до плоскостей: ху равно 3, yz равно 2, yz равно 1; расстояние до осей координат равно соответственно 13 ,10 , 5 ; расстояние до начала координат равно 14 .5.В плоскости ху найдите точку D(х;у;0), равноудаленную от трех данных точек: А(0;1;−1),В(−1;0;1), С(0;−1;0).Задача решена в учебнике п.
158 стр. 41.6.Найдите точки, равноотстоящие от точек (0;0;1),(0;1;0), (1;0;0) и отстоящие от плоскости yz на расстояние 2.Пусть искомая точка К(х;у;z). Тогда расстояние от точки К доплоскости yz равно |х| (задача 4). То есть |х| = 2, значит х=−2 илих=2. В каждом случае приравниваем квадраты расстояний от точкиК до точек А, В, С, имеющих координаты А(0;0;1), В(0;1;0), С(1;0;0)равны, то есть69AK 2 = BK 2 = CK 2 ;x 2 + y 2 + ( z − 1) 2 = x 2 + ( y − 1) 2 + z 2 = ( x − 1) 2 + y 2 + z 2 .Так что y 2 + ( z − 1) 2 = ( y − 1) 2 + z 2 , откуда y = z иx 2 + ( z − 1) 2 = ( x − 1) 2 + z 2 , откуда x = z .
Так что x = y = z = ±2 .Имеем точки: К1(2; 2; 2) и К2(-2; -2; -2).7.На оси х найдите точку С(х;0;0), равноудаленнуюот двух точек А(1;2;3), В(−2;1;3).АС2 = (1 − х)2 + 22 + 32 = ВС2 = (−2 − х)2 + 12 + 32, то есть1 − 2х + х2 + 4 + 9 = 4 + 4х + 4 + 1 + 9 + х2;− 6х = 0;х = 0. Так что С (0; 0; 0).8.Составьте уравнение геометрического места точекпространства, равноудаленных от точки А(1;2;3) иначала координат.Пусть М(x, y, z) – точка с данным свойством. ТогдаОМ2 =АМ2, то естьх2 + у2 + z2 = (х − 1)2 + (у − 2)2 + (z − 3)2;х2 + у2 + z2 = х2 − 2х + 1 + у2 − 4у + 4 + z2 − 6z + 9;2х + 4у + 6z − 14 = 0;х + 2у + 3z − 7 = 0 — это уравнение плоскости.9.Докажите, что четырехугольник ABCD с вершинами в точках А(1;3;2), В(0;2;4), с(1;1;4), D(2;2;2)является параллелограммом.Задача решена в учебнике п.
159 стр. 42.7010. Докажите, что четырехугольник ABCD являетсяпараллелограммом, если:1) А(0;2;−3), В(−1;1;1), С(2;−2;−1), D(3;−1;−5);2) А(2;1; 3), В(1;0;7), С(−2;1;5), D(−1;2;1).Если диагонали четырехугольника пересекаются в одной точке ипересечения делятся в ней пополам, то четырехугольник – параллелограмм.0+22−2−3 − 1= 1, у == 0, z ==1) О1: х =222= −2 — середина АС;О1(1;0;−2).1− 11− 5−1 + 3= 0, z == −2 — середина ВС;= 1, у =О 2: х =222О2: (1;0;−2). Так что О1 = О2 иABCD — параллелограмм.2−21+ 13+ 5= 1, у == 1, z == 4;2) О1: х =222О1(0;1;4).1− 10+27+1= 0, у == 1, z == 4;О 2: х =222О2: (0;1;4); О1= О2, так что ABCD — параллелограмм.11.
Докажите, что четырехугольник ABCD являетсяромбом, если:1) А(6;7;8), В(8;2;6), С(4;3;2), D(2;8;4);2) А(0;2;0), В(1;0;0), С(2;0;2), D(1;2;2).1) Сначала докажем, что четырехугольник ABCD параллелограмм:6+ 47+ 38+ 2= 5, у == 5, z == 5; — середина АС;О 1: х =222О1(5;5;5).8+ 22+86+ 4= 5, у == 5, z == 5; — середина BD;О 2: х =222О2: (5;5;5). О1 = О2, так чточетырехугольник ABCD — параллелограмм.Теперь докажем равенство двух соседних сторон:АВ2 = (8 − 6)2 + (2 − 7)2 + (6 − 8)2 = 22 + 52 + 22 = 33;71AD2 = (2 − 6)2 + (8 − 7)2 + (4−8)2 = 42 +12 +42 = 33, так что AB = ADи ABCD — параллелограмм с равными сторонами, т.е. ромб.0+22+00+2= 1, у == 1, z == 1 — середина АС;2) О1: х =222О1(1;1;1).1+10+20+2= 1, у == 1, z == 1 — середина BD;О 2: х =222О2: (1;1;1).
О1 = О2, так чточетырехугольник ABCD — параллелограмм.АВ2 = (0 − 1)2 + (2 − 0)2 + (0 − 0)2 = 12 + 22 = 5;AD2 = (0 − 1)2 + (2 − 2)2 + (2 − 0)2 = 12 + 22 = 5.АВ = AD, так чтоABCD — параллелограмм с равными сторонами, т.е. ромб.12. Даны один конец отрезка А(2;3;−1) и его серединаС(1;1;1). Найдите второй конец отрезка В(х;у;z).Так как С – середина АВ, то2 + x 3 + y −1 + z;;), так чтоС(1;1;1) = C(2222+x3+ y−1 + z= 1;= 1;= 1;222х = 0; у = −1; z = 3; и В(0;−1;3).13. Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если координаты трех других вершинизвестны:1) А(2;3;2), В(0;2;4), С(4;1;0);2) А(1;−1;0), В(0;1;−1), С(−1;0;1);3) А(4;2;−1), В(1;−3;2), С(−4;2;1).Диагонали параллелограмма пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.721) О1 = О2, где О1 – середина АС, а О2 – середина BD.3+12+02+4= 3, у == 2, z == 1;О 1: х =222О1(3;2;1).
Поскольку О1 = О2, тоx2+ y4+ z= 3, х = 6;= 2, у = 2;= 1, z = –2,222так что D(6;2;−2).2) О1 = О2;1 − 1 −1 + 0 0 + 1;);;О1 (2220 + x 1 + y −1 + zО2 (;;), поэтому222x11+ y1−1 + z0 = ; х = 0; − =; у = −2;=; z = 2.22222так что D(0;−2;2).3) О1 = О2;4 − 4 2 + 2 −1 + 1;;);О1 (2221 + x −3 + y 2 + zО2 (;), поэтому;2221+ x2+z−3 + y0=; х = −1; 2 =; z = −2, так что; у = 7; 0 =222D(−1;7;−2).14. Докажите, что середина отрезка с концами в точках А(а;с;−b) и В(−а;d;b) лежит на оси у.Пусть М – середина АВ, тогдаa − a c + d −b + b;;), то естьМ(222c+ dМ (0;;0), так что М принадлежит оси у.
Что и требовалось2доказать.15. Докажите, что середина отрезка с концами в точках С(а;b;с) и D(p;q;−c) лежит в плоскости ху.Пусть О – середина CD. Тогда73a+ p b+q c−ca+ p b+q;;); О (;; 0) ∈ ху, так как третья22222координата равна нулю. Что и требовалось доказать.О(16. Докажите, что преобразование симметрии относительно координатной плоскости ху задается формулами х′ = х, у′ = у, z′ = −z.Пусть точка А симметрична точке А′.Значит эти точки лежат на прямой, перпендикулярной плоскостиху, находятся по разные стороны от плоскости ху и расстояния от Аи А′ до xy равны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
