pogorelov-gdz-10-2001z (546200), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Обозначим проекцииАО = y, ОВ = х, х > y, так как SB > SA. Пусть SO — перпендикулярк плоскости α. Тогда из двух прямоугольных треугольников AOS иBOS получаем:SO2 = AS2 − АО2; SO2 = BS2 − ОВ2;AS2 − АО2 = BS2 − ОВ2;102 − y2 = 172 − х2.Далее х − y = 9, то есть х = 9 + у;102 − у2 = 172 − (9 + у)2;100 − у2 = 289 − 81 − 18у − у2;18у = 108; у = 6 см;х = 9 + 6 = 15 см.24. Из точки к плоскости проведены две наклонные.Найдите длины наклонных, если:1) одна на 26 см больше другой, а проекции наклонных раны 12 см и 40 см;2) наклонные относятся как 1 : 2, а проекции наклонных равны 1 см и 7 см.421) Проведем SO – перпендикуляр к плоскости α, и обозначимSA = x, SB = y; x > y, так как AO > OB.
Из двух прямоугольных треугольников SOA и SOB получаем:SO2 = AS2 − АО2; SO2 = BS2 − ОВ2, то есть x 2 − 40 2 = y 2 − 12 2.Далее х − у = 26; х = 26 + у, так что х2 − 402 = у2 − 122;(26 + у)2 − 402 = у2 − 122;52у = 780; у = 15 (см), тогда х = 26 + 15 = 41 (см).То есть AS = 41 (см), BS = 15 (cм).172) Обозначим AS = х, тогда AS : SB = 1 : 2, то SB = 2x.SO — перпендикуляр. В прямоугольных треугольниках AOS иBOS имеем:SO2 = SA2 − АО2; SO2 = SB2 − ОВ2, то есть x 2 − 1 = (2 x) 2 − 7 2 ,х2 − 1 = 4х2 − 49;3х2 = 48; х2 = 16;х = 4. Так что AS = 4 (см) и BS = 8 (см).25. Из точки к плоскости проведены две наклонные,равные 23 см и 33 см. Найдите расстояние от этойточки до плоскости, если проекции наклонных относятся как 2 : 3.Пусть SO — перпендикуляр к плоскости α, а SA и SB — данныенаклонные.43Обозначим АО = 2x.
Так как AO : BO = 2 : 3, то BO = 3x. Далееиз прямоугольных треугольников AOS и BOS получаем:SO2 = AS2 − АО2; SO2 = BS2 − ВО2, то есть232 − 4х2 = 332 − 9х2.5х2 = 560; х2 = 112. ДалееSO2 = AS2 − АО2 = 23 2 − 4 x 2 = 81, то есть SO = 9 (см).26. Докажите, что если прямая параллельна плоскости, то все ее точки находятся на одинаковом расстоянии от плоскости.Задача решена в учебнике п. 152 стр. 29.27. Через вершину прямого угла С прямоугольноготреугольника АВС проведена плоскость, параллельная гипотенузе, на расстоянии 1 м от нее.Проекция катетов на эту плоскость равны 3 м и5 м.
Найдите гипотенузу.Пусть ∆АВС — данный. Проведем AA1 и BB1 перпендикулярнык α, тогда АА1 = ВВ1 = 1 м — расстояние от гипотенузы до плоскости α. А1С и В1С — проекции наклонных AC и BC на плоскость α.Тогда в прямоугольных треугольниках АА1С и ВВ1С имеем:СА2 = АА12 + А1С2 = 32 + 12 = 10 (м2), иСВ2 = ВВ12 + В1С2 = 52 + 12 = 26 (м2).44По теореме Пифагора в треугольнике АВС:АВ2 = СА2 + СВ2; АВ2 = 10 + 26 = 36; АВ = 6 (м).28. Через одну сторону ромба проведена плоскость нарасстоянии 4 м от противолежащей стороны.
Проекции диагоналей на эту плоскость равны 8 м и2 м. Найдите проекции этих сторон.Из точек В и С опустим перпендикуляры ВВ1 и СС1 на плоскостьα; ВВ1 = СС1 = 4м. АС1 — проекция диагонали АС на плоскость α,В1D — проекция диагонали BD на плоскость α.Так что АС1 = 8 м, В1D = 2 м.Рассмотрим прямоугольные треугольники ВВ1D и СС1А. По теореме Пифагора:АС2 = СС12 + АС12 = 82 + 42 = 80; АС = 80 (м), аBD2 = ВВ12 + В1D2 = 42 + 22 = 20; BD = 20 (м).11АС =80 (м);2211OD = BD =20 (м).22Далее ОС =По свойству ромба: АС ⊥ BD.
Так что треугольник OCD - прямоугольный, поэтому:CD2 = ОС2 + OD2 =80 20+ = 25; CD = 5 (м).44Так как ВС || α, то В1С1 = ВС = 5 (м).Из прямоугольных треугольников DC1С и АВ1В найдем АВ1 и DC1по теореме Пифагора: АВ1 = DC1 = DC 2 - CC12 = 25 − 16 = 3 (м).29. Из концов отрезка АВ, параллельного плоскости,проведены перпендикуляр АС и наклонная BD,перпендикулярная отрезку АВ. Чему равно расстояние CD, если АВ = а, АС = b, BD = с?45Проведем AD. Тогда из прямоугольного треугольника ABD имеем: AD 2 = AB 2 + BD 2 = a 2 + b 2 .Далее по теореме Пифагора в ÄACD :CD2 = AD2 − АС2 = (а2 + с2) − b2 = а2 + с2 − b2, так чтоCD = a 2 + c 2 − b 2 .30.
Докажите, что расстояние от всех точек плоскостидо параллельной плоскости одинаковы.Выберем произвольные точки А и В на плоскости α, параллельной плоскости β.Прямая АВ лежит в плоскости α поэтому параллельна плоскости β.Опустим перпендикуляры АА1 и ВВ1 на плоскость β. По теореме 18.4прямые АА1 и ВВ1 параллельны и лежат в одной плоскости; у четырехугольника АА1В1В противоположные стороны параллельны, значит, это параллелограмм; так что, АА1 = ВВ1. Что и требовалось доказать.31. Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно а.
Отрезок длины b своими концамиупирается в эти плоскости. Найдите проекцию отрезка на каждую из плоскостей.46Пусть плоскости α и β параллельны. BD – данная наклонная.Проведем BA⊥â и DC⊥α. Тогда CD = АВ — расстояние между параллельными плоскостями α и β. Так что AB = CD = a.Проекции наклонной BD на плоскости α и β равны: ВС = AD.И по теореме Пифагора:AD = BD 2 − АB 2 = b 2 - a 2 .32. Два отрезка длин а и b упираются концами в двепараллельные плоскости. Проекция первого отрезка (длины а) на плоскость равна с. Найдитепроекцию второго отрезка.Пусть DE и AC – данные наклонные. Проведем DM ⊥ β. ТогдаDM = АВ расстояние между двумя параллельными плоскостями.Так что DM = AB = d.
Далее по теореме Пифагора:d = АВ = a 2 − c2 . Так чтоDM = a 2 − c2 .Но тогда ∆EMD — прямоугольный, поэтому:47ЕМ = DЕ 2 − DM2 = b 2 - (a 2 - c 2 ) = b 2 - a 2 + c 2 .33. Концы данного отрезка, не пересекающего плоскость, удалены от нее на 0,3 м и 0,5 м. Как удалена от плоскости точка, делящая данный отрезок вотношении 3 : 7?DПусть АВ — данный отрезок, С — точка на нем, такая что АС ::СВ = 3 : 7.АА1, СС1, ВВ1 — перпендикуляры, опущенные из точек А, С, Вна плоскость α. АА1 = 0,3м, ВВ1 = 0,5м.По теореме 18.4 отрезки АА1, ВВ1, СС1 параллельны, и значит,лежат в одной плоскости. Точки А1, С1, В1 лежат на прямой пересечения этой плоскости с плоскостью α.Проведем из точки А прямую AD параллельную А1В1, значитAD ⊥ BB1.
Тогда АА1С1К — прямоугольник. Так что КС1 = АА1.DB1=0,3 м.∆АСК ~ ∆ABD так как СК параллельна BD. Далее7BC3АB AC + BC== 1+= = 1+ =;АCACAC3 10BD AB 103BD.== . Так что CK =CK AC 310Так BD = ВВ1 − DB1 = 0,5 − 0,3 = 0,2 (м),CK =3 ⋅ 0,2= 0,06 (м).10Ну и СС1 = СК + КС1 = 0,06 + 0,3 = 0,36 (м).34. Через середину отрезка проведена плоскость.
Докажите, что концы отрезка находятся на одинаковом расстоянии от этой плоскости.4811Пусть АВ — данный отрезок, точка О — середина отрезка, черезточку О проведена плоскость. Проведем АА1 и ВВ1 перпендикулярына плоскость α.По теореме 18.4 прямые АА1 и ВВ1, а вместе с ними и отрезокАВ и точка О лежат в одной плоскости.Далее рассмотрим ∆АА1О и ∆ВВ1О — они прямоугольные.АО = ОВ — по условию, ∠А1ОА = ∠В1ОВ как вертикальные.Так что, ∆AА1О = ∆BВ1О, а, значит, АА1 = ВВ1. Что и требовалосьдоказать.35. Через диагональ параллелограмма проведенаплоскость. Докажите, что концы другой диагонали находятся на одинаковом расстоянии от этойплоскости.Пусть АС и BD — диагонали параллелограмма и точка О – середина диагоналей.
Проведем плоскость α через диагональ BD. Проведем перпендикуляры AS и CS, на плоскость α.Тогда треугольники ∆AOS и ∆COS1 — прямоугольные: АО ==ОС — по свойству диагоналей параллелограмма, ∠ SOA = S1 OC;так что∆AOS = ∆COS1 (по стороне и острому углу), откуда следует, чтоAS = S1C. Что и требовалось доказать.4936. Найдите расстояние от середины отрезка АВ доплоскости, не пересекающей этот отрезок, еслирасстояние от точек А и В до плоскости равны:1) 3,2 см и 5,3 см; 2) 7,4 см и 6,1 см; 3) а и b.Пусть АВ — искомый отрезок. Е — середина отрезка АВ.
АА1,ЕЕ1, ВВ1 — перпендикуляры, опущенные из точек А, Е, В на плоскость α. По теореме 17.4 эти перпендикуляры параллельны междусобой. Тогда решим сначала общий случай AA1 = a и BB1 = b.13)АЕ = ЕВ = АВ; ∆АМЕ ∼ ∆ADB, так как EM||BD. Так что2АЕ ЕМAE1=; EM =⋅ BD = BD.2ABАВ BD1Но BD = BB1 – DB1 = b – a, поэтому ЕМ = (b − a).2111Далее ЕЕ1 = ЕМ + МЕ1 = а + (b − a) = а + b − а =222111= а + b = (а + b).222Теперь подставив вместо a и b числа, получим:111) ЕЕ1 = (3,2 + 5,3) = ·8,5 = 4,25 (см).22112) ЕЕ1 = (7,4 + 6,1) = ·13,5 = 6,75 (см).2237.
Решите предыдущую задачу, считая. что отрезокАВ пересекает плоскость.50Решим общий случай:O — середина AB. ∆ADB — прямоугольный.ОО1 — средняя линия. Тогда1a+b.BD =22111Если a < b, то ОЕ = ОО1 − О1Е = а + b − а = (b − a).2221Если a > b, то ОЕ = (а − b). Так что в любом случае21ОЕ = |а − b|.2BD = а + b и ОО1 =Подставив числа, получим:1|3,2 − 5,3| =212) ОЕ = |7,4 − 6,1| =21) ОЕ =1·2,1 = 1,05 (см).21·1,3 = 0,65 (см).238. Отрезок длины 1 м пересекает плоскость, концыего удалены от плоскости на 0,5 м и на 0,3 м. Найдите длину проекции отрезка на плоскость.51Пусть отрезок AB пересекает плоскость α в точке O.
Спроектируем его на плоскость α. Проведем перпендикуляры AA1 и BB1AA1 = 0,3 м, BB1 = 0,5 м.Проведем через т. A прямую, параллельную A1B1. Она пересечетпродолжение отрезка BB1 в точке M. AM ⊥ BM. В ∆ ABM по теореме Пифагора: AM2 = AB2 – MB2, ноMB = MB1 + BB1 = 0,5 + 0,3 = 0,8 (м), а AB = 1 (м), так чтоAM2 = 1 – 0,64 = 0,36 (м2); AM = 0,6 (м).
Далеетак как AA1B1M — прямоугольник, то A1B1 = AM = 0,6 м.39. Через основание трапеции проведена плоскость,отстающая от другого основания на расстояние а.Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до этой плоскости. если основания трапеции относятся как m : n.n11mПусть ABCD и α — данные трапеция и плоскость. О — точкапересечения диагоналей трапеции. ВВ1 и ОО1 — перпендикуляры кплоскости α. Тогда BB1 = a. Так как ÄOAD ~ ÄOCB , тоOD AD m== .OB BC nДалее рассмотрим ∆ВВ1D ВВ1 и ОО1 лежат в плоскости ВВ1D.DO1О~ВВ1D так как ∠B1 DB — общий и ∠OO1D = ∠BB1D = 90°.OO1 ODmOD==.=BB1 BD OD+OB m + nm·BB1amТак что ОО1 =.=m+nm+nТогда40. Через сторону параллелограмма проведена плоскость на расстоянии а от противолежащей стороны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
