pogorelov-gdz-10-2001z (546200), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Из точки, отстоящей от плоскости на расстояниеа, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы 45°, а между собой угол 60°. Найдитерасстояние между концами наклонных.85Пусть D – данная точка. DB и DC – наклонные. ПроведемAD — перпендикуляр к плоскости α.Тогда АВ и АС — проекции наклонных на плоскость α.Тогда ÄABD и ÄACD — прямоугольные, равнобедренные.
Такчто АВ = АC = AD = а.Из этих же треугольников находим:DC = DB = а : sin45° = а 2 .Так что ∆BDC — равнобедренный, а поскольку ∠BDC = 60°, тозначит треугольник BDC — равносторонний, т.е.DB = DC = ВС = а 2 .40. Из точки, отстоящей от плоскости на расстояниеа, проведены две наклонные под углом 30° кплоскости, причем их проекции образуют угол120°. Найдите расстояние между концами наклонных.Пусть А – данная точка, АВ и АС – наклонные. ПроведемAD — перпендикуляр к плоскости α, BD и DC — проекции наклонных на плоскость α.Тогда BD = DC = а : tg30° = a⋅ctg30° = a 3 .Далее, ВК = a 3 ⋅cos30° =86a 3⋅ 33a=(где К–середина ВС)22Так что ВС = 2ВК = 2⋅3a= 3а.241. Через катет равнобедренного прямоугольноготреугольника проведена плоскость под углом 45°ко второму катету. Найдите угол между гипотенузой и плоскостью.Пусть АВС – данный треугольник.АС = ВС = а (по условию).Тогда АВ = а : cos45° = а 2 .Опустим перпендикуляр BD на плоскость α.∠BCD = 45° (по условию).
Поэтомуaa 2;BD = ВС⋅cos45° ==22∆ABD — прямоугольный, ∠γ = ∠BAD;a.АВ = а 2 ; BD =2BDa1Так что sinγ ==: а 2 = ; γ = 30°.AB2242. Докажите, что плоскость, пересекающая параллельные плоскости, пересекает их под равнымиуглами.87Пусть даны плоскости α || β и γ пересекает их по прямым АВ иCD соответственно.Тогда АВ || CD (по свойствам параллельных плоскостей).Из рисунка заметим, что углы ϕ и λ — искомы. Это линейныеуглы двугранных углов, образованных плоскостями α, β и γ.∠ϕ = ∠λ, так как это соответственные углы при параллельныхпрямых АВ и CD, и секущей с.
Что и требовалось доказать.43. Две плоскости пересекаются под углом 30°. ТочкаА, лежащая в одной из этих плоскостей, отстоитот второй плоскости на расстояние а. Найдитерасстояние от этой точки до прямой пересеченияплоскостей.Задача решена в учебнике п. 167 стр.
49.44. Найдите угол между плоскостями, если точка,взятая на одной из них, отстоит от прямой пересечения плоскостей вдвое дальше, чем от второйплоскости.Пусть β и γ пересекаются по прямой CD. A ∈ γ . ПроведемAB⊥CD и AA1⊥β . Тогда искомый угол АВА1 равен α. ПустьАА1=а, тогда АВ = 2а.88Треугольник АВА1 прямоугольный, поэтомуАА1 a1== , так что α = 30°.sinα =АВ 2a 245. Два равнобедренных треугольника имеют общееоснование, а их плоскости образуют угол 60°.Общее основание равно 16 м, боковая сторона одного треугольника 17 м, а боковые стороны другого перпендикулярны. Найдите расстояние междувершинами треугольников.Пусть АВС и АВD данные треугольники. Е – середина АВ (основание). Тогда возможны 2 случая:1)1) ∠CED = 60° (так как DE и СЕ – медианы и высоты).Тогда СЕ = АС 2 − АЕ 2 = 172 − 82 = 15 (м).Рассмотрим прямоугольный ∆ DEB: DE =1АВ = 8 м2(так как ∠EAD = ∠EDA = 45° ).Далее, по теореме косинусов:CD2 = СЕ2 + DE2 − 2⋅СE⋅DE⋅cosα = 152 + 82 − 2⋅15⋅8⋅0,5; то естьCD2 = 169 (м2), иCD = 13 м.892)2) ∠CED = 180° - ∠α = 120° .Тогда CD2 = СЕ2 + DE2 − 2⋅СE⋅DE⋅cos(120°) == 152 + 82 + 2⋅15⋅8⋅0,5 = 409 (м2) и CD =409 м.46.
Равнобедренные треугольники АВС и ABD с общим основанием АВ лежат в различных плоскостях, угол между которыми равен α. Найдитеcosα, если:1) АВ = 24 см, АС = 13 см, AD = 37 см,CD = 35 см;2) АВ = 32 см, АС = 65 см, AD = 20 см,CD = 63 см.Как и в предыдущей задаче ∠CED - искомый.11) АЕ = АВ = 12 см (СЕ — медиана).290В ∆АЕС:СЕ = АС 2 − АЕ 2 = 13 2 − 12 2 = 169 − 144 = 5 (см).В ∆AED:DЕ = АD2 − АЕ 2 = 37 2 − 12 2 = 1369 − 144 = 35 (см).В ∆СED:1CE 2 + ED 2 − CD 2 5 2 + 35 2 − 35 25⋅5=== .cosα =2 ⋅ CE ⋅ ED2 ⋅ 5 ⋅ 352 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 7 142) АЕ =1AB = 16 см.2В ∆АЕС:СЕ = АС 2 − АЕ 2 = 65 2 − 16 2 = 1225 − 256 = 63 (м).в ∆AED:DЕ = АD2 − АЕ 2 = 20 2 − 16 2 = 400 − 256 = 12 (м).В ∆CED по теореме косинусов:cosα =CE 2 + ED 2 − CD 2 63 2 + 12 2 − 63 2122=== .2 ⋅ CE ⋅ ED2 ⋅12 ⋅ 632 ⋅ 63 2147.
Катеты прямоугольного треугольника равны 7 м и24 м. Найдите расстояние от вершины прямогоугла до плоскости, которая проходит через гипотенузу и составляет угол 30° с плоскостью треугольника.Пусть АСВ – данный треугольник. Проведем CD ⊥ α, где плоскость α проходит через гипотенузу АВ и образует ∠ϕ = 30°. Проведем СЕ ⊥ АВ. Тогда ∠CED = ∠ϕ = 30°.Далее, АВ = АС2 + ВС2 = 24 2 + 7 2 = 576 + 49 = 625 = 25 (м).911⋅CE⋅AB, с другой стороны:2111S∆АВС= АС⋅BС, так что CE⋅AB = АС⋅BС;222АС ⋅ ВС 24 ⋅ 7СЕ === 6,72 (м).25АВИз ∆CDE найдем искомое расстояние:1CD = СЕ⋅sinϕ = 6,72⋅sin30° = 6,72⋅ = 3,36 (м).2Далее, S∆АВС =48.
Дан равносторонний треугольник со стороной а.Найдите площадь его ортогональной проекции наплоскость, которая образует с плоскостью треугольника угол, равный: 1) 30°; 2) 45°; 3) 60°.Пусть ∆ABC - данный, равносторонний.Проведем высоту СЕ, и CD – перпендикуляр к плоскости α.Тогда по теореме о трех перпендикулярах ее проекция ED будетвысотой треугольника ADB, угол CED — угол между плоскостямиACD и α, т.е.
∠CED = ϕ.Из прямоугольного треугольника CED: ED = СЕ⋅cosϕ.ADB — ортогональная проекция треугольника АСВ на плоскость α. Тогда11a2 3,SADB = ⋅АВ⋅DE = АВ⋅СЕ⋅cosϕ = SАВС⋅cosϕ. Но SABC =422так как ÄABC — равносторонний.Тогда SАDB =Так что:92a 3cos ϕ .2a2 33 3a 2=⋅;4282a2 32 a 62) ϕ = 45°; SADB =⋅=;8241) ϕ = 30° ; SADB =3) ϕ = 60°; SADB =a2 3 1a2 3⋅ =.48249. 1) Найдите площадь треугольникапроекции треугольника АВС изплоскость треугольника ABD.2) Найдите площадь треугольникапроекции треугольника АВD изплоскость треугольника ABС.ортогональнойзадачи 46 наортогональнойзадачи 46 на1) SABD′ = SАВС⋅cosα, где АВD′ – ортогональная проекция ÄABCна ÄABD.11Но SАВС = СЕ⋅АВ = ⋅5⋅24 = 60 (см2);221 302SABD’ = 60⋅cosα = 60⋅ == 4 (см2) (смотри решение задачи 46).714 72) SABС′ = SАВD⋅cosα, где ÄABC' — ортогональная проекцияÄABD на ÄABC.11⋅ED⋅AB = ⋅12⋅32 = 192 (см2).222 1282Так что SАВС’ = 192⋅ == 18 (м2) (смотри решение задачи 46).2177Но SABD =9350.
Даны четыре точки А(2;7;−3), В(1;0;3), С(−3;−4;5),D(−2;3;−1). Найдите среди векторов AB , BC , DC ,AD , AC и BD равные векторы.Задача решена в учебнике п. 169 стр. 51.51. Даны три точки А(1;0;1), В(−1;1;2), С(0;2;−1).Найдите точку D(х;у;z), если векторы AB и CDравны.AB = (−1 − 1;1 − 0;2 − 1) = (−2;1;1);CD = (х − 0;у − 2;z + 1); так как AB = CD , то получаем:х − 0 = −2, х = −2; у − 2 = 1, у = 3;z + 1 = 1, z = 0.
Так что D(−2;3;0).52. Найдите D(х;у;z), если сумма векторов AB и CDравна нулю. А(1;0;1), В(−1;1;2), С(0;2;−1).AB = (−1 − 1;1 − 0;2 − 1) = (−2;1;1);CD = (х − 0;у − 2;z + 1) = (x; y-2; z+1)− 2 + x = 0AB + CD =0, то есть 1 + y − 2 = 01 + z + 1 = 0(|x=2y = 1 Так что D(2;1;−2)..z= 2) ()53.
Даны векторы 2, n,3 и 3,2, m . При каких m и nэти векторы коллинеарны?Для того чтобы векторы были коллинеарны, их координатыдолжны быть пропорциональны то есть2 n 32 n4 2 39= = , то есть = ; n = ; = ; m = .3 3 m23 2 m3 254. Дан вектор a (1;2;3), найдите коллинеарный емувектор с началом в точке А(1;1;1) и В на плоскости ху.Задача решена в учебнике п. 170 стр. 52.9455.
При каком значении n данные векторы перпендикулярны:1) a (2;−1;3), b (1;3;n);2) a (n;−2;1), b (n;−n;1);3) a (n;−2;1), b (n;2n;4);4) a (4;2n;−1), b (−1;1;n)?Условие перпендикулярности записывается как:a ⋅ b = 0.1) a ⋅ b = 2⋅1 + 3⋅(−1) + 3n = 0; 2 – 3 + 3n = 0;13n = 1; n = ;32) a ⋅ b = n⋅n + (−2)⋅(−n) + 1⋅1 = 0;n2 + 2n + 1 = 0; (n + 1)2 = 0; n + 1 = 0; n = −1;3) a ⋅ b = n⋅n + 2n⋅(−2) + 1⋅4 = 0;n2 − 4n + 4 = 0; (n − 2)2 = 0; n – 2 = 0; n = 2;4) a ⋅ b = 4⋅(−1) + 2n⋅1 + (−1)⋅n = 0; -4 + 2n – n = 0;n − 4 = 0; n = 4.56. Даны три точки А(1;0;1), В(−1;1;2), С(0;2;−1).Найдите на оси z такую точку D(0;0;с), чтобы векторы AB и CD были перпендикулярны.Условие перпендикулярности записывается:AB ⋅ CD = 0.
Далее AB = (−1 − 1;1 − 0;2 − 1) = (−2;1;1);CD = (0 − 0;0 − 2;с + 1) = (0;−2;с + 1). Так чтоAB ⋅ CD = −2⋅0 + (−2)⋅1 + (с + 1)⋅1 = 0;−2 + с + 1 = 0; с − 1 = 0; с = 1.57. Векторы a и b образуют угол 60°, а вектор c имперпендикулярен. Найдите абсолютную величинувектора a + b + c .По условию:a ^ b = 60°; a ^ c = 90°; b ^ c = 90°,имеем: | a + b + c | = ( a + b + c ) 2 ;95(( a + b ) + c )2 = ( a + b )2 + 2 c ( a + b ) + c 2 == a 2+b 2+ 2a ·b + 2a ·c + 2b ·c +c 2== a 2+b 2+c 2+ 2a ·b + 2a ·c + 2b ·c ;a ⋅ c = 0, b ⋅ c = 0 (по условию, так как a⊥c и b ⊥c ), то(( a + b ) + c )2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 a · b , но также1a ⋅ b = | a |⋅| b |⋅cos60° = ⋅| a |⋅| b |.
Так что окончательно:2| a + b + c |= ( a + b + c ) 2 = |a |2 + |b |2 + |c |2 + |a ||⋅ b | .58. Векторы a , b , c единичной длины образуютпопарно углы 60°. Найдите угол между векторами:1) a и b + c ; 2) a и b − c .Имеем: a ⋅ b = a ⋅ c = b ⋅ c = 1⋅1⋅cos60° =1;2a 2 = b 2 = c 2 = 1. Так что:1) a ⋅( b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c =1 1+ = 1;2 2| b + c | = (b + c ) 2 = b 2 + c 2 + 2b c = 1 + 1 + 1 = 3 ; поэтомуa ⋅ (b + c )11==, где φ – искомый угол.| a ||⋅ b + c | 1⋅ 33Так что φ ≈ 54°44’;v1 1a ⋅ (b − c )= 0,2) a ⋅( b − c ) = a · b − a · c = − = 0, cosφ =2 2a b −ccosϕ =значит, ϕ =π= 90°.259. Даны четыре точки А(0;1;−1), В(1;−1;2), С(3;1;0),D(2;−3;1). Найдите косинус угла ϕ между векторами АВ и CD.Задача решена в учебнике п. 170 стр.
53.9660. Даны три точки А(0;1;−1), В(1;−1;2), С(3;1;0).Найдите косинус угла С треугольника АВС.∠С — угол между векторами CA и CB . НоCA = (0 − 3;1 − 1;−1 − 0) = (−3;0;−1);CB = (1 − 3;−1 − 1;2 − 0) = (−2;−2;2), далее| CA | = 9 + 0 + 1 = 10 ; | CB | = 4 + 4 + 4 = 12 = 2 3 ;CA ⋅ CB = (−3)(−2) + 0 ⋅ ( −2) + (−1) ⋅ 2 = 6 − 2 = 4 .Так что cosC =CA ⋅ CB| CA | ⋅ | CD |=410 ⋅ 3 ⋅ 2=230=2.1561.
Докажите, что угол ϕ между прямыми, содержащими векторы a и b , определяется из уравнения:a b = | a |⋅| b |⋅cosϕ.b−aРассмотрим ∆АСВ, где AC = a, AB = b и CB = b − a. По теоремекосинусов:ВС2 = АС2 + АВ2 − 2⋅АС⋅АВ⋅cosϕ, то есть( a − b )2 = a 2 + b 2 − 2⋅| a |⋅| b |⋅cosϕ.97( a − b )2 = a 2 + b 2 − 2⋅ a ⋅ b , так чтоa 2 + b 2 − 2⋅| a |⋅| b |⋅cosϕ = a 2 + b 2 − 2⋅ a ⋅ b , то естьa ⋅ b =⋅| a |⋅| b |⋅cosϕ. Что и требовалось доказать.62. Из вершины прямого угла А треугольника АВСвосставлен перпендикуляр AD к плоскости треугольника. Найдите косинус угла ϕ между векторами ВС и BD, если угол ABD равен α, а уголАВС равен β.∠ϕ = ∠DBC.Проведем DE ⊥ ВС.По теореме о трех перпендикулярах АЕ ⊥ ВС.Так что треугольники BAD и ВАЕ —прямоугольныеТак что ВА = BD⋅cosα;ВЕ = ВА⋅cosβ = BD⋅cosα⋅cosβ. Далее,cosϕ =BE BD ⋅ cos α ⋅ cos β==BDBD=cosα⋅cosβ.63.
Наклонная образует угол 45° с плоскостью. Черезоснование наклонной проведена прямая в плоскости под углом 45° к проекции наклонной. Найдитеугол ϕ между этой прямой и наклонной.Пусть SB — данная наклонная, ВА —ее проекция, то есть SA – перпендикуляр.Тогда ∠SBA = 45° (по условию).∠SBE – искомый; ∠SBA=∠СВА = 45°;2 SB=АВ = SB⋅cosSBA = SB⋅22(из ÄSBA , где ∠A = 90° ).2 SB=( по теореме о трех перпенди222кулярах АС⊥ВЕ, и треугольник СВА — прямоугольный);СВ = АВ⋅cosСВА =98CB⋅∠ SBC = φ в прямоугольном ÄSBC .BC SB1=: SB = , так чтоSB22ϕ = 60° — искомый угол.Тогда cosϕ =64.
Из точки вне плоскости проведены перпендикуляри две равные наклонные, образующие углы α сперпендикуляром. найдите угол ϕ между проекциями наклонных, если угол между наклоннымиβ.Пусть АВ и АС – данные наклонные, АО – перпендикуляр.Тогда искомый угол ϕ = ∠ВОС – искомый.ОВ = ОС = а (как равные проекции равные наклонные).Рассмотрим ∆ВОС:OB 2 + OC 2 - BC 2 2a 2 - BC 2=cosϕ =.2 OB OC2a 2Далее, АВ = АС.Далее из ÄBAC : BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2AB ⋅ AC ⋅ cos β.aНо АВ = АС =(из ∆AOB ). Так чтоsin αBC 2 =a22+a2−2a 2 cos βsin αsin 2 α1 − cos β)2a 2 − 2a 2 (21 − cos βcos β − cos 2 αsinα=−=и cos ϕ =1().2a 2sin 2 αsin 2 αsin α299.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
